2023 fall

11. (10 pts) Let $\alpha :[a,b]\to {\mathbb{R}}^3$ be a regular curve with nonzero curvature everywhere.

(a) Find a parametrization for a tube of radius $r$ around $\alpha$. (The tube is a regular surface with two boundary circles, centered at $\alpha (a)$ and $\alpha (b)$.) (b) Show that the area of a tube of radius $r$ around $\alpha$ is $2\pi r$ times the length of $\alpha$.

Theorem

• 프레네 틀(Frenet Frame) : 곡률이 0이 아닌 곡선 위의 각 점에는 접선 벡터(T), 주법선 벡터(N), 종법선 벡터(B)로 이루어진 정규직교 틀 $\{T,N,B\}$를 정의할 수 있다.
• 곡면의 넓이 : 매개변수 곡면 $\mathbf{X}(s,\theta )$의 넓이는 $\iint ||{\mathbf{X}}_s\times {\mathbf{X}}_{\theta }||dsd\theta$ 로 계산된다.

Answer

(a) 곡선 $\alpha$가 호장(arc length) $s$로 매개변수화되었다고 가정하자 ($\alpha =\alpha (s)$). 곡률이 0이 아니므로, 모든 점 $\alpha (s)$에서 프레네 틀 $\{T(s),N(s),B(s)\}$이 잘 정의된다.

1. 반지름 $r$인 관(tube)은 곡선 위의 각 점 $\alpha (s)$를 중심으로 하고, 그 점에서의 법평면(normal plane, $N$과 $B$로 생성되는 평면)에 놓인 반지름 $r$인 원들의 합집합이다.
2. 법평면 위의 반지름 $r$인 원은 각도 매개변수 $\theta \in [0,2\pi ]$를 이용하여 $r(\cos \theta N(s)+\sin \theta B(s))$ 로 표현할 수 있다.
3. 따라서, 관 곡면의 매개변수 표현은 다음과 같다.

$$\mathbf{X}(s,\theta )=\alpha (s)+r\cos \theta N(s)+r\sin \theta B(s)$$

여기서 $s$는 곡선의 호장 ($0\le s\le L$), $\theta$는 각도 ($0\le \theta \le 2\pi$)이다.

(b) 관 곡면의 넓이를 계산한다. (단, $r$은 곡선의 최대 곡률의 역수보다 작아 곡면이 겹치지 않는다고 가정한다.)

1. 매개변수 $s,\theta$에 대한 편미분 벡터를 구한다.

• ${\mathbf{X}}_{\theta }=-r\sin \theta N(s)+r\cos \theta B(s)$
• ${\mathbf{X}}_s={\alpha }^{\prime }(s)+r\cos \theta N^{\prime }(s)+r\sin \theta B^{\prime }(s)$

2. 프레네-세레 공식($T^{\prime }=\kappa N,N^{\prime }=-\kappa T+\tau B,B^{\prime }=-\tau N$)을 이용하여 ${\mathbf{X}}_s$를 정리한다.

• ${\mathbf{X}}_s=T+r\cos \theta (-\kappa T+\tau B)+r\sin \theta (-\tau N)=(1-r\kappa \cos \theta )T-r\tau \sin \theta N+r\tau \cos \theta B$

3. 외적 벡터 ${\mathbf{X}}_s\times {\mathbf{X}}_{\theta }$를 계산하면, 그 크기는 다음과 같다.

$$||{\mathbf{X}}_s\times {\mathbf{X}}_{\theta }||=r(1-r\kappa (s)\cos \theta )$$

(여기서 $r$이 충분히 작아 $1-r\kappa \cos \theta >0$이라 가정한다.) 4. 넓이 $A$는 이 크기를 $s$와 $\theta$에 대해 적분하여 구한다.

$$A={\int }_0^L{\int }_0^{2\pi }||{\mathbf{X}}_s\times {\mathbf{X}}_{\theta }||d\theta ds={\int }_0^L{\int }_0^{2\pi }r(1-r\kappa (s)\cos \theta )d\theta ds$$

5. 먼저 $\theta$에 대해 적분한다.

$${\int }_0^{2\pi }r(1-r\kappa (s)\cos \theta )d\theta =r{\left[\theta -r\kappa (s)\sin \theta \right]}_0^{2\pi }=r(2\pi -0)=2\pi r$$

6. 이제 $s$에 대해 적분한다. $L$은 곡선 $\alpha$의 전체 길이이다.

$$A={\int }_0^{L}2\pi rds=2\pi r{\int }_0^{L}ds=2\pi rL$$

따라서, 관의 넓이는 $2\pi r\times (\alpha \text{의 길이})$ 이다.

12. (10 pts.) Consider the parametrized surface

$\mathbf{X}(u,v)=(u-\frac{u^3}{3}+u{v}^2,v-\frac{v^3}{3}+v{u}^2,u^2-v^2)$, $(u,v)\in {\mathbb{R}}^2$. Compute its Gaussian curvature.

Theorem

• 등온 매개변수 표현(Isothermal Parametrization) : 제1 기본 형식의 계수가 $E=G={\lambda }^2(u,v),F=0$을 만족하는 매개변수 표현이다.
• 등온 매개변수 표현에서의 가우스 곡률 : $K=-\frac{1}{2{\lambda }^2}\Delta (\ln ({\lambda }^2))=-\frac{1}{{\lambda }^2}\Delta (\ln \lambda )$, 여기서 $\Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial v^2}$는 라플라스 연산자이다.

Answer

주어진 곡면은 엔네퍼 곡면(Enneper surface)이다. 가우스 곡률을 계산한다.

1. 편미분 벡터 ${\mathbf{X}}_u,{\mathbf{X}}_v$를 계산한다.

• ${\mathbf{X}}_u=(1-u^2+v^2,2uv,2u)$
• ${\mathbf{X}}_v=(2uv,1-v^2+u^2,-2v)$

2. 제1 기본 형식의 계수 $E,F,G$를 계산한다.

• $E=||{\mathbf{X}}_u|{|}^2=(1-u^2+v^2{)}^2+4u^2{v}^2+4u^2=(1+u^2+v^2{)}^2$
• $G=||{\mathbf{X}}_v|{|}^2=4u^2{v}^2+(1-v^2+u^2{)}^2+4v^2=(1+u^2+v^2{)}^2$
• $F={\mathbf{X}}_u\cdot {\mathbf{X}}_v=(1-u^2+v^2)(2uv)+(2uv)(1-v^2+u^2)-4uv=0$

3. $E=G=(1+u^2+v^2{)}^2$이고 $F=0$이므로, 이는 등온 매개변수 표현이다. ${\lambda }^2=E$라 하면 $\lambda =1+u^2+v^2$이다.
4. 가우스 곡률 공식을 적용한다. $K=-\frac{1}{{\lambda }^2}\Delta (\ln \lambda )$.
5. $\ln \lambda =\ln (1+u^2+v^2)$의 라플라시안을 계산한다.

• $\frac{\partial }{\partial u}(\ln \lambda )=\frac{2u}{1+u^2+v^2}$
• $\frac{{\partial }^2}{\partial u^2}(\ln \lambda )=\frac{2(1+u^2+v^2)-2u(2u)}{(1+u^2+v^2{)}^2}=\frac{2-2u^2+2v^2}{(1+u^2+v^2{)}^2}$
• 대칭성에 의해, $\frac{{\partial }^2}{\partial v^2}(\ln \lambda )=\frac{2-2v^2+2u^2}{(1+u^2+v^2{)}^2}$
• $\Delta (\ln \lambda )=\frac{{\partial }^2}{\partial u^2}(\ln \lambda )+\frac{{\partial }^2}{\partial v^2}(\ln \lambda )=\frac{4}{(1+u^2+v^2{)}^2}=\frac{4}{{\lambda }^2}$

6. $K$를 계산한다.

$$K=-\frac{1}{{\lambda }^2}\left(\frac{4}{{\lambda }^2}\right)=-\frac{4}{{\lambda }^4}=-\frac{4}{(1+u^2+v^2{)}^4}$$

따라서 가우스 곡률은 $K(u,v)=-\frac{4}{(1+u^2+v^2{)}^4}$ 이다.

13. (10 pts) A subspace A of a topological space X is a retract if there is a continuous function $f:X\to A$ such that $f(a)=a$ for all $a\in A$.

(a) Show that if A is a retract of a Hausdorff space X, then A is closed in X. (b) Is the converse of this statement true? Justify your answer.

Theorem

• 수축(Retract) : $A\subset X$에 대해, $r{|}_A={\text{id}}_A$인 연속 함수 $r:X\to A$가 존재할 때 $A$를 $X$의 수축이라 한다.
• 기본군(Fundamental Group) : 수축 $r:X\to A$가 존재하면, 유도된 준동형사상 $r_{\ast }:{\pi }_1(X)\to {\pi }_1(A)$는 전사 함수이다.

Answer

(a) $A$가 하우스도르프 공간 $X$의 수축이라 하자. 수축 함수를 $r:X\to A$라 하자. $A$가 닫힌 집합임을 보인다.

1. 점 $x\in X\setminus A$를 선택하자. $r(x)\in A$이므로 $x\ne r(x)$이다.
2. $X$는 하우스도르프 공간이므로, $x$를 포함하는 열린 근방 $U$와 $r(x)$를 포함하는 열린 근방 $V$가 존재하여 $U\cap V=\varnothing$을 만족한다.
3. $r$은 연속이므로, $r(x)$의 근방 $V$의 원상 $r^{-1}(V)$는 $x$를 포함하는 열린 집합이다.
4. $W=U\cap r^{-1}(V)$라 하자. $W$는 $x$를 포함하는 열린 근방이다.
5. $W\cap A=\varnothing$임을 보인다. 귀류법으로, 어떤 점 $a\in W\cap A$가 존재한다고 가정하자.
6. $a\in W$이므로 $a\in U$이고 $a\in r^{-1}(V)$이다.
7. $a\in r^{-1}(V)$는 $r(a)\in V$를 의미한다. $a\in A$이고 $r$은 수축이므로 $r(a)=a$이다. 따라서 $a\in V$이다.
8. 결과적으로 $a\in U$이고 $a\in V$가 되어, $a\in U\cap V$이다. 이는 $U$와 $V$가 서로소라는 사실에 모순된다.
9. 따라서 $W\cap A=\varnothing$이다. 즉, $x$의 근방 $W$는 $A$와 만나지 않는다. $X\setminus A$의 모든 점이 내점이므로, $X\setminus A$는 열린 집합이고, 따라서 $A$는 닫힌 집합이다.

(b) 역은 거짓(False) 이다. 즉, 하우스도르프 공간의 닫힌 부분집합이 항상 수축인 것은 아니다.

• 반례 : $X=D^2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2\le 1\}$ (닫힌 원판)과 그 경계인 $A=S^1$을 생각하자.
• $D^2$는 하우스도르프 공간이고, $S^1$은 그 닫힌 부분집합이다.
• 만약 $S^1$이 $D^2$의 수축이라면, 연속 함수 $r:D^2\to S^1$이 존재하여 모든 $a\in S^1$에 대해 $r(a)=a$를 만족해야 한다.
• 이러한 수축이 존재하면, 기본군에 대한 유도된 준동형사상 $r_{\ast }:{\pi }_1(D^2)\to {\pi }_1(S^1)$은 전사 함수여야 한다.
• 그러나 ${\pi }_1(D^2)\cong \{0\}$ (자명군)이고 ${\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ (정수군)이다.
• 자명군에서 자명하지 않은 군으로 가는 전사 준동형사상은 존재하지 않는다.
• 이는 모순이므로, 수축 $r$은 존재할 수 없다. 따라서 닫힌 부분집합이 항상 수축인 것은 아니다.

14. (10 pts.) A topological space $X$ is Lindelöf if every open cover of $X$ has a countable subcover. Show that if $X$ is Lindelöf and $Y$ is compact, then $X\times Y$ is Lindelöf.

Theorem

• 린델뢰프 공간(Lindelöf Space) : 모든 열린 덮개가 가산 부분 덮개를 갖는 위상 공간이다.
• 튜브 보조정리(Tube Lemma) : $X\times Y$에서 $Y$가 컴팩트일 때, $\{x\}\times Y$를 포함하는 임의의 열린 집합은 $x$의 어떤 열린 근방 $U$에 대해 “튜브” $U\times Y$를 포함한다.

Answer

1. $\mathcal{U}$를 $X\times Y$의 임의의 열린 덮개라 하자.
2. 임의의 점 $x\in X$에 대해, “수직선” $\{x\}\times Y$는 $Y$와 위상동형이므로 컴팩트하다.
3. $\mathcal{U}$는 $\{x\}\times Y$의 열린 덮개이기도 하므로, 유한 부분 덮개 $\{U_{x,1},\dots ,U_{x,n_x}\}\subset \mathcal{U}$가 존재한다.
4. $W_x={\bigcup }_{i=1}^{n_x}{U}_{x,i}$라 하자. $W_x$는 $\{x\}\times Y$를 포함하는 열린 집합이다.
5. 튜브 보조정리에 의해, $x$의 열린 근방 $V_x\subset X$가 존재하여 “튜브” $V_x\times Y\subset W_x$를 만족한다.
6. 이러한 방식으로 각 $x\in X$에 대해 열린 근방 $V_x$를 찾을 수 있다. 집합족 $\{V_x{\}}_{x\in X}$는 $X$의 열린 덮개이다.
7. $X$는 린델뢰프 공간이므로, 이 덮개는 가산 부분 덮개 $\{V_{x_k}{\}}_{k=1}^{\infty }$를 갖는다.
8. 이제, 원래의 열린 덮개 $\mathcal{U}$의 가산 부분 집합족 $\mathcal{C}={\bigcup }_{k=1}^{\infty }\{U_{x_k,1},\dots ,U_{x_k,n_{x_k}}\}$를 생각하자. $\mathcal{C}$는 가산개의 유한 집합들의 합집합이므로 가산 집합이다.
9. $\mathcal{C}$가 $X\times Y$를 덮는지 확인하자. 임의의 점 $(x,y)\in X\times Y$를 선택하자.

• $\{V_{x_k}\}$가 $X$를 덮으므로, 어떤 $k$에 대해 $x\in V_{x_k}$이다.
• 그러면 $(x,y)\in V_{x_k}\times Y$ 이다.
• $V_{x_k}\times Y\subset W_{x_k}={\bigcup }_{i=1}^{n_{x_k}}{U}_{x_k,i}$ 이므로, $(x,y)$는 어떤 $U_{x_k,i}\in \mathcal{C}$에 속한다.

10. 따라서 $\mathcal{C}$는 $X\times Y$의 가산 부분 덮개이다. $X\times Y$의 임의의 열린 덮개가 가산 부분 덮개를 가지므로, $X\times Y$는 린델뢰프 공간이다.

15. (10 pts.) Let $(X,d)$ be a compact metric space. Suppose $f:X\to X$ is a continuous function satisfying $d(x,y)=d(f(x),f(y))$ for all $x,y\in X$.

(a) Show that f is bijective. (b) Show that f is a homeomorphism.

Theorem

• 등거리 변환(Isometry) : 거리를 보존하는 함수이다. 등거리 변환은 항상 단사(injective)이고 연속이다.
• 콤팩트 공간 위의 연속 전단사 함수 : 콤팩트 공간에서 하우스도르프 공간으로 가는 연속 전단사 함수는 위상동형사상이다.

Answer

주어진 조건 $d(x,y)=d(f(x),f(y))$는 함수 $f$가 등거리 변환(isometry)임을 의미한다.

(a) $f$가 전단사(bijective)임을 보인다.

• 단사성(Injectivity) : $f(x)=f(y)$라 가정하자. 그러면 $d(f(x),f(y))=0$이다. $f$가 등거리 변환이므로 $d(x,y)=d(f(x),f(y))=0$이고, 이는 $x=y$를 의미한다. 따라서 $f$는 단사이다.
• 전사성(Surjectivity) : 귀류법으로, $f$가 전사가 아니라고 가정하자. 그러면 상 $f(X)$는 $X$의 진부분집합이다.

1. $X$는 컴팩트하고 $f$는 연속이므로, $f(X)$도 컴팩트하다. 거리 공간에서 컴팩트 집합은 닫힌 집합이므로, $f(X)$는 $X$의 닫힌 진부분집합이다.
2. $y\in X\setminus f(X)$인 점 $y$를 선택하자. 수열 $\{f^n(y){\}}_{n\ge 0}$을 생각하자.
3. 임의의 $m>n$에 대해, $f$가 등거리 변환이므로, $d(f^m(y),f^n(y))=d(f^{m-n}(y),y)$ 이다.
4. $f(X)$가 닫혀있으므로, $y$와 $f(X)$ 사이의 거리 $ϵ=d(y,f(X))={\inf }_{z\in f(X)}d(y,z)$는 0보다 크다.
5. $f^{m-n}(y)\in f(X)$ 이므로, $d(f^{m-n}(y),y)\ge ϵ$ 이다.
6. 따라서 수열 $\{f^n(y)\}$의 서로 다른 두 항 사이의 거리는 항상 $ϵ$ 이상이다. 이러한 수열은 수렴하는 부분수열을 가질 수 없다.
7. 이는 $X$가 컴팩트 거리 공간이라는 사실(모든 수열이 수렴하는 부분수열을 가져야 함)에 모순된다. 따라서 $f$는 반드시 전사여야 한다. $f$는 단사이면서 전사이므로, 전단사 함수이다.

(b) $f$가 위상동형사상(homeomorphism)임을 보인다.

1. 위상동형사상은 연속인 전단사 함수이며, 그 역함수도 연속인 함수이다.
2. 문제의 가정에서 $f$는 연속이고, (a)에서 $f$가 전단사임을 보였다.
3. $X$는 컴팩트 거리 공간이고, 거리 공간은 하우스도르프 공간이다.
4. ‘컴팩트 공간에서 하우스도르프 공간으로 가는 연속 전단사 함수는 위상동형사상이다’라는 정리가 있다.
5. 따라서 $f:X\to X$는 위상동형사상이다.

• (정리 증명) : $f^{-1}$가 연속임을 보이기 위해, $f$가 닫힌 함수임을 보이면 충분하다. $C$를 $X$의 임의의 닫힌 집합이라 하자. $X$가 컴팩트하므로 $C$도 컴팩트하다. $f$가 연속이므로 $f(C)$도 컴팩트하다. $X$가 하우스도르프 공간이므로 컴팩트 집합 $f(C)$는 닫힌 집합이다. 따라서 $f$는 닫힌 함수이고, $f^{-1}$는 연속이다.

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물론입니다. 문제 풀이는 다음과 같습니다.

13. 수축(Retract)

정의: 위상 공간 $X$의 부분 공간 $A$에 대해, $f(a)=a$ ($\forall a\in A$)를 만족하는 연속 함수 $f:X\to A$가 존재할 때, $A$를 $X$의 수축(retract) 이라고 합니다.

(a) 하우스도르프 공간 $X$의 수축 $A$는 $X$ 안에서 닫힌 집합임을 보이시오.

참 입니다. 이 명제는 연속 함수의 고정점(fixed point) 집합에 대한 성질을 이용하여 증명할 수 있습니다.

1. 수축 $A$는 정의에 따라 $A=\{x\in X\mid f(x)=x\}$ 입니다. 즉, 수축 함수 $f$의 고정점들의 집합 입니다.
2. 항등 함수(identity function) $id:X\to X$, $id(x)=x$ 를 생각해 봅시다. 이 함수는 항상 연속입니다.
3. 이제 두 연속 함수 $f:X\to X$ 와 $id:X\to X$ 를 비교합니다. (함수 $f$의 공역은 $A$이지만 $A\subset X$이므로 $X$로 볼 수 있습니다.)
4. 하우스도르프 공간 $Z$로 가는 두 연속 함수 $g,h:Y\to Z$에 대해, $g(y)=h(y)$를 만족하는 점들의 집합 $\{y\in Y\mid g(y)=h(y)\}$은 항상 닫힌 집합 이라는 정리가 있습니다.

• (정리 증명): $y_0$가 이 집합에 속하지 않는다고 합시다 ($g(y_0)\ne h(y_0)$). $Z$가 하우스도르프이므로, $g(y_0)$와 $h(y_0)$를 분리하는 서로소인 열린 근방 $U,V$가 존재합니다. $g,h$가 연속이므로, 원상 $g^{-1}(U)$와 $h^{-1}(V)$는 $y_0$를 포함하는 열린 집합입니다. 이 둘의 교집합 $W=g^{-1}(U)\cap h^{-1}(V)$ 또한 $y_0$의 열린 근방입니다. $W$ 안의 모든 점 $y$에 대해 $g(y)\in U$이고 $h(y)\in V$이므로 $g(y)\ne h(y)$입니다. 즉, $y_0$의 근방 $W$ 전체가 고정점 집합의 여집합에 포함되므로, 여집합이 열린 집합이고 고정점 집합은 닫힌 집합입니다.

5. 우리의 문제에서 공간 $X$는 하우스도르프이고, $f$와 $id$는 연속 함수입니다.
6. 따라서 이들의 고정점 집합인 $A=\{x\in X\mid f(x)=id(x)\}$는 닫힌 집합 이어야 합니다.

(b) 이 명제의 역도 참인가? 답을 정당화하시오.

역 명제: 하우스도르프 공간 $X$의 닫힌 부분집합 $A$는 항상 $X$의 수축이다.

이 명제는 거짓 입니다.

반례(Counterexample): 🤓

1. 공간: $X$를 ${\mathbb{R}}^2$ 안의 닫힌 원판(closed disk) $D^2=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$ 이라고 합시다. $D^2$는 하우스도르프 공간입니다.
2. 부분집합: $A$를 그 경계인 원(circle) $S^1=\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}$ 이라고 합시다. $S^1$은 $D^2$의 닫힌 부분집합입니다.
3. 수축의 존재 여부: 만약 $S^1$이 $D^2$의 수축이라면, $f(p)=p$ ($\forall p\in S^1$)인 연속 함수 $f:D^2\to S^1$이 존재해야 합니다.
4. 하지만 “No-Retraction Theorem”이라는 유명한 정리에 따르면, 그러한 연속 함수는 존재하지 않습니다.

• 직관적인 설명: 닫힌 원판의 모든 점을 경계선인 원으로 “구멍을 찢지 않고” 연속적으로 옮기면서, 이미 경계선에 있던 점들은 그대로 고정시키는 것은 불가능합니다. 이는 기본군(${\pi }_1$)과 같은 대수적 위상수학의 도구를 사용하여 엄밀하게 증명됩니다. (${\pi }_1(D^2)=\{0\}$ 이고 ${\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$ 이므로, 수축 사상에서 유도되는 군 준동형사상이 존재할 수 없어 모순이 발생합니다.)

결론: 닫힌 부분집합이라고 해서 항상 그 공간의 수축이 되는 것은 아닙니다.

14. 린델뢰프 공간과 콤팩트 공간의 곱

명제: $X$가 린델뢰프(Lindelöf) 이고 $Y$가 콤팩트(compact) 이면, 곱공간 $X\times Y$도 린델뢰프이다.

이 명제는 참 입니다. “튜브 보조정리(Tube Lemma)“와 유사한 논리를 사용합니다.

증명:

1. $\mathcal{C}$를 $X\times Y$의 임의의 열린 덮개라고 합시다. 우리는 $\mathcal{C}$에서 가산개의 원소만 뽑아서 $X\times Y$를 덮을 수 있음을 보여야 합니다. 증명의 편의를 위해, $\mathcal{C}$의 각 원소는 $U_{\alpha }\times V_{\alpha }$ ($U_{\alpha }$는 $X$의 열린 집합, $V_{\alpha }$는 $Y$의 열린 집합) 형태라고 가정합니다.
2. $X$에서 임의의 점 $x$를 고정하고, “수직선” $\{x\}\times Y$를 생각합시다. 이 부분 공간은 $Y$와 위상동형이므로 콤팩트 합니다.
3. $\mathcal{C}$는 $\{x\}\times Y$의 열린 덮개이기도 합니다. 이 부분 공간은 콤팩트하므로, 유한개의 덮개 원소 $\{U_{x,i}\times V_{x,i}\mid i=1,\dots ,n_x\}$ 만으로도 이 수직선을 완전히 덮을 수 있습니다.
4. 이제 $x$의 열린 근방 $U_x={\bigcap }_{i=1}^{n_x}{U}_{x,i}$ 를 만듭시다. 이 $U_x$를 밑면으로 하고 $Y$를 높이로 하는 “튜브” $U_x\times Y$를 생각할 수 있습니다. 이 튜브는 위에서 찾은 유한개의 덮개 원소 $\{U_{x,i}\times V_{x,i}\}$에 의해 완전히 덮입니다. 5. 이 과정을 모든 $x\in X$에 대해 반복하면, $X$의 열린 덮개 $\{U_x\mid x\in X\}$를 얻게 됩니다.
5. $X$는 린델뢰프 공간이므로, 이 덮개에서 가산개의 원소 $\{U_{x_k}\mid k=1,2,\dots \}$ 만 뽑아도 $X$ 전체를 덮을 수 있습니다.
6. 이제 이 가산개의 밑면에 해당하는 튜브들 $\{U_{x_k}\times Y\mid k=1,2,\dots \}$을 생각합시다. 이들의 합집합은 $X\times Y$ 전체를 덮습니다.
7. 각 튜브 $U_{x_k}\times Y$는 유한개 의 원래 덮개 원소로 덮을 수 있었습니다.
8. 따라서, 가산개의 튜브 를 덮기 위해 필요한 원래 덮개 원소들의 총 개수는 (가산개) $\times$ (유한개) 이므로, 결국 가산개 입니다.

결론적으로 $X\times Y$의 임의의 열린 덮개에 대해 가산 부분 덮개를 찾았으므로, $X\times Y$는 린델뢰프 입니다.

15. 콤팩트 거리 공간 위의 함수

함수 $f:X\to X$가 $d(x,y)=d(f(x),f(y))$ 를 만족한다는 것은 $f$가 등거리 변환(isometry) 임을 의미합니다.

(a) $f$가 전단사(bijective)임을 보이시오.

• 단사(Injective): $f(x)=f(y)$ 라고 가정합시다. 그러면 $d(f(x),f(y))=0$ 입니다. 주어진 조건에 의해 $d(x,y)=d(f(x),f(y))=0$ 이고, 거리의 성질에 따라 $x=y$ 입니다. 따라서 $f$는 단사입니다.

• 전사(Surjective): (콤팩트 성질이 여기서 사용됩니다.) 모순을 보이기 위해 $f$가 전사가 아니라고 가정합시다. 그러면 상(image) $f(X)$는 $X$의 진부분집합입니다.

1. $f$는 연속이고 $X$는 콤팩트하므로, $f(X)$도 콤팩트합니다.
2. 거리 공간에서 콤팩트 집합은 닫힌 집합입니다. 따라서 $f(X)$는 $X$의 닫힌 진부분집합입니다.
3. $p\in X\setminus f(X)$ 인 점 $p$를 하나 선택하고, 수열 $x_0=p,x_{n+1}=f(x_n)$을 만듭니다.
4. $X$는 콤팩트하므로 이 수열은 수렴하는 부분수열 $\{x_{n_k}\}$를 가집니다. 수렴하는 수열은 코시 수열(Cauchy sequence)입니다.
5. 두 항 사이의 거리는 $d(x_{n_j},x_{n_k})=d(f^{n_j}(p),f^{n_k}(p))=d(f^{n_j-n_k}(p),p)=d(x_{n_j-n_k},p)$ 입니다. ($n_j>n_k$ 가정)
6. 부분수열이 코시 수열이라는 것은, 수열 $\{d(x_m,p)\}$의 값들이 0에 가까워짐을 의미합니다. 즉, $p$는 수열 $\{x_m\mid m\ge 1\}$의 극한점입니다.
7. 그런데 수열 $\{x_m\mid m\ge 1\}$의 모든 항은 $f(X)$ 안에 있습니다.
8. $f(X)$는 닫힌 집합이므로 모든 극한점을 포함해야 합니다. 따라서 $p$는 $f(X)$에 속해야 합니다.
9. 이는 3단계의 $p\notin f(X)$ 라는 사실과 모순 됩니다.
10. 따라서 $f$는 전사여야 합니다.

$f$는 단사이면서 전사이므로 전단사 입니다.

(b) $f$가 위상동형사상(homeomorphism)임을 보이시오.

1. 위상동형사상 은 연속인 전단사 함수이며, 그 역함수도 연속인 함수를 말합니다.
2. 문제에서 $f$는 연속 이라고 주어졌습니다.
3. (a)에서 $f$가 전단사 임을 보였습니다.
4. 이제 역함수 $f^{-1}:X\to X$가 연속임을 보이면 됩니다.
5. 정리: 콤팩트 공간 에서 하우스도르프 공간 으로 가는 연속인 전단사 함수는 항상 위상동형사상이다.

• $X$는 콤팩트 거리 공간이므로 콤팩트 입니다.
• 모든 거리 공간은 하우스도르프 공간이므로 $X$는 하우스도르프 입니다.
• 따라서 이 정리에 의해 $f$는 위상동형사상 입니다.

(별해: $f^{-1}$ 또한 등거리 변환임을 보일 수 있고, 등거리 변환은 항상 연속이므로 $f^{-1}$도 연속입니다.)

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물론입니다. 해당 미분기하학 문제에 대한 번역, 필수 개념 정리, 그리고 완벽한 답안을 제시해 드리겠습니다.

1. 문제 번역

(10점) $\alpha :[a,b]\to {\mathbb{R}}^3$를 모든 점에서 곡률(curvature)이 0이 아닌 정칙 곡선(regular curve)이라 하자.

(a) 곡선 $\alpha$를 중심으로 하고 반지름이 $r$인 튜브(tube)의 매개변수 표현(parametrization)을 찾아라. (튜브는 $\alpha (a)$와 $\alpha (b)$를 중심으로 하는 두 개의 경계 원을 갖는 정칙 곡면(regular surface)이다.)

(b) 반지름 $r$인 튜브의 넓이가 $\alpha$의 길이에 $2\pi r$을 곱한 값과 같음을 보여라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

이 문제를 해결하기 위해서는 곡선 및 곡면의 미분기하학에 대한 다음 개념들이 필수적입니다.

• 호장 매개변수화 (Arc-Length Parameterization) 계산의 편의를 위해, 곡선을 길이 변수 $s$로 매개변수화하는 것이 유리합니다. 이 경우 곡선의 속도 벡터(접벡터)의 크기는 항상 1입니다. ($\Vert {\alpha }^{\prime }(s)\Vert =1$)

• 프레네-세레 틀 (Frenet-Serret Frame) 공간 곡선 위의 각 점에 국소적인 좌표계 역할을 하는 세 개의 직교 단위 벡터 $\{T,N,B\}$ 입니다.

• 단위 접벡터 (Tangent, $T(s)$): 곡선의 진행 방향. $T(s)={\alpha }^{\prime }(s)$.

• 단위 주법선벡터 (Normal, $N(s)$): 곡선이 휘는 방향. $N(s)=T^{\prime }(s)/\kappa (s)$. 곡률 $\kappa$가 0이 아니라는 조건 때문에 $N$은 항상 잘 정의됩니다.

• 단위 종법선벡터 (Binormal, $B(s)$): $T$와 $N$에 동시에 수직인 벡터. $B(s)=T(s)\times N(s)$.

• 프레네-세레 공식 (Frenet-Serret Formulas) 프레네 틀이 곡선을 따라 어떻게 변하는지를 설명하는 미분방정식입니다. 곡면의 넓이를 계산할 때 필수적으로 사용됩니다.

$$T^{\prime }=\kappa N$$ $$N^{\prime }=-\kappa T+\tau B$$ $$B^{\prime }=-\tau N$$

(여기서 $\kappa$는 곡률, $\tau$는 열률(torsion)입니다.)

• 곡면의 넓이 공식 매개변수화된 곡면 $X(u,v)$의 넓이는 다음 적분으로 구합니다.

$$A=\iint \Vert X_u\times X_v\Vert dudv$$

여기서 $X_u,X_v$는 각 매개변수에 대한 편미분 벡터입니다.

3. 완벽한 답안

(a) 튜브의 매개변수 표현

계산을 단순화하기 위해 곡선 $\alpha$가 호장(arc length) $s$로 매개변수화되었다고 가정하고, 이를 $\alpha (s)$로 표기하자. $s$의 범위는 $s\in [0,L]$이며, 여기서 $L$은 곡선 $\alpha$의 총 길이이다.

곡선 위의 한 점 $\alpha (s)$에서, 튜브의 단면은 반지름 $r$인 원이다. 이 원은 곡선의 접선 방향에 수직인 평면, 즉 법평면(normal plane) 위에 놓여 있다. 법평면은 주법선벡터 $N(s)$와 종법선벡터 $B(s)$에 의해 생성된다.

따라서, 이 원 위의 한 점은 $\alpha (s)$를 중심으로 하고 $\{N(s),B(s)\}$를 기저로 하여 삼각함수로 표현할 수 있다. 원의 매개변수를 $\theta \in [0,2\pi ]$라 하면, 원 위의 점의 위치 벡터는 다음과 같다.

$$r(\cos \theta N(s)+\sin \theta B(s))$$

튜브 곡면 위의 점은 곡선 위의 점 $\alpha (s)$에 이 원 위의 벡터를 더한 것이므로, 튜브의 매개변수 표현 $X(s,\theta )$는 다음과 같다.

$$X(s,\theta )=\alpha (s)+r(\cos \theta N(s)+\sin \theta B(s))$$

(단, $s\in [0,L]$, $\theta \in [0,2\pi ]$)

(b) 튜브의 넓이 계산

곡면의 넓이 공식 $A={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^L\Vert X_s\times X_{\theta }\Vert dsd\theta$를 사용하여 튜브의 넓이를 계산한다.

1. 편미분 벡터 계산 먼저 $X(s,\theta )$를 각 매개변수 $s,\theta$에 대해 편미분한다.

• $X_{\theta }$ 계산:

$$X_{\theta }=\frac{\partial X}{\partial \theta }=r(-\sin \theta N(s)+\cos \theta B(s))$$

• $X_s$ 계산: (프레네-세레 공식 사용)

$$X_s=\frac{\partial X}{\partial s}={\alpha }^{\prime }(s)+r(\cos \theta N^{\prime }(s)+\sin \theta B^{\prime }(s))$$

${\alpha }^{\prime }(s)=T(s)$, $N^{\prime }=-\kappa T+\tau B$, $B^{\prime }=-\tau N$ 을 대입하면,

$$X_s=T+r(\cos \theta (-\kappa T+\tau B)+\sin \theta (-\tau N))$$

이를 $T,N,B$에 대해 정리하면,

$$X_s=(1-r\kappa \cos \theta )T-r\tau \sin \theta N+r\tau \cos \theta B$$

2. 외적 $X_s\times X_{\theta }$ 계산 $\{T,N,B\}$가 오른손 직교좌표계를 이룬다는 사실($T\times N=B$, $N\times B=T$ 등)을 이용하여 외적을 계산한다.

$$X_s\times X_{\theta }=[(1-r\kappa \cos \theta )T-\dots ]\times [-r\sin \theta N+r\cos \theta B]$$

계산 결과, 열률($\tau$) 항들은 서로 상쇄되어 다음과 같이 간단해진다.

$$X_s\times X_{\theta }=-r\cos \theta (1-r\kappa \cos \theta )N-r\sin \theta (1-r\kappa \cos \theta )B$$

3. 외적의 크기 $\Vert X_s\times X_{\theta }\Vert$ 계산 $N$과 $B$는 서로 수직인 단위 벡터이므로,

$$\Vert X_s\times X_{\theta }{\Vert }^2=(-r\cos \theta (1-r\kappa \cos \theta ){)}^2+(-r\sin \theta (1-r\kappa \cos \theta ){)}^2$$ $$=r^2(1-r\kappa \cos \theta {)}^2({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=r^2(1-r\kappa \cos \theta {)}^2$$ $$\Vert X_s\times X_{\theta }\Vert =|r(1-r\kappa \cos \theta )|$$

문제에서 튜브가 정칙 곡면이라고 가정했으므로, $r$은 곡률의 최댓값보다 작아 ($r<1/{\kappa }_{max}$) $1-r\kappa \cos \theta >0$ 이 보장된다. 따라서 절댓값을 제거할 수 있다.

$$\Vert X_s\times X_{\theta }\Vert =r(1-r\kappa (s)\cos \theta )$$

4. 넓이 적분 이제 이중적분을 계산한다.

$$A={\int }_0^L{\int }_0^{2\pi }r(1-r\kappa (s)\cos \theta )d\theta ds$$

먼저 $\theta$에 대해 적분하면,

$${\int }_0^{2\pi }r(1-r\kappa (s)\cos \theta )d\theta =r{\left[\theta -r\kappa (s)\sin \theta \right]}_0^{2\pi }$$ $$=r\left[(2\pi -0)-(0-0)\right]=2\pi r$$

이제 이 결과를 $s$에 대해 적분한다.

$$A={\int }_0^{L}2\pi rds=2\pi r{\left[s\right]}_0^L=2\pi rL$$

최종 결론

튜브의 넓이 $A$는 $2\pi rL$이며, 이는 튜브의 반지름과 원주율의 곱($2\pi r$)에 중심 곡선 $\alpha$의 총 길이($L$)를 곱한 값 과 같다. ∎

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물론입니다. 해당 문제에 대한 번역, 필수 개념 정리, 그리고 상세한 풀이를 제공해 드리겠습니다.

1. 문제 번역

(10점) 다음과 같이 매개변수화된 곡면을 생각하자.

$$\mathbf{X}(u,v)=\left(u-\frac{u^3}{3}+u{v}^2,v-\frac{v^3}{3}+v{u}^2,u^2-v^2\right),(u,v)\in {\mathbb{R}}^2$$

이 곡면의 가우스 곡률(Gaussian curvature)을 계산하라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

매개변수화된 곡면 $\mathbf{X}(u,v)$의 가우스 곡률 $K$를 계산하기 위해서는 제1 기본 형식 과 제2 기본 형식 의 계수들을 알아야 합니다.

• 제1 기본 형식의 계수 (E, F, G): 곡면의 내재적 기하(거리, 각도)를 결정합니다.

• $E=⟨{\mathbf{X}}_u,{\mathbf{X}}_u⟩$

• $F=⟨{\mathbf{X}}_u,{\mathbf{X}}_v⟩$

• $G=⟨{\mathbf{X}}_v,{\mathbf{X}}_v⟩$ (여기서 ${\mathbf{X}}_u,{\mathbf{X}}_v$는 각 매개변수에 대한 편미분 벡터입니다.)

• 제2 기본 형식의 계수 (L, M, N): 곡면이 주변 공간에서 어떻게 휘어 있는지를 나타냅니다.

• $L=⟨{\mathbf{X}}_{uu},\mathbf{n}⟩$

• $M=⟨{\mathbf{X}}_{uv},\mathbf{n}⟩$

• $N=⟨{\mathbf{X}}_{vv},\mathbf{n}⟩$ (여기서 ${\mathbf{X}}_{uu},\dots$는 2차 편미분 벡터이고, $\mathbf{n}$은 단위 법선 벡터 $\mathbf{n}=\frac{{\mathbf{X}}_u\times {\mathbf{X}}_v}{\Vert {\mathbf{X}}_u\times {\mathbf{X}}_v\Vert }$ 입니다.)

• 가우스 곡률 공식 (Formula for Gaussian Curvature) 가우스 곡률 $K$는 이 계수들을 사용하여 다음과 같이 계산됩니다.

$$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$$

3. 완벽한 답안

이 문제는 두 가지 방법으로 접근할 수 있습니다. 하나는 모든 계수를 직접 계산하는 기계적인 방법이고, 다른 하나는 주어진 곡면의 특성을 파악하여 계산을 단순화하는 우아한 방법입니다. 대학원 수준의 완벽한 답안은 후자의 접근 방식을 포함할 것입니다.

접근 1: 기하학적 통찰을 이용한 풀이

1. 곡면의 정체 파악 주어진 매개변수 표현

$$\mathbf{X}(u,v)=\left(u-\frac{u^3}{3}+u{v}^2,v-\frac{v^3}{3}+v{u}^2,u^2-v^2\right)$$

는 엔네퍼 곡면(Enneper’s surface) 이라는 잘 알려진 곡면의 표현입니다. 엔네퍼 곡면은 극소 곡면(minimal surface) 의 대표적인 예시이며, 이는 평균 곡률(mean curvature) $H$가 모든 점에서 0임을 의미합니다.

2. 매개변수화의 특성 확인 극소 곡면의 매개변수 표현은 종종 등온(isothermal) 이라는 특별한 성질을 가집니다. 등온 매개변수화는 $E=G$이고 $F=0$인 경우를 말합니다. 이를 직접 계산하여 확인해 보겠습니다.

• ${\mathbf{X}}_u=\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial u}=(1-u^2+v^2,2uv,2u)$

• ${\mathbf{X}}_v=\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial v}=(2uv,1+u^2-v^2,-2v)$

• $E$ 계산: $E=⟨{\mathbf{X}}_u,{\mathbf{X}}_u⟩=(1-u^2+v^2{)}^2+(2uv{)}^2+(2u{)}^2=(1+u^2+v^2{)}^2$

• $G$ 계산: $G=⟨{\mathbf{X}}_v,{\mathbf{X}}_v⟩=(2uv{)}^2+(1+u^2-v^2{)}^2+(-2v{)}^2=(1+u^2+v^2{)}^2$

• $F$ 계산: $F=⟨{\mathbf{X}}_u,{\mathbf{X}}_v⟩=(1-u^2+v^2)(2uv)+(2uv)(1+u^2-v^2)-4uv=0$

$E=G=(1+u^2+v^2{)}^2$이고 $F=0$이므로, 이 매개변수화는 등온 입니다.

3. 극소 곡면과 등온 성질의 활용 평균 곡률 $H=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}$ 에서 $F=0,E=G$를 대입하면 $H=\frac{E(L+N)}{2E^2}=\frac{L+N}{2E}$ 입니다. 엔네퍼 곡면은 극소 곡면이므로 $H=0$이고, 따라서 $L+N=0$, 즉 $L=-N$ 관계가 성립합니다. 이 관계는 제2 기본 형식의 계산을 검증하는 데 사용할 수 있습니다.

접근 2: 직접 계산 (Brute-force Calculation)

이제 위에서 얻은 통찰을 바탕으로 가우스 곡률을 직접 계산합니다.

1. 제1 기본 형식 계수 요약: $E=(1+u^2+v^2{)}^2$, $F=0$, $G=(1+u^2+v^2{)}^2$ 따라서, 가우스 곡률 공식의 분모는 $EG-F^2=E\cdot G=(1+u^2+v^2{)}^4$ 입니다.

2. 단위 법선 벡터 $\mathbf{n}$ 계산:

• ${\mathbf{X}}_u\times {\mathbf{X}}_v=(-2u(1+u^2+v^2),2v(1+u^2+v^2),1-(u^2+v^2{)}^2)$ $=(1+u^2+v^2)(-2u,2v,1-u^2-v^2)$
• $\Vert {\mathbf{X}}_u\times {\mathbf{X}}_v\Vert =\sqrt{EG-F^2}=(1+u^2+v^2{)}^2$
• $\mathbf{n}=\frac{{\mathbf{X}}_u\times {\mathbf{X}}_v}{\Vert {\mathbf{X}}_u\times {\mathbf{X}}_v\Vert }=\frac{1}{1+u^2+v^2}(-2u,2v,1-u^2-v^2)$

3. 제2 기본 형식 계수 $L,M,N$ 계산:

• ${\mathbf{X}}_{uu}=(-2u,2v,2)$

• ${\mathbf{X}}_{uv}=(2v,2u,0)$

• ${\mathbf{X}}_{vv}=(2u,-2v,-2)$

• $L=⟨{\mathbf{X}}_{uu},\mathbf{n}⟩=\frac{1}{1+u^2+v^2}⟨(-2u,2v,2),(-2u,2v,1-u^2-v^2)⟩=\frac{4u^2+4v^2+2-2u^2-2v^2}{1+u^2+v^2}=\frac{2(1+u^2+v^2)}{1+u^2+v^2}=2$

• $M=⟨{\mathbf{X}}_{uv},\mathbf{n}⟩=\frac{1}{1+u^2+v^2}⟨(2v,2u,0),(-2u,2v,\dots )⟩=\frac{-4uv+4uv}{1+u^2+v^2}=0$

• $N=⟨{\mathbf{X}}_{vv},\mathbf{n}⟩=\frac{1}{1+u^2+v^2}⟨(2u,-2v,-2),(-2u,2v,1-u^2-v^2)⟩=\frac{-4u^2-4v^2-2+2u^2+2v^2}{1+u^2+v^2}=\frac{-2(1+u^2+v^2)}{1+u^2+v^2}=-2$ (예상대로 $L=-N$ 임을 확인했습니다.)

4. 가우스 곡률 $K$ 최종 계산

$$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=\frac{(2)(-2)-0^2}{(1+u^2+v^2{)}^4}=\frac{-4}{(1+u^2+v^2{)}^4}$$

최종 결론

주어진 곡면(엔네퍼 곡면)의 가우스 곡률은 $K(u,v)=\frac{-4}{(1+u^2+v^2{)}^4}$ 입니다.

네, 맞습니다! 등온 좌표계(isothermal coordinates)에서는 가우스 곡률을 훨씬 쉽게 구할 수 있는 강력한 공식이 있습니다.

이 공식은 가우스의 위대한 발견인 ‘빼어난 정리(Theorema Egregium)’ 덕분인데, 가우스 곡률이 곡면의 제1 기본 형식($E,F,G$)만으로 결정된다는 내용입니다. 등온 좌표는 이 계산을 극적으로 단순화시켜 줍니다.

결론부터 말하면, 등온 좌표계($F=0,E=G$)에서 가우스 곡률 $K$는 다음과 같습니다.

$$K=-\frac{1}{2E}\Delta (\ln E)$$

여기서 $\Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial v^2}$ 는 우리가 잘 아는 라플라스 연산자(Laplacian) 입니다.

왜 이 공식이 더 쉬운가요? 🤔

• 제2 기본 형식이 필요 없습니다: 기존의 표준 공식 $K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$을 사용하려면 법선 벡터 $\mathbf{n}$과 곡면의 2차 미분 ${\mathbf{X}}_{uu},{\mathbf{X}}_{uv},{\mathbf{X}}_{vv}$을 모두 계산해서 $L,M,N$을 구해야 했습니다. 이 과정은 매우 길고 복잡합니다.
• 오직 E만 사용합니다: 하지만 위 공식은 오직 제1 기본 형식의 계수 $E$ 하나와 그것의 미분만으로 가우스 곡률을 계산할 수 있게 해줍니다. 계산량이 압도적으로 줄어듭니다.

계산 과정

1. 등온 좌표 확인: 주어진 매개변수화에 대해 ${\mathbf{X}}_u,{\mathbf{X}}_v$를 계산하여 $F=0$이고 $E=G$임을 확인합니다.
2. E 계산: $E=⟨{\mathbf{X}}_u,{\mathbf{X}}_u⟩$를 구합니다.
3. $\ln E$ 계산: 구한 $E$에 자연로그를 취합니다.
4. 라플라시안 적용: $\Delta (\ln E)=\frac{{\partial }^2(\ln E)}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^2(\ln E)}{\partial v^2}$ 를 계산합니다.
5. 최종 공식 대입: $K=-\frac{1}{2E}\Delta (\ln E)$에 위에서 구한 값들을 대입하여 $K$를 찾습니다.

이전 엔네퍼 곡면 문제 예시

바로 이전 문제였던 엔네퍼 곡면의 가우스 곡률을 이 공식으로 다시 구해 보겠습니다.

1. E 값 확인: 이전 문제에서 $E=(1+u^2+v^2{)}^2$ 임을 이미 계산했습니다.

2. $\ln E$ 계산:

$$\ln E=\ln \left((1+u^2+v^2{)}^2\right)=2\ln (1+u^2+v^2)$$

3. 라플라시안 계산:

• $\frac{\partial }{\partial u}(\ln E)=2\cdot \frac{2u}{1+u^2+v^2}=\frac{4u}{1+u^2+v^2}$
• $\frac{{\partial }^2}{\partial u^2}(\ln E)=\frac{4(1+u^2+v^2)-4u(2u)}{(1+u^2+v^2{)}^2}=\frac{4-4u^2+4v^2}{(1+u^2+v^2{)}^2}$
• 대칭성에 의해, $\frac{{\partial }^2}{\partial v^2}(\ln E)=\frac{4-4v^2+4u^2}{(1+u^2+v^2{)}^2}$
• $\Delta (\ln E)=\frac{4-4u^2+4v^2+4-4v^2+4u^2}{(1+u^2+v^2{)}^2}=\frac{8}{(1+u^2+v^2{)}^2}$

4. 최종 K 계산:

$$K=-\frac{1}{2E}\Delta (\ln E)=-\frac{1}{2(1+u^2+v^2{)}^2}\cdot \frac{8}{(1+u^2+v^2{)}^2}$$ $$K=\frac{-4}{(1+u^2+v^2{)}^4}$$

보시다시피, 제2 기본 형식을 전혀 사용하지 않고도 이전과 동일한 결과를 훨씬 빠르고 간단하게 얻을 수 있습니다. 등온 좌표계를 만났을 때 이 공식을 사용하는 것은 매우 효율적인 방법입니다. 👍