2022 spring

11. Prove or disprove the following statements. If the statement is false, find a counterexample.

(a) (7 pts) A compact subset of a topological space is closed. (b) (8 pts) A connected metric space having more than one point is uncountable.

Theorem

• 하우스도르프 공간 : 컴팩트 부분집합은 항상 닫힌 집합이다.
• 연속 함수와 연결성 : 연결 공간 위에서 정의된 연속 함수의 상(image)은 연결 집합이다. 실수의 부분집합이 연결 집합일 필요충분조건은 구간(interval)인 것이다.

Answer

(a) 거짓(False) 이 명제는 위상 공간이 하우스도르프(Hausdorff) 공간이라는 조건이 있을 때만 참이다.

• 반례 : $X=\{a,b\}$에 비이산 위상(indiscrete topology) $\mathcal{T}=\{\varnothing ,X\}$를 부여하자. 이 공간은 하우스도르프 공간이 아니다.
• 부분집합 $S=\{a\}$를 생각하자. $S$의 열린 덮개는 반드시 $X$를 포함해야 하므로, $\{X\}$는 유한 부분 덮개이다. 따라서 $S$는 컴팩트하다.
• 그러나 $X$의 닫힌 집합은 $\varnothing$과 $X$뿐이므로, $S=\{a\}$는 닫힌 집합이 아니다. 따라서, 일반적인 위상 공간에서 컴팩트 부분집합이 항상 닫힌 집합인 것은 아니다.

(b) 참(True)

1. $(X,d)$를 두 점 이상을 포함하는 연결 거리 공간이라 하자. $X$가 가산 집합이라고 가정하고 모순을 이끌어낸다.
2. $X$에서 서로 다른 두 점 $p,q$를 선택하자. 거리 $d(p,q)=r>0$ 이다.
3. 함수 $f:X\to \mathbb{R}$를 $f(x)=d(p,x)$로 정의하자. 삼각 부등식에 의해 $|f(x)-f(y)|=|d(p,x)-d(p,y)|\le d(x,y)$ 이므로, $f$는 연속 함수이다.
4. $X$는 연결 공간이고 $f$는 연속이므로, 그 상 $f(X)$는 $\mathbb{R}$의 연결 부분집합, 즉 구간이어야 한다.
5. $f(p)=d(p,p)=0$ 이고 $f(q)=d(p,q)=r$ 이므로, 상 $f(X)$는 $0$과 $r$을 모두 포함해야 한다. 따라서 중간값 정리에 의해, 구간 $[0,r]$은 $f(X)$에 포함된다: $[0,r]\subset f(X)$.
6. $[0,r]$은 비가산(uncountable) 집합이므로, $f(X)$도 비가산 집합이다.
7. 함수의 상이 비가산 집합이므로, 정의역인 $X$ 역시 비가산 집합이어야 한다.
8. 이는 $X$가 가산 집합이라는 초기 가정에 모순된다. 따라서 두 점 이상을 갖는 연결 거리 공간은 비가산 집합이다.

12. (10 pts) Let $X$ and $Y$ be topological spaces. Assume that $Y$ is compact. Show that the projection map ${\pi }_1:X\times Y\to X$ sends a closed set to a closed set.

Theorem

• 닫힌 함수(Closed Map) : 닫힌 집합을 닫힌 집합으로 보내는 함수이다.
• 튜브 보조정리(Tube Lemma)의 일반화 : $X$가 임의의 위상 공간이고 $Y$가 컴팩트 공간일 때, 사영 함수 ${\pi }_1:X\times Y\to X$는 닫힌 함수이다.

Answer

사영 함수 ${\pi }_1$이 닫힌 함수임을 보이기 위해, $X\times Y$의 임의의 닫힌 집합 $C$에 대해, 그 상 ${\pi }_1(C)$가 $X$에서 닫힌 집합임을 보여야 한다. 이는 여집합 $X\setminus {\pi }_1(C)$가 열린 집합임을 보이는 것과 같다.

1. 점 $x\in X\setminus {\pi }_1(C)$를 선택하자. 이는 $x$가 $C$에 속한 어떤 점의 첫 번째 성분도 아님을 의미한다. 즉, “수직선” $\{x\}\times Y$는 $C$와 서로소이다: $(\{x\}\times Y)\cap C=\varnothing$.
2. $C$가 닫힌 집합이므로, 그 여집합 $(X\times Y)\setminus C$는 열린 집합이다. 이 열린 집합은 $\{x\}\times Y$ 전체를 포함한다.
3. 곱위상의 정의에 따라, $\{x\}\times Y$의 모든 점 $(x,y)$에 대해, $(x,y)\in U_y\times V_y\subset (X\times Y)\setminus C$ 를 만족하는 $x$의 열린 근방 $U_y$와 $y$의 열린 근방 $V_y$가 존재한다.
4. 집합족 $\{V_y{\}}_{y\in Y}$는 컴팩트 공간 $Y$의 열린 덮개이다. 따라서, 유한 부분 덮개 $\{V_{y_1},\dots ,V_{y_n}\}$가 존재하여 $Y={\bigcup }_{i=1}^n{V}_{y_i}$ 이다.
5. $U={\bigcap }_{i=1}^n{U}_{y_i}$ 라 하자. $U$는 $x$를 포함하는 유한개의 열린 집합의 교집합이므로, $x$의 열린 근방이다.
6. 이제 $U\times Y$가 $C$와 서로소임을 보이자.

$$U\times Y=U\times \left(\bigcup _{i=1}^n{V}_{y_i}\right)=\bigcup _{i=1}^n(U\times V_{y_i})$$

각 $i$에 대해 $U\subset U_{y_i}$이므로 $U\times V_{y_i}\subset U_{y_i}\times V_{y_i}$이다. 또한, $U_{y_i}\times V_{y_i}$는 $C$와 서로소이므로, $U\times V_{y_i}$도 $C$와 서로소이다. 7. 따라서 그들의 합집합인 $U\times Y$도 $C$와 서로소이다. 8. $U\times Y$가 $C$와 서로소라는 것은 $U$의 어떤 점도 ${\pi }_1(C)$에 속할 수 없음을 의미한다. 즉, $U\subset X\setminus {\pi }_1(C)$이다. 9. 임의의 $x\in X\setminus {\pi }_1(C)$에 대해 그 점을 포함하고 여집합에 속하는 열린 근방 $U$를 찾았으므로, $X\setminus {\pi }_1(C)$는 열린 집합이다. 따라서 ${\pi }_1(C)$는 닫힌 집합이다.

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물론입니다. 두 부분으로 이루어진 이 문제에 대해 번역, 필수 개념, 그리고 가장 이상적인 답안을 제시해 드리겠습니다.

1. 문제 번역

**13. (a) (7점) $U\subset {\mathbb{R}}^2$가 연결된 열린 부분집합이라 하고, $f:U\to \mathbb{R}$를 그 위에서 정의된 미분 가능한 함수라 하자. $f$의 그래프 $\{(x,y,f(x,y))\in {\mathbb{R}}^3:(x,y)\in U\}$가 향을 줄 수 있는 곡면(orientable surface) 임을 보여라.

(b) (8점) $X$를 ${\mathbb{R}}^3$ 안의 정칙 곡면으로, 두 원의 곱 $S^1\times S^1$ (즉, 토러스)과 미분동형(diffeomorphic) 이라고 하자. $X$가 가우스 곡률이 0이 되는 점을 포함함 을 보여라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

(a)를 위한 개념

• 향을 줄 수 있는 곡면 (Orientable Surface): 곡면의 각 점에서 법선 벡터(normal vector)의 방향(‘위’ 또는 ‘아래’)을 전체적으로 모순 없이 매끄럽게(continuously) 선택할 수 있는 곡면입니다. 이를 증명하는 가장 직접적인 방법은 곡면 전체에 걸쳐 정의되는 매끄러운 단위 법선 벡터장(smooth unit normal vector field) 이 존재함을 보이는 것입니다.
• 함수의 그래프와 법선 벡터: 곡면이 $z=f(x,y)$의 그래프로 주어질 때, 이 곡면은 등위 집합 $F(x,y,z)=z-f(x,y)=0$ 으로 생각할 수 있습니다. 이 함수의 그래디언트(gradient) $\nabla F$는 곡면에 수직인 법선 벡터가 됩니다.

(b)를 위한 개념

• 토러스 (Torus, $S^1\times S^1$): 도넛 모양의 곡면입니다. * 가우스-보네 정리 (Gauss-Bonnet Theorem): 미분기하학의 가장 중요한 정리 중 하나로, 곡면의 기하학적 성질(곡률) 과 위상적 성질(오일러 지표) 을 연결합니다. 닫힌(경계가 없는) 향을 줄 수 있는 곡면 $S$에 대해 다음이 성립합니다.

$${\iint }_{S}KdA=2\pi \chi (S)$$

여기서 $K$는 가우스 곡률이고, $\chi (S)$는 오일러 지표입니다.

• 오일러 지표 (Euler Characteristic, $\chi (S)$): 곡면의 모양에 따라 결정되는 위상 불변량입니다. 구의 오일러 지표는 2이고, 토러스의 오일러 지표는 0 입니다.

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

(a) 함수의 그래프가 향을 줄 수 있음의 증명

목표: 함수 $z=f(x,y)$의 그래프로 주어진 곡면 $S$ 위에 매끄러운 단위 법선 벡터장을 구성하여 $S$가 향을 줄 수 있음을 보인다.

1. 곡면 $S$를 $F(x,y,z)=z-f(x,y)=0$의 등위 집합으로 생각하자.
2. 함수 $F$의 그래디언트 벡터 $\nabla F$는 곡면 $S$의 법선 벡터장이다.

$$\nabla F=\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\right)$$

3. 문제에서 $f$가 미분 가능하다고 했으므로, 편도함수 $\frac{\partial f}{\partial x}$와 $\frac{\partial f}{\partial y}$는 연속 함수이다. 따라서 벡터장 $\nabla F$는 연속이다.
4. $\nabla F$의 z-성분은 항상 1이므로, 이 벡터는 절대로 영벡터가 아니다.
5. 이제 이 법선 벡터장을 정규화하여 단위 법선 벡터장 $N$을 만들 수 있다.

$$N=\frac{\nabla F}{\Vert \nabla F\Vert }=\frac{(-f_x,-f_y,1)}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}}$$

6. $f_x,f_y$가 연속이고 분모가 항상 0보다 크므로, $N$은 곡면 $S$ 전체에 걸쳐 잘 정의된 연속(매끄러운) 단위 법선 벡터장이다.

결론: $S$ 위에 매끄러운 단위 법선 벡터장이 존재하므로, 정의에 의해 $S$는 향을 줄 수 있는 곡면이다. ∎

(b) 토러스가 가우스 곡률이 0인 점을 가짐의 증명

목표: 가우스-보네 정리를 이용하여, 토러스와 미분동형인 곡면 $X$ 위에 $K=0$인 점이 반드시 존재함을 보인다.

1. 곡면 $X$는 $S^1\times S^1$ (토러스)와 미분동형이므로, 경계가 없고 닫힌(compact) 향을 줄 수 있는 정칙 곡면이다. 따라서 가우스-보네 정리를 적용할 수 있다.

$${\iint }_{X}KdA=2\pi \chi (X)$$

2. 토러스의 오일러 지표는 $\chi (S^1\times S^1)=0$ 이다. $X$는 토러스와 위상적으로 같으므로 $\chi (X)=0$ 이다.
3. 따라서 가우스-보네 정리에 의해 가우스 곡률의 총합(적분)은 다음과 같다.

$${\iint }_{X}KdA=2\pi \cdot 0=0$$

4. 귀류법(Proof by contradiction) 을 사용하자. 만약 곡면 $X$ 위에 가우스 곡률 $K$가 0이 되는 점이 없다고 가정 하자.

• $K$는 $X$ 위에서 연속 함수이다. 만약 $K\ne 0$ 이라면, $X$ 위의 모든 점에서 $K>0$ 이거나 또는 모든 점에서 $K<0$ 이어야 한다.
• 만약 모든 점에서 $K>0$ 이면, 적분값 ${\iint }_{X}KdA$는 양수가 되어야 한다.
• 만약 모든 점에서 $K<0$ 이면, 적분값 ${\iint }_{X}KdA$는 음수가 되어야 한다.
• 두 경우 모두 적분값이 0이라는 결과와 모순된다.

결론: 처음의 가정, 즉 “$K$가 0이 되는 점이 없다”는 가정이 거짓이다. 따라서 곡면 $X$는 가우스 곡률이 0이 되는 점을 반드시 하나 이상 포함한다. ∎

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물론입니다. 국소 등거리성에 관한 이 문제에 대해 번역, 필수 개념, 그리고 가장 이상적인 답안을 제시해 드리겠습니다.

1. 문제 번역

**14. (10점) ${\mathbb{R}}^3$ 안의 정칙 곡면 X가 $x^2+y^2-z^2=1$ 로 주어졌다고 하자. X 위의 어떤 점 p가 존재하여, X가 p의 근방에서 평면과 국소적으로 등거리(locally isometric) 가 될 수 있는가? 답을 정당화하라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

이 문제의 답은 미분기하학의 가장 심오하고 중요한 정리 중 하나에 의해 결정됩니다.

• 국소 등거리 변환 (Local Isometry) 두 곡면이 국소적으로 등거리라는 것은, 각 곡면의 한 점 근방을 잘라냈을 때, 길이를 보존하며 하나를 다른 하나로 변형시킬 수 있다는 의미입니다. 즉, 대응하는 곡선들의 길이가 같습니다. 이는 두 곡면의 제1 기본 형식(first fundamental form) 이 같아질 수 있다는 것과 동치입니다.

• 가우스의 ‘빼어난 정리’ (Gauss’s Theorema Egregium) 이 문제의 핵심입니다. 이 정리는 가우스 곡률 $K$가 곡면의 내재적(intrinsic) 성질 이라는 것을 말합니다. 즉, 가우스 곡률은 오직 제1 기본 형식(E, F, G)만으로 결정됩니다.

• 결정적 귀결: 만약 두 곡면이 (국소적으로) 등거리라면, 그들은 반드시 동일한 가우스 곡률 을 가져야 합니다. 역으로, 만약 두 곡면의 가우스 곡률이 다르다면, 그들은 절대로 등거리가 될 수 없습니다.

• 평면과 쌍곡면의 곡률

• 평면: 평면은 모든 점에서 완벽하게 ‘평평’하므로, 가우스 곡률 $K_{\text{plane}}$는 모든 점에서 0 입니다.

• 쌍곡면 (Hyperboloid): 문제에 주어진 곡면 $x^2+y^2-z^2=1$은 일엽쌍곡면(hyperboloid of one sheet) 입니다. 이 곡면의 가우스 곡률을 계산하여 평면의 곡률과 비교해야 합니다.

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

결론: 아니오, 그러한 점 p는 존재하지 않습니다.

정당화 (Justification): 이 증명은 가우스의 ‘빼어난 정리(Theorema Egregium)’ 에 직접적으로 의존합니다.

1. 핵심 원리 가우스의 ‘빼어난 정리’에 따르면, 가우스 곡률은 국소 등거리 변환에 대해 불변인 내재적 성질입니다. 따라서 만약 곡면 $X$가 어떤 점 $p$의 근방에서 평면과 등거리라면, 그 점에서의 가우스 곡률 $K_X(p)$는 평면의 가우스 곡률 $K_{\text{plane}}$과 반드시 같아야 합니다.

2. 곡률 비교

• 평면의 가우스 곡률은 모든 점에서 $K_{\text{plane}}=0$ 입니다.
• 이제 일엽쌍곡면 $X:x^2+y^2-z^2=1$ 의 가우스 곡률 $K_X$를 계산해야 합니다. 곡면 $X$를 다음과 같이 매개변수화할 수 있습니다.

$$\mathbf{X}(u,v)=(\cosh v\cos u,\cosh v\sin u,\sinh v)$$

이 매개변수 표현에 대해 제1 기본 형식과 제2 기본 형식의 계수들을 계산하여 가우스 곡률을 구하면 다음과 같습니다. (상세 계산은 길지만, 결과는 잘 알려져 있습니다.)

$$K_X=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=\frac{-1}{({\cosh }^{2}v+{\sinh }^{2}v{)}^2}$$

• 위 식에서 분모 $({\cosh }^{2}v+{\sinh }^{2}v{)}^2$는 항상 양수($>0$)입니다.
• 따라서, 일엽쌍곡면 $X$의 가우스 곡률 $K_X$는 곡면 위의 모든 점에서 항상 엄격하게 음수($K_X<0$) 입니다.

3. 최종 결론 곡면 $X$의 가우스 곡률은 항상 음수($K_X<0$)이고, 평면의 가우스 곡률은 항상 0 ($K_{\text{plane}}=0$)입니다. 따라서 곡면 $X$ 위의 어떤 점 $p$에서도 $K_X(p)=K_{\text{plane}}$ 이 성립할 수 없습니다.

가우스의 ‘빼어난 정리’에 의해, 두 곡면의 가우스 곡률이 다르므로 곡면 $X$는 어떤 점의 근방에서도 평면과 등거리가 될 수 없습니다. ∎

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이전 풀이에서 사용한 삼각/쌍곡 함수를 이용한 매개변수화($\mathbf{X}(u,v)=(\cosh v\cos u,\dots )$)는 쌍곡면을 다루는 표준적인 방법이지만, 바로 생각해내기 어려울 수 있습니다.

매개변수화를 찾지 못하더라도, 더 직접적인 방법으로 문제를 해결할 수 있습니다. 가장 좋은 대안은 곡면을 국소적으로 함수의 그래프($z=f(x,y)$)로 보고 계산하는 것입니다.

함수 그래프를 이용한 접근법

핵심 아이디어: 곡면 위의 한 점 근방을 잘라내어 $z$를 $x,y$에 대한 함수로 표현한 뒤, 함수의 그래프에 대한 가우스 곡률 공식을 직접 적용합니다.

계산 과정

1. 함수 정의하기 주어진 곡면 $x^2+y^2-z^2=1$을 $z$에 대해 정리합니다.

$$z^2=x^2+y^2-1⟹z=\pm \sqrt{x^2+y^2-1}$$

$z\ge 0$ 인 위쪽 반(upper sheet)에 대해 $z=f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-1}$ 로 둘 수 있습니다. 이 함수는 $x^2+y^2>1$ 에서 잘 정의됩니다. ($z=0$인 허리 부분은 이 좌표계로 표현되지 않지만, 다른 좌표계(예: $x=g(y,z)$)로 표현하면 되므로 일반성을 잃지 않습니다.)

2. 가우스 곡률 공식 (함수 그래프용) $z=f(x,y)$로 주어진 곡면의 가우스 곡률 $K$는 다음과 같습니다.

$$K=\frac{f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2}{(1+f_x^2+f_y^2{)}^2}$$

3. 편도함수 계산

• $f_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2-1}}$
• $f_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2-1}}$
• $f_{xx}=\frac{y^2-1}{(x^2+y^2-1{)}^{3/2}}$
• $f_{yy}=\frac{x^2-1}{(x^2+y^2-1{)}^{3/2}}$
• $f_{xy}=\frac{-xy}{(x^2+y^2-1{)}^{3/2}}$

4. 공식에 대입 및 정리

• 분모 계산: $1+f_x^2+f_y^2=1+\frac{x^2}{x^2+y^2-1}+\frac{y^2}{x^2+y^2-1}=\frac{(x^2+y^2-1)+x^2+y^2}{x^2+y^2-1}=\frac{2x^2+2y^2-1}{x^2+y^2-1}$
• 분자 계산: $f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2=\frac{(y^2-1)(x^2-1)-(-xy{)}^2}{(x^2+y^2-1{)}^3}=\frac{x^2{y}^2-x^2-y^2+1-x^2{y}^2}{(x^2+y^2-1{)}^3}=\frac{-(x^2+y^2-1)}{(x^2+y^2-1{)}^3}=\frac{-1}{(x^2+y^2-1{)}^2}$
• K 최종 계산:

$$K=\frac{\frac{-1}{(x^2+y^2-1{)}^2}}{{\left(\frac{2x^2+2y^2-1}{x^2+y^2-1}\right)}^2}=\frac{-1}{(2x^2+2y^2-1{)}^2}$$

결론

계산 결과, 가우스 곡률 $K=\frac{-1}{(2x^2+2y^2-1{)}^2}$ 입니다. 분모는 제곱 형태이므로 항상 양수입니다. 따라서 곡면 위의 모든 점에서 가우스 곡률 $K$는 항상 엄격하게 음수($<0$) 입니다.

이는 이전 풀이와 동일한 결론입니다.

• 쌍곡면의 가우스 곡률은 항상 음수 입니다.
• 평면의 가우스 곡률은 항상 0 입니다.

가우스의 ‘빼어난 정리’에 의해, 두 곡면의 가우스 곡률이 다르므로 쌍곡면은 어떤 점에서도 평면과 국소적으로 등거리가 될 수 없습니다.

이 방법은 특별한 매개변수화를 ‘발견’할 필요 없이, 미적분학에서 배운 편미분과 표준 공식을 이용하여 기계적으로 계산할 수 있다는 장점이 있습니다. 👍

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네, 물론입니다. 미분기하학 문제에서 마주치는 여러 곡면에 대한 매개변수 표현을 빠르게 찾는 데 도움이 되는 몇 가지 핵심적인 요령과 생각의 흐름이 있습니다.

기계적으로 공식을 외우기보다는, 곡면의 기하학적 특징 을 보고 어떤 전략을 사용할지 판단하는 것이 중요합니다.

팁 1: 대칭성을 파악하라 💡

가장 먼저 확인해야 할 것은 곡면이 어떤 대칭성을 갖는지입니다.

• 회전 대칭 (z축 기준): 곡면을 z축 중심으로 회전시켜도 모양이 변하지 않는다면, 원통 좌표계 가 최고의 출발점입니다. 매개변수 하나는 회전각 $u$ (또는 $\theta$)가 될 것이고, $x,y$ 좌표는 거의 항상 다음과 같은 형태를 띱니다.

• $x=r\cos u$

• $y=r\sin u$ 이때 반지름 $r$과 높이 $z$ 사이의 관계만 찾아내면 됩니다.

• 원기둥: $r$이 상수 ($r=R$)

• 원뿔: $r$이 $z$에 비례 ($r=az$)

• 포물면 ($z=x^2+y^2$): $z=r^2$

• 쌍곡면 ($x^2+y^2-z^2=1$): $r^2-z^2=1$

• 구면 대칭: 원점을 중심으로 모든 방향으로 대칭이라면 구면 좌표계 를 사용합니다.

팁 2: 방정식의 형태에서 항등식을 떠올려라 📐

방정식의 형태는 어떤 함수를 사용해야 할지에 대한 강력한 힌트를 줍니다.

• $x^2+y^2=(\dots {)}^2$ 형태: 원의 방정식이 보이면 주저 없이 삼각함수 를 사용하세요.

• ${\cos }^{2}u+{\sin }^{2}u=1$ 항등식은 원, 원기둥, 구, 포물면 등 대부분의 회전체에 적용됩니다.

• $x^2-z^2=1$ 형태: 제곱 빼기 제곱 형태가 보이면 쌍곡선 함수(hyperbolic functions) 를 떠올려야 합니다.

• ${\cosh }^{2}v-{\sinh }^{2}v=1$ 항등식을 이용하면 쌍곡면의 매개변수화를 바로 찾을 수 있습니다.

• $x^2+y^2-z^2=1$ 에서 $x^2+y^2=r^2$으로 보면 $r^2-z^2=1$이므로, $r=\cosh v,z=\sinh v$로 둘 수 있습니다. 여기에 팁 1의 회전 대칭을 결합하면 최종 매개변수화 $x=\cosh v\cos u,y=\cosh v\sin u,z=\sinh v$ 가 완성됩니다.

팁 3: 회전체의 일반 원리를 이용하라 🔄

어떤 곡면이 특정 곡선을 한 축을 중심으로 회전 시켜 만들어진 것 같다면, 다음의 일반적인 방법을 사용할 수 있습니다.

1. 생성 곡선 찾기: 곡면을 단순한 평면(예: xy평면, xz평면)으로 잘랐을 때 나타나는 단면 곡선을 찾습니다. (예: 쌍곡면을 xz평면으로 자르면 쌍곡선 $x^2-z^2=1$이 나옵니다.)
2. 생성 곡선 매개변수화: 이 2D 곡선을 매개변수 $v$로 표현합니다. (예: 쌍곡선 $\to x(v)=\cosh v,z(v)=\sinh v$)
3. 회전 변환 적용: 다른 매개변수 $u$를 회전각으로 사용하여 회전시킵니다.

• 최종 매개변수화: $\mathbf{X}(u,v)=(x(v)\cos u,x(v)\sin u,z(v))$

팁 4: 최후의 수단, 함수 그래프 ✅

어떤 방법도 잘 떠오르지 않을 때 가장 직접적이고 확실한 방법입니다.

• 한 변수를 나머지 두 변수에 대해 정리할 수 있다면 ($z=f(x,y)$ 또는 $x=g(y,z)$ 등), 그것을 그대로 매개변수 표현으로 사용합니다.
• 매개변수화: $\mathbf{X}(u,v)=(u,v,f(u,v))$
• 장점: 기발한 아이디어가 필요 없고 항상 (국소적으로) 가능합니다.
• 단점: 이후의 미분 및 곡률 계산이 매우 복잡해질 수 있습니다.

요약

곡면 형태	핵심 단서	추천 전략
원기둥, 원뿔, 포물면, 토러스	z축 중심 회전 대칭	팁 1, 2: 원통 좌표계 기반 ($r,z$ 관계 파악)
구	원점 중심 구면 대칭	구면 좌표계
쌍곡면	$r^2-z^2=1$ 형태	팁 2, 3: 쌍곡선 함수 항등식 + 회전
복잡한 회전체	생성 곡선 식별 가능	팁 3: 회전체의 일반 원리
잘 모르겠을 때	$z=f(x,y)$로 정리 가능	팁 4: 함수 그래프 (계산 복잡성 감수)