2021 spring

10. (10 pts.) Let $A\subset {\mathbb{R}}^d$ be a non-empty set. For $x\in {\mathbb{R}}^d$, we define

$d(x,A)={\inf }_{y\in A}||x-y||$ where $||\cdot ||$ denotes the usual Euclidean norm in ${\mathbb{R}}^d$. Prove or disprove the following identity: ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }\{x\in {\mathbb{R}}^d:d(x,A)<1/n\}=\bar{A}$, where $\bar{A}$ is the closure of A.

Theorem

• 집합의 폐포(Closure of a Set) : 거리 공간에서 집합 $A$의 폐포 $\bar{A}$는 $A$까지의 거리가 0인 모든 점들의 집합과 같다. 즉, $\bar{A}=\{x\mid d(x,A)=0\}$.

Answer

증명: 주어진 등식은 참이다.

1. 먼저, 등식의 좌변에 있는 집합의 의미를 파악한다. $S={\bigcap }_{n=1}^{\infty }\{x\in {\mathbb{R}}^d:d(x,A)<1/n\}$ 점 $x$가 집합 $S$에 속한다는 것은, 모든 자연수 $n$에 대해 $d(x,A)<1/n$ 이 성립한다는 의미이다.
2. $d(x,A)$는 음이 아닌 실수이다. 임의의 양수 $ϵ>0$에 대해, $1/n<ϵ$을 만족하는 자연수 $n$을 항상 찾을 수 있다 (아르키메데스 원리). 따라서, 모든 $n$에 대해 $d(x,A)<1/n$ 이라는 조건은 $d(x,A)=0$ 이라는 조건과 동치이다.
3. 따라서, 좌변의 집합은 $S=\{x\in {\mathbb{R}}^d\mid d(x,A)=0\}$ 으로 다시 쓸 수 있다.
4. 거리 공간에서 집합 $A$의 폐포 $\bar{A}$는 $A$까지의 거리가 0인 점들의 집합이라는 것이 잘 알려진 정리이다.

• 증명 :
• ($\bar{A}\subseteq S$): $x\in \bar{A}$라 하자. 그러면 $x$의 임의의 근방은 $A$와 만난다. 즉, 임의의 $ϵ>0$에 대해, $||x-y||<ϵ$인 $y\in A$가 존재한다. 이는 $d(x,A)={\inf }_{y\in A}||x-y||\le ϵ$을 의미한다. 이 식이 모든 $ϵ>0$에 대해 성립하므로, $d(x,A)=0$이다. 따라서 $x\in S$이다.
• ($S\subseteq \bar{A}$): $x\in S$라 하자. 즉, $d(x,A)=0$이다. 이는 ${\inf }_{y\in A}||x-y||=0$임을 의미한다. 하한(infimum)의 정의에 의해, 임의의 $ϵ>0$에 대해, $||x-y||<ϵ$인 $y\in A$가 존재한다. 이는 $x$를 중심으로 하는 임의의 열린 공(open ball)이 $A$의 원소를 포함한다는 의미이며, 이는 $x$가 $\bar{A}$에 속한다는 정의이다.

5. 따라서 $S=\bar{A}$ 이므로, 주어진 등식은 참이다.

11. (10 pts.) Is a finite product of Hausdorff spaces Hausdorff? Is an infinite product of Hausdorff spaces Hausdorff? (The product spaces are endowed with the product topology.) Justify your answers.

Theorem

• 하우스도르프 공간(Hausdorff Space) : 서로 다른 두 점 $x,y$가 주어졌을 때, $x$를 포함하는 열린 집합 $U$와 $y$를 포함하는 열린 집합 $V$가 존재하여 $U\cap V=\varnothing$을 만족하는 위상 공간이다.
• 곱위상(Product Topology) : 곱공간 $\prod X_{\alpha }$에서, 유한개의 성분을 제외한 나머지 성분은 전체 공간인 형태의 곱집합들을 기저로 하는 위상이다.

Answer

두 경우 모두 답은 ‘예’이다. 하우스도르프 공간의 유한 또는 무한 곱공간은 곱위상에 대해 항상 하우스도르프 공간이다.

유한 곱의 경우:

1. $X_1,\dots ,X_n$을 하우스도르프 공간이라 하고, $X={\prod }_{i=1}^n{X}_i$라 하자.
2. $X$에서 서로 다른 두 점 $x=(x_1,\dots ,x_n)$과 $y=(y_1,\dots ,y_n)$를 선택하자.
3. $x\ne y$ 이므로, $x_j\ne y_j$인 인덱스 $j\in \{1,\dots ,n\}$가 적어도 하나 존재한다.
4. $X_j$는 하우스도르프 공간이므로, $x_j\in U_j$, $y_j\in V_j$이고 $U_j\cap V_j=\varnothing$인 열린 집합 $U_j,V_j\subset X_j$가 존재한다.
5. $X$에서 두 개의 열린 집합 $U,V$를 다음과 같이 정의한다.

$$U=X_1\times \cdots \times U_j\times \cdots \times X_n$$ $$V=X_1\times \cdots \times V_j\times \cdots \times X_n$$

6. $x\in U$이고 $y\in V$이다. 또한, 어떤 점 $z\in U\cap V$가 존재한다면, 그 점의 $j$번째 성분 $z_j$는 $U_j\cap V_j$에 속해야 한다. 그러나 $U_j$와 $V_j$는 서로소이므로 이는 불가능하다. 따라서 $U\cap V=\varnothing$이다.
7. 그러므로 유한 곱공간은 하우스도르프 공간이다.

무한 곱의 경우:

1. $\{X_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$를 하우스도르프 공간들의 집합족이라 하고, $X={\prod }_{\alpha \in I}{X}_{\alpha }$라 하자.
2. $X$에서 서로 다른 두 점 $x=(x_{\alpha })$와 $y=(y_{\alpha })$를 선택하자.
3. $x\ne y$ 이므로, $x_{\beta }\ne y_{\beta }$인 인덱스 $\beta \in I$가 존재한다.
4. $X_{\beta }$는 하우스도르프 공간이므로, $x_{\beta }\in U_{\beta }$, $y_{\beta }\in V_{\beta }$이고 $U_{\beta }\cap V_{\beta }=\varnothing$인 열린 집합 $U_{\beta },V_{\beta }\subset X_{\beta }$가 존재한다.
5. $X$에서 두 개의 열린 집합 $U,V$를 다음과 같이 정의한다.

$$U={\pi }_{\beta }^{-1}(U_{\beta })=\{z\in X\mid z_{\beta }\in U_{\beta }\}$$ $$V={\pi }_{\beta }^{-1}(V_{\beta })=\{z\in X\mid z_{\beta }\in V_{\beta }\}$$

여기서 ${\pi }_{\beta }$는 $\beta$번째 성분으로의 사영 함수이다. $U_{\beta },V_{\beta }$가 열려있으므로, 곱위상의 정의에 의해 $U,V$는 $X$에서 열린 집합이다. 6. $x\in U$이고 $y\in V$이다. 또한 $U\cap V=\varnothing$인데, 만약 $z\in U\cap V$이면 $z_{\beta }\in U_{\beta }\cap V_{\beta }$가 되어 모순이 발생하기 때문이다. 7. 그러므로 임의의 곱공간은 하우스도르프 공간이다.

12. (10 pts.) Let $X$ be a topological space.

(a) Define what it means for $X$ to be (1) compact, (2) normal. (b) Show that a compact Hausdorff space is normal.

Theorem

• 컴팩트 공간(Compact Space) : 공간 $X$의 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는다.
• 정규 공간(Normal Space) : 임의의 서로소인 닫힌 집합 $A,B$에 대해, $A\subset U,B\subset V$이고 $U\cap V=\varnothing$인 열린 집합 $U,V$가 존재한다.
• 보조정리 : 하우스도르프 공간에서, 컴팩트 부분집합 $K$와 $K$에 속하지 않는 점 $x$가 주어지면, $x\in U,K\subset V$이고 $U\cap V=\varnothing$인 열린 집합 $U,V$가 존재한다.

Answer

(a) 정의

1. 컴팩트(Compact) : 위상 공간 $X$의 임의의 열린 덮개(open cover)가 유한개의 원소로 이루어진 부분 덮개(finite subcover)를 가질 때, $X$를 컴팩트 공간이라고 한다.
2. 정규(Normal) : 위상 공간 $X$의 임의의 서로소인(disjoint) 닫힌(closed) 부분집합 $A,B$에 대해, $A$를 포함하는 열린 집합 $U$와 $B$를 포함하는 열린 집합 $V$가 존재하여 $U$와 $V$가 서로소($U\cap V=\varnothing$)일 때, $X$를 정규 공간이라고 한다.

(b) 컴팩트 하우스도르프 공간이 정규 공간임을 보인다.

1. $X$를 컴팩트 하우스도르프 공간이라 하고, $A$와 $B$를 $X$의 서로소인 닫힌 부분집합이라 하자.
2. $X$가 컴팩트하므로, 닫힌 부분집합인 $A$와 $B$ 역시 컴팩트하다.
3. 먼저 $A$의 각 점 $a\in A$에 대해, $a\notin B$이고 $B$는 컴팩트하다. 보조정리(위 Theorem 참조, 증명은 14번 문제 풀이와 유사)에 의해, $a\in U_a,B\subset V_a$이고 $U_a\cap V_a=\varnothing$인 열린 집합 $U_a,V_a$가 존재한다.
4. 집합족 $\{U_a{\}}_{a\in A}$는 컴팩트 집합 $A$의 열린 덮개이다. 따라서 유한 부분 덮개 $\{U_{a_1},\dots ,U_{a_n}\}$가 존재하여 $A\subset {\bigcup }_{i=1}^n{U}_{a_i}$ 이다.
5. 이제 두 개의 열린 집합 $U,V$를 다음과 같이 정의한다.

$$U=\bigcup _{i=1}^n{U}_{a_i},V=\bigcap _{i=1}^n{V}_{a_i}$$

6. $U$는 열린 집합들의 합집합이므로 열린 집합이고, 정의에 의해 $A\subset U$ 이다.
7. $V$는 유한개의 열린 집합들의 교집합이므로 열린 집합이고, 모든 $i$에 대해 $B\subset V_{a_i}$ 이므로, $B\subset V$ 이다.
8. 마지막으로, $U$와 $V$가 서로소임을 보인다. 임의의 $i\in \{1,\dots ,n\}$에 대해 $U_{a_i}\cap V_{a_i}=\varnothing$ 이고, $V\subset V_{a_i}$ 이므로 $U_{a_i}\cap V=\varnothing$ 이다. 따라서, $U\cap V=({\bigcup }_{i=1}^n{U}_{a_i})\cap V={\bigcup }_{i=1}^n(U_{a_i}\cap V)={\bigcup }_{i=1}^n\varnothing =\varnothing$ 이다.
9. 따라서 $X$는 정규 공간이다.

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물론입니다. 정칙 곡면의 정의에 관한 이 두 문제에 대해 번역, 필수 개념, 그리고 가장 이상적인 답안을 제시해 드리겠습니다.

1. 문제 번역

**13. (10점) (a) ${\mathbb{R}}^3$ 안에서 $x^2+y^2+z^2=1$ 로 주어진 구(sphere)가 매개변수 사상(parametrization maps) 을 이용하여 정칙 곡면(regular surface) 임을 보여라.

(b) $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$를 $C^{\infty }$ 함수라 하자. $a\in f({\mathbb{R}}^3)$를 $f$의 정칙값(regular value) 이라 하자. 역상(inverse image) $f^{-1}(a)$가 정칙 곡면 임을 보여라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

(a)를 위한 개념

• 정칙 곡면 (Regular Surface): 부분집합 $S\subset {\mathbb{R}}^3$가 정칙 곡면이라는 것은, $S$ 위의 모든 점 $p$에 대해, 그 점 근방을 덮는 매개변수 사상(parametrization map) $\mathbf{x}$ 가 존재한다는 의미입니다. 이 사상은 다음 조건을 만족해야 합니다.

1. 매끄러움(Smooth): $\mathbf{x}$는 무한히 미분 가능합니다.
2. 동형사상(Homeomorphism): $\mathbf{x}$는 연속이고 연속인 역함수를 가집니다.
3. 정칙 조건(Regular): 접벡터 ${\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v$가 모든 점에서 선형 독립입니다.

• 아틀라스 (Atlas): 전체 곡면을 덮는 이러한 매개변수 사상들의 모음을 아틀라스라고 합니다. 구 전체가 정칙 곡면임을 보이려면, 구 위의 모든 점을 포함하는 아틀라스를 구성해야 합니다.

(b)를 위한 개념

• 정칙값 (Regular Value): 값 $a\in \mathbb{R}$가 함수 $f$의 정칙값이라는 것은, 역상 $f^{-1}(a)$에 속하는 모든 점 $p$에서 $f$의 미분(그래디언트)이 0이 아님($\nabla f(p)\ne 0$)을 의미합니다.
• 음함수 정리 (Implicit Function Theorem): 이 문제 증명의 핵심 정리입니다. 점 $p$에서 $f(p)=a$이고 $\nabla f(p)\ne 0$ 이면, 점 $p$ 근방에서 등위 집합 $f^{-1}(a)$을 국소적으로 하나의 변수를 나머지 변수들에 대한 매끄러운 함수(예: $z=g(x,y)$)의 그래프로 나타낼 수 있음을 보장합니다. 이 정리는 정칙값 정리(Regular Value Theorem) 또는 원상 정리(Preimage Theorem) 의 기초가 됩니다.

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

(a) 구가 정칙 곡면임의 증명

목표: 구 $S^2$ 위의 임의의 점을 포함하는 매개변수 사상(좌표 조각)이 존재함을 보인다. 이를 위해 6개의 좌표 조각으로 구성된 아틀라스를 제시한다.

1. 구 $S^2:x^2+y^2+z^2=1$ 위의 임의의 점 $p=(x_0,y_0,z_0)$을 생각하자. $x_0,y_0,z_0$ 중 적어도 하나는 0이 아니다.
2. 일반성을 잃지 않고 $z_0>0$ 이라 가정하자. (다른 경우도 대칭적으로 동일하다.)
3. 점 $p$를 포함하는 북반구($z>0$)는 함수 $z=g(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 의 그래프로 표현된다.
4. 이를 이용하여 열린 단위 디스크 $U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2<1\}$ 에서 북반구로 가는 매개변수 사상 $\mathbf{x}:U\to S^2$ 를 다음과 같이 정의한다.

$$\mathbf{x}(x,y)=(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})$$

5. 이 사상 $\mathbf{x}$가 정칙 곡면의 조건을 만족하는지 확인한다.

• 매끄러움: $g(x,y)$는 열린 집합 $U$에서 무한히 미분 가능하므로, $\mathbf{x}$는 매끄럽다.
• 동형사상: $\mathbf{x}$는 연속 함수의 그래프이므로 이미지와의 동형사상이다. (역함수는 $S^2$에서 xy평면으로의 투영으로 이 또한 연속이다.)
• 정칙 조건: 접벡터 ${\mathbf{x}}_x=(1,0,g_x)$와 ${\mathbf{x}}_y=(0,1,g_y)$의 외적은 $(-g_x,-g_y,1)$이다. 이 벡터는 z성분이 1이므로 절대 영벡터가 될 수 없다. 따라서 ${\mathbf{x}}_x,{\mathbf{x}}_y$는 항상 선형 독립이다.

6. 위와 같이 북반구($z>0$), 남반구($z<0$), 앞($y>0$), 뒤($y<0$), 오른쪽($x>0$), 왼쪽($x<0$)에 해당하는 총 6개의 매개변수 사상을 만들 수 있다. 이 6개의 사상(좌표 조각)들의 이미지의 합집합은 구 $S^2$ 전체를 덮는다.

결론: 구 위의 모든 점은 위와 같은 6개의 매개변수 사상 중 적어도 하나에 포함되므로, 구는 정칙 곡면이다. ∎

네, 아주 좋은 지적입니다. 실제로 구의 넓이를 계산하거나 구 위의 점을 다룰 때처럼 많은 응용 분야에서는 구면 좌표계가 훨씬 더 편하고 직관적 입니다.

하지만 이전 문제의 목표였던 ”** 정의를 이용하여** 구가 정칙 곡면임을 증명하는 것”에 한해서는, 구면 좌표계에 결정적인 약점이 있어서 단독으로 사용할 수 없습니다.

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구면 좌표계의 장점과 결정적 약점

• 장점: 하나의 수식으로 표현 구면 좌표계는 단 하나의 매개변수 사상으로 구 전체(를 거의 다) 표현할 수 있어 매우 우아합니다.

$$\mathbf{X}(\theta ,\varphi )=(\sin \varphi \cos \theta ,\sin \varphi \sin \theta ,\cos \varphi )$$

여기서 $\theta$는 경도, $\varphi$는 위도와 관련된 각도입니다. 이는 구의 넓이나 구 위에서의 적분 등을 계산할 때 압도적으로 편리합니다.

• 결정적 약점: 극점에서의 특이점(Singularity) 정칙 곡면의 정의에 따르면, 모든 점 근방에서 접벡터들이 선형 독립이어야 합니다. 하지만 구면 좌표계에서는 북극($\varphi =0$)과 남극($\varphi =\pi$) 에서 이 조건이 깨집니다.

• 접벡터 ${\mathbf{X}}_{\theta }$를 계산하면 $(-\sin \varphi \sin \theta ,\sin \varphi \cos \theta ,0)$ 이 됩니다.

• 북극($\varphi =0$) 또는 남극($\varphi =\pi$)에서는 $\sin \varphi =0$ 이므로, ${\mathbf{X}}_{\theta }=(0,0,0)$ 이 되어버립니다.

• 접벡터 중 하나가 영벡터가 되면 두 접벡터는 선형 독립일 수 없습니다. 따라서 이 매개변수 사상은 두 극점에서 정칙(regular)이 아닙니다.

• 결론적으로, 구면 좌표계 하나만으로는 구 위의 모든 점이 정칙 조건을 만족함을 보일 수 없으므로, 증명 도구로는 불완전합니다.

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6개 좌표 조각(함수 그래프) 방식의 장점

• 장점: 완벽한 정칙성 보장 $z=f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 와 같은 함수 그래프 방식의 가장 큰 장점은, 그 정의상 항상 정칙 조건을 만족 한다는 것입니다.
• 접벡터가 ${\mathbf{X}}_x=(1,0,f_x)$ 와 ${\mathbf{X}}_y=(0,1,f_y)$ 형태이므로, 두 벡터는 항상 선형 독립입니다.
• 따라서 이 방식은 ‘정칙 곡면임을 증명하라’는 문제의 요구사항을 군더더기 없이 만족시키는, 수학적으로 가장 엄밀하고 안전한 방법입니다.

결론적으로, 어떤 목적으로 사용하느냐 에 따라 더 편한 방법이 달라집니다. 일상적인 계산에는 구면 좌표계가 훨씬 편리하지만, 정칙성을 엄밀하게 증명해야 할 때는 허점이 없는 여러 개의 함수 그래프 조각을 사용하는 것이 정석입니다.

(b) 정칙값의 역상이 정칙 곡면임의 증명

목표: $a$가 $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$의 정칙값일 때, 등위 집합 $S=f^{-1}(a)$가 정칙 곡면임을 보인다. 이를 위해 $S$ 위의 임의의 점 $p$에 대해 정칙 곡면의 조건을 만족하는 국소 매개변수 표현이 존재함을 음함수 정리 를 이용하여 증명한다.

1. $S=f^{-1}(a)$ 위의 임의의 점 $p=(x_0,y_0,z_0)$을 생각하자. 정의에 의해 $f(p)=a$이다.
2. $a$가 정칙값이므로, 점 $p$에서 $f$의 그래디언트는 0이 아니다.

$$\nabla f(p)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(p),\frac{\partial f}{\partial y}(p),\frac{\partial f}{\partial z}(p)\right)\ne (0,0,0)$$

3. 이는 세 편도함수 중 적어도 하나는 $p$에서 0이 아님을 의미한다. 일반성을 잃지 않고 $\frac{\partial f}{\partial z}(p)\ne 0$ 이라고 가정하자.
4. 음함수 정리 에 따르면, 위 조건 하에서 점 $p$의 적절한 근방 $V\subset {\mathbb{R}}^3$이 존재하여, $V$ 안의 등위 집합 $S\cap V$를 점 $(x_0,y_0)$의 근방 $W\subset {\mathbb{R}}^2$ 위에 정의된 매끄러운($C^{\infty }$) 함수 $z=g(x,y)$의 그래프로 나타낼 수 있다.
5. 이 함수 $g$를 이용하여 $p$ 근방에서 $S$의 국소 매개변수 사상 $\mathbf{x}:W\to S$를 다음과 같이 구성할 수 있다.

$$\mathbf{x}(x,y)=(x,y,g(x,y))$$

6. (a)에서 보았듯이, 매끄러운 함수의 그래프로 주어진 매개변수 사상은 정칙 곡면의 세 가지 조건(매끄러움, 동형사상, 정칙 조건)을 모두 만족한다.

결론: $S$ 위의 임의의 점 $p$에 대해, 그 점 근방에서 정칙 곡면의 조건을 만족하는 매개변수 사상이 존재한다. 따라서, 정칙값의 역상 $f^{-1}(a)$는 정칙 곡면이다. ∎

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물론입니다. 향을 줄 수 있는 곡면의 조건에 관한 이 문제에 대해 번역, 필수 개념, 그리고 가장 이상적인 답안을 제시해 드리겠습니다.

1. 문제 번역

**14. (10점) X를 ${\mathbb{R}}^3$ 안의 연결된(connected) 곡면이라 하고, U와 V를 X 위의 연결된 좌표 근방(connected coordinate neighborhoods) 이라 하자. 단, $X=U\cup V$ 이다. 만약 교집합 $U\cap V$ 또한 연결되어 있다면 , X가 향을 줄 수 있는 곡면(orientable) 임을 보여라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

이 증명은 곡면의 국소적인 성질(각 조각의 향)을 어떻게 전역적인 성질(곡면 전체의 향)로 확장할 수 있는지에 대한 문제로, 위상수학의 연결성(connectedness) 개념 이 핵심적인 역할을 합니다.

• 향을 줄 수 있는 곡면 (Orientable Surface): 곡면 전체에 걸쳐 모순 없이 연속적인(매끄러운) 단위 법선 벡터장을 정의할 수 있는 곡면입니다. 뫼비우스의 띠처럼 꼬여있지 않은 곡면을 생각할 수 있습니다.
• 좌표 근방 (Coordinate Neighborhood): 곡면의 일부를 ${\mathbb{R}}^2$의 열린 집합으로 매끄럽게 표현한 ‘지도 조각’입니다. 모든 좌표 근방은 그 자체로는 항상 향을 줄 수 있습니다. 즉, 각 조각 U와 V에는 국소적인 법선 벡터장 $N_U$와 $N_V$를 각각 정의할 수 있습니다.
• 연결 집합 (Connected Set): 하나의 ‘덩어리’로 이루어져 떨어져 있지 않은 집합입니다. 연결 집합의 중요한 성질은, 연결 집합 위에서 정의된 연속 함수가 이산적인 값(예: {1, -1})만을 가질 경우, 그 함수는 반드시 상수 함수 라는 것입니다. 이 성질이 증명의 핵심 열쇠입니다. 🔑

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

목표: 두 개의 국소적인 법선 벡터장 $N_U$와 $N_V$를 교집합에서 ‘부드럽게’ 이어 붙여, 곡면 X 전체에 대한 전역적인 법선 벡터장 $N$을 구성할 수 있음을 보인다.

증명

1. 국소적인 향(법선 벡터) 선택 U와 V는 좌표 근방이므로, 각각 향을 줄 수 있다. 따라서 U 위에서 정의된 연속 단위 법선 벡터장 $N_U$와 V 위에서 정의된 연속 단위 법선 벡터장 $N_V$를 선택할 수 있다.

2. 교집합에서의 관계 분석 교집합 $W=U\cap V$ 위의 임의의 점 $p$를 생각하자. 이 점에서는 $N_U(p)$와 $N_V(p)$가 모두 정의된다. 두 벡터는 모두 점 $p$에서 곡면 X에 수직이므로, 서로 평행해야 한다. 두 벡터 모두 단위 벡터이므로, 다음 관계가 성립한다.

$$N_V(p)=N_U(p)\text{또는}{N}_V(p)=-N_U(p)$$

3. 연결성(Connectedness)의 활용 교집합 $W$ 위에서 다음과 같이 함수 $f:W\to \{-1,1\}$를 정의하자.

$$f(p)=⟨N_U(p),N_V(p)⟩$$

$N_U$와 $N_V$는 연속이므로, 두 벡터의 내적인 $f(p)$ 또한 연속 함수 이다. 그런데 문제의 가정에서 교집합 $W=U\cap V$는 연결 집합 이다.

위상수학의 기본 정리에 따르면, 연결 집합 위에서 정의된 연속 함수 가 이산적인 값들의 집합(여기서는 $\{-1,1\}$)을 함숫값으로 가질 경우, 그 함수는 반드시 상수 함수 여야 한다.

따라서, $W$ 위의 모든 점 $p$에 대해 $f(p)=1$ 이거나, 또는 모든 점 $p$에 대해 $f(p)=-1$ 이다.

4. 전역적인 법선 벡터장 구성

• 경우 1: $f(p)=1$ 인 경우 교집합의 모든 점에서 $N_U(p)=N_V(p)$ 이다. 즉, 두 법선 벡터장이 이미 일치하므로, 곡면 X 전체에 대한 법선 벡터장 $N$을 다음과 같이 자연스럽게 정의할 수 있다.

$$N(p)=\{\begin{array}{ll}{N}_U(p)& p\in U\text{ 일 때}\\ N_V(p)& p\in V\text{ 일 때}\end{array}$$

• 경우 2: $f(p)=-1$ 인 경우 교집합의 모든 점에서 $N_U(p)=-N_V(p)$ 이다. 이 경우, 한쪽의 법선 벡터장을 뒤집어 주면 된다. 예를 들어, $N_V^{\prime }=-N_V$ 로 새로운 법선 벡터장을 정의하자. 그러면 교집합에서 $N_U(p)=N_V^{\prime }(p)$ 가 성립한다. 이제 X 전체에 대한 법선 벡터장 $N$을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$N(p)=\{\begin{array}{ll}{N}_U(p)& p\in U\text{ 일 때}\\ N_V^{\prime }(p)& p\in V\text{ 일 때}\end{array}$$

최종 결론

두 경우 모두, 곡면 X 전체에 걸쳐 잘 정의된 연속 단위 법선 벡터장 $N$을 성공적으로 구성하였다. 따라서 정의에 의해, 곡면 X는 향을 줄 수 있다. ∎

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물론입니다. 타원체의 가우스 곡률에 관한 이 문제에 대해 번역, 필수 개념, 그리고 가장 이상적인 답안을 제시해 드리겠습니다.

1. 문제 번역

**15. (10점) X를 방정식 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ ($a,b,c$는 양의 실수)로 주어진 ${\mathbb{R}}^3$ 안의 곡면이라 하자. X의 각 점에서의 가우스 곡률을 계산하라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

이 문제를 푸는 방법은 크게 두 가지, 즉 직접 매개변수화하여 계산하는 방법과 등위 집합(level set) 공식을 이용하는 방법이 있습니다. 후자가 훨씬 더 간단하고 우아합니다.

• 등위 집합 (Level Set): 곡면을 $F(x,y,z)=c$ 형태의 방정식으로 표현하는 것입니다. 이 문제에서 타원체는 $F(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$ 의 $F=1$ 등위 집합입니다.
• 그래디언트 (Gradient, $\nabla F$): 함수의 각 변수에 대한 편미분을 성분으로 갖는 벡터로, 등위 집합 곡면의 법선 벡터가 됩니다.
• 헤세 행렬 (Hessian Matrix, $H_F$): 함수의 2차 편미분들을 성분으로 갖는 행렬입니다. 곡면의 2차 근사를 나타냅니다.
• 등위 집합의 가우스 곡률 공식: 등위 집합 $F=c$로 주어진 곡면의 가우스 곡률 $K$는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$K=\frac{(\nabla F{)}^T\cdot \text{adj}(H_F)\cdot (\nabla F)}{\Vert \nabla F{\Vert }^4}$$

여기서 $\text{adj}(H_F)$는 헤세 행렬의 딸림 행렬(adjugate matrix)입니다. 이 공식은 복잡해 보이지만, 타원체의 경우 매우 간단하게 정리됩니다.

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

목표: 타원체 $X:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 위의 임의의 점 $(x,y,z)$에서 가우스 곡률 $K$를 계산한다.

방법: 곡면을 함수 $F(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$의 등위 집합 $F=1$로 간주하고, 그래디언트와 헤세 행렬을 이용한 가우스 곡률 공식을 적용한다.

1. 함수 및 도함수 계산

• 함수: $F(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$
• 그래디언트 $\nabla F$:

$$\nabla F=\left(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2},\frac{2z}{c^2}\right)$$

• 헤세 행렬 $H_F$:

$$H_F=\left(\begin{array}{ccc}2/a^2& 0& 0\\ 0& 2/b^2& 0\\ 0& 0& 2/c^2\end{array}\right)$$

2. 가우스 곡률 공식의 분자 계산

• 헤세 행렬이 대각행렬이므로, 딸림 행렬 $\text{adj}(H_F)$를 쉽게 계산할 수 있다.

$$\text{adj}(H_F)=\left(\begin{array}{ccc}4/(b^2{c}^2)& 0& 0\\ 0& 4/(a^2{c}^2)& 0\\ 0& 0& 4/(a^2{b}^2)\end{array}\right)$$

• 이제 공식의 분자인 $(\nabla F{)}^T\cdot \text{adj}(H_F)\cdot (\nabla F)$를 계산한다.

$$\left(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2},\frac{2z}{c^2}\right)\left(\begin{array}{ccc}4/(b^2{c}^2)& 0& 0\\ 0& 4/(a^2{c}^2)& 0\\ 0& 0& 4/(a^2{b}^2)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2x/a^2\\ 2y/b^2\\ 2z/c^2\end{array}\right)$$ $$=\frac{16x^2}{a^4{b}^2{c}^2}+\frac{16y^2}{a^2{b}^4{c}^2}+\frac{16z^2}{a^2{b}^2{c}^4}$$ $$=\frac{16}{a^2{b}^2{c}^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)$$

• 점 $(x,y,z)$는 타원체 위의 점이므로 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 이다. 따라서 분자는 놀랍게도 상수가 된다.

$$\text{분자}=\frac{16}{a^2{b}^2{c}^2}$$

3. 가우스 곡률 공식의 분모 계산

• 분모는 $\Vert \nabla F{\Vert }^4$ 이다.

$$\Vert \nabla F{\Vert }^2={\left(\frac{2x}{a^2}\right)}^2+{\left(\frac{2y}{b^2}\right)}^2+{\left(\frac{2z}{c^2}\right)}^2=4\left(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}\right)$$ $$\Vert \nabla F{\Vert }^4=16{\left(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}\right)}^2$$

4. 최종 결론 분자와 분모를 합치면 가우스 곡률 $K$는 다음과 같다.

$$K(x,y,z)=\frac{16/(a^2{b}^2{c}^2)}{16{\left(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}\right)}^2}=\frac{1}{a^2{b}^2{c}^2{\left(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}\right)}^2}$$

기하학적 해석: 원점에서 점 $(x,y,z)$에서의 접평면까지의 수직 거리를 $p$라고 하면, $p^{-2}=\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}$ 라는 관계가 성립한다. 이를 이용하면 가우스 곡률을 다음과 같이 매우 아름다운 형태로 표현할 수 있다.

$$K=\frac{p^4}{a^2{b}^2{c}^2}$$

이는 타원체의 가우스 곡률이 원점에서 접평면까지 거리의 네제곱에 비례함을 의미한다.

네, 당연히 다른 방법이 있습니다. 가장 대표적인 대안은 곡면을 직접 매개변수화(parameterization) 하여 가우스 곡률을 계산하는 것입니다.

이 방법은 원리적으로는 모든 곡면에 적용할 수 있지만, 타원체의 경우 계산 과정이 매우 길고 복잡해지기 때문에 보통 첫 번째 방법(등위 집합 공식)을 선호합니다. 하지만 어떤 원리로 계산되는지 아는 것은 중요합니다.

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매개변수화를 이용한 직접 계산법

핵심 아이디어: 구면 좌표계를 타원체에 맞게 변형하여 매개변수 표현을 만든 뒤, 제1 및 제2 기본 형식의 계수($E,F,G,L,M,N$)를 모두 계산하여 표준 공식에 대입합니다.

1. 타원체의 매개변수화

구면 좌표계 $(x=r\sin \varphi \cos \theta ,y=r\sin \varphi \sin \theta ,z=r\cos \varphi )$에서 반지름 $r$ 대신 각 축의 길이 $a,b,c$를 곱해주면 타원체의 매개변수 표현을 얻을 수 있습니다.

$$\mathbf{X}(\theta ,\varphi )=(a\sin \varphi \cos \theta ,b\sin \varphi \sin \theta ,c\cos \varphi )$$

(단, $0\le \theta <2\pi$, $0\le \varphi \le \pi$)

2. 계산 과정 (개요)

이 방법은 그야말로 대수 계산의 향연입니다. 😵‍💫

1. 1차 편미분 계산: ${\mathbf{X}}_{\theta }$ 와 ${\mathbf{X}}_{\varphi }$ 를 계산합니다.

• ${\mathbf{X}}_{\theta }=(-a\sin \varphi \sin \theta ,b\sin \varphi \cos \theta ,0)$
• ${\mathbf{X}}_{\varphi }=(a\cos \varphi \cos \theta ,b\cos \varphi \sin \theta ,-c\sin \varphi )$

2. 제1 기본 형식 계수 (E, F, G) 계산:

• $E=⟨{\mathbf{X}}_{\theta },{\mathbf{X}}_{\theta }⟩={\sin }^2\varphi (a^2{\sin }^2\theta +b^2{\cos }^2\theta )$
• $F=⟨{\mathbf{X}}_{\theta },{\mathbf{X}}_{\varphi }⟩=(b^2-a^2)\sin \varphi \cos \varphi \sin \theta \cos \theta$
• $G=⟨{\mathbf{X}}_{\varphi },{\mathbf{X}}_{\varphi }⟩={\cos }^2\varphi (a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta )+c^2{\sin }^2\varphi$ (벌써부터 식이 매우 복잡해집니다.)

3. 법선 벡터 및 2차 편미분 계산:

• 외적 ${\mathbf{X}}_{\theta }\times {\mathbf{X}}_{\varphi }$ 를 계산하여 법선 벡터를 구하고, 정규화하여 단위 법선 벡터 $\mathbf{n}$을 찾습니다.
• 2차 편미분 벡터 ${\mathbf{X}}_{\theta \theta },{\mathbf{X}}_{\theta \varphi },{\mathbf{X}}_{\varphi \varphi }$ 를 모두 계산합니다.

4. 제2 기본 형식 계수 (L, M, N) 계산:

• $L=⟨{\mathbf{X}}_{\theta \theta },\mathbf{n}⟩$
• $M=⟨{\mathbf{X}}_{\theta \varphi },\mathbf{n}⟩$
• $N=⟨{\mathbf{X}}_{\varphi \varphi },\mathbf{n}⟩$ (이 과정은 계산량이 엄청나게 많습니다.)

5. 최종 공식 대입: 위에서 구한 6개의 계수를 모두 가우스 곡률 공식에 대입하여 정리합니다.

$$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$$

이 복잡한 대수 계산을 모두 마치고 나면, 놀랍게도 이전에 구했던 것과 동일한 결과로 정리됩니다.

$$K=\frac{1}{a^2{b}^2{c}^2{\left(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}\right)}^2}$$