2020 spring

문제 11. 수열 공간 ${\ell }^1(\mathbb{N})$

실수 수열 $a=(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ 중에서 급수 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$이 수렴하는 것들의 모임을 ${\ell }^1(\mathbb{N})$이라고 합니다.

(a) 거리 공간 $({\ell }^1(\mathbb{N}),d)$가 완비(complete)임을 보이시오.

여기서 거리는 $d(a,b)={\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n-b_n|$ 입니다. 거리 공간이 완비 라는 것은 그 공간 안의 모든 코시 수열(Cauchy sequence)이 그 공간 안의 한 점으로 수렴함을 의미합니다.

증명: ${\ell }^1(\mathbb{N})$ 안의 코시 수열 $\{x_k{\}}_{k=1}^{\infty }$를 가정합시다. 여기서 각 $x_k$는 수열 $(a_{k,n}{)}_{n=1}^{\infty }$ 입니다.

1. 극한의 후보 찾기: 코시 조건에 따르면, 임의의 $ϵ>0$에 대해, $k,m\ge N$ 이면 $d(x_k,x_m)={\sum }_{n=1}^{\infty }|a_{k,n}-a_{m,n}|<ϵ$을 만족하는 $N$이 존재합니다. 이는 각 고정된 좌표 $n$에 대해, 실수의 수열 $\{a_{k,n}{\}}_{k=1}^{\infty }$가 $\mathbb{R}$ 안의 코시 수열임을 의미합니다 (왜냐하면 $|a_{k,n}-a_{m,n}|\le d(x_k,x_m)<ϵ$ 이기 때문입니다). $\mathbb{R}$은 완비 공간이므로, 이 수열들은 각각 수렴합니다. 극한값을 $a_n={\lim }_{k\to \infty }{a}_{k,n}$ 이라고 정의합시다. 우리의 극한 후보는 수열 $x=(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$ 입니다.

2. 후보로의 수렴 확인: $d$ 거리에서 $x_k\to x$ 임을 보여야 합니다. 코시 조건으로부터, 임의의 유한한 $M$과 $k,m\ge N$에 대해:

$$\sum _{n=1}^M|a_{k,n}-a_{m,n}|<ϵ$$

$m\to \infty$로 극한을 취하면:

$$\sum _{n=1}^M|a_{k,n}-a_n|\le ϵ(k\ge N\text{ 일 때})$$

이 부등식은 모든 $M$에 대해 성립하므로, $M\to \infty$로 극한을 취할 수 있습니다:

$$d(x_k,x)=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{k,n}-a_n|\le ϵ(k\ge N\text{ 일 때})$$

이는 ${\lim }_{k\to \infty }d(x_k,x)=0$ 임을 보여줍니다.

3. 극한이 공간 안에 있음을 확인: $x\in {\ell }^1(\mathbb{N})$ 임을 증명해야 합니다. 삼각 부등식에 의해, $|a_n|\le |a_n-a_{k,n}|+|a_{k,n}|$ 입니다. 고정된 $k\ge N$에 대해:

$$\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|\le \sum _{n=1}^{\infty }|a_n-a_{k,n}|+\sum _{n=1}^{\infty }|a_{k,n}|$$

오른쪽의 첫 번째 항은 $d(x,x_k)$이고, 유한함($\le ϵ$)을 위에서 보였습니다. 두 번째 항은 $x_k\in {\ell }^1(\mathbb{N})$ 이므로 유한합니다. 두 유한한 수의 합은 유한하므로, $\sum |a_n|<\infty$ 입니다. 따라서 $x\in {\ell }^1(\mathbb{N})$ 입니다.

모든 코시 수열이 공간 내의 점으로 수렴하므로, $({\ell }^1(\mathbb{N}),d)$는 완비 공간입니다.

(b) 거리 공간 $({\ell }^1(\mathbb{N}),d_{\ast })$의 완비화(completion)를 찾으시오.

여기서 거리는 상한 거리(supremum norm) $d_{\ast }(a,b)={\sup }_{n\in \mathbb{N}}|a_n-b_n|$ 입니다. 거리 공간의 완비화는 그 공간을 조밀한(dense) 부분집합으로 포함하는 가장 작은 완비 거리 공간을 의미합니다.

$({\ell }^1(\mathbb{N}),d_{\ast })$의 완비화는 $c_0(\mathbb{N})$ , 즉 0으로 수렴하는 모든 수열의 공간입니다.

설명:

1. 목표 공간: 상한 거리 $d_{\ast }$가 주어진 공간 $c_0(\mathbb{N})$은 완비 거리 공간으로 잘 알려져 있습니다.
2. 조밀성: ${\ell }^1(\mathbb{N})$이 $c_0(\mathbb{N})$의 조밀한 부분집합임을 보여야 합니다. 이는 $c_0(\mathbb{N})$ 안의 임의의 수열 $x$에 대해, $x$로 수렴하는 ${\ell }^1(\mathbb{N})$ 안의 원소들의 수열을 찾을 수 있음을 의미합니다. $x=(a_n)\in c_0(\mathbb{N})$ 라고 합시다. 즉, ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$ 입니다. “잘라낸” 수열들의 수열 $x_k=(a_1,a_2,\dots ,a_k,0,0,\dots )$을 생각해 봅시다.

• 각 $x_k$는 유한개의 0이 아닌 항을 가지므로 ${\ell }^1(\mathbb{N})$에 속합니다.
• $x_k$와 $x$ 사이의 거리는 $d_{\ast }(x_k,x)={\sup }_{n>k}|a_n|$ 입니다.
• $a_n\to 0$ 이므로, ${\lim }_{k\to \infty }({\sup }_{n>k}|a_n|)=0$ 입니다.
• 따라서 $d_{\ast }$ 거리에서 $x_k\to x$ 입니다. 이는 ${\ell }^1(\mathbb{N})$이 $c_0(\mathbb{N})$에서 조밀함을 보여줍니다.

3. 가장 작은 공간: $({\ell }^1(\mathbb{N}),d_{\ast })$ 안의 코시 수열의 극한은 항들이 0으로 가는 수열이어야 합니다. 따라서 그러한 모든 극한들의 집합은 정확히 $c_0(\mathbb{N})$입니다.

따라서 완비화는 $(c_0(\mathbb{N}),d_{\ast })$ 입니다.

문제 12. 하한 위상 (Lower Limit Topology)

$\mathbb{R}$ 위의 모든 반열린구간(half-open interval)들의 집합 $\mathcal{B}=\{[a,b):a,b\in \mathbb{R}\}$은 하한 위상의 기저(basis)를 이룹니다. 이 위상 공간을 ${\mathbb{R}}_l$로 표기합니다.

(a) $\mathcal{B}$가 위상의 기저가 됨을 보이시오.

집합들의 모임 $\mathcal{B}$가 위상의 기저가 되려면 다음 두 조건을 만족해야 합니다:

1. 덮개 성질 (Covering Property): 임의의 점 $x\in \mathbb{R}$에 대해, $x$를 포함하는 기저 원소가 존재해야 합니다.

• 임의의 $x\in \mathbb{R}$에 대해, 구간 $[x,x+1)$은 $\mathcal{B}$에 속하며 $x$를 포함합니다. ✅

2. 교집합 성질 (Intersection Property): 임의의 두 기저 원소 $B_1,B_2$와 그 교집합 안의 임의의 점 $x$에 대해, $x$를 포함하고 $B_1\cap B_2$에 포함되는 세 번째 기저 원소 $B_3$가 존재해야 합니다.

• $B_1=[a_1,b_1)$, $B_2=[a_2,b_2)$ 라고 합시다. 이들의 교집합은 $[\max (a_1,a_2),\min (b_1,b_2))$ 입니다. 이 집합 또한 $[a,b)$ 형태의 구간이므로 $\mathcal{B}$에 속합니다. 따라서 $B_3=B_1\cap B_2$로 선택하면 됩니다. ✅

두 조건이 모두 만족되므로, $\mathcal{B}$는 기저입니다.

(b) ${\mathbb{R}}_l$이 정규 공간(normal)인지 증명 또는 반증하시오.

공간이 정규 공간 이라는 것은 서로소인 임의의 두 닫힌 집합이 서로소인 열린 집합들로 분리될 수 있음을 의미합니다.

증명: ${\mathbb{R}}_l$은 정규 공간입니다. $A$와 $B$를 ${\mathbb{R}}_l$ 안의 서로소인 두 닫힌 집합이라고 합시다.

1. 각 점 $a\in A$에 대해, $a\notin B$이고 $B$가 닫힌 집합이므로, $a$를 포함하고 $B$와 만나지 않는 기저 원소 $[a,b_a)$가 존재합니다.
2. 마찬가지로, 각 점 $b\in B$에 대해, $b$를 포함하고 $A$와 만나지 않는 기저 원소 $[b,d_b)$가 존재합니다.
3. 두 열린 집합을 $U={\bigcup }_{a\in A}[a,b_a)$ 와 $V={\bigcup }_{b\in B}[b,d_b)$ 로 정의합시다. 분명히 $A\subseteq U$ 이고 $B\subseteq V$ 입니다. 이제 $U$와 $V$가 서로소임을 보이면 됩니다.
4. 모순을 보이기 위해, 어떤 점 $z\in U\cap V$ 가 존재한다고 가정합시다. 이는 어떤 $a\in A$에 대해 $z\in [a,b_a)$ 이고, 어떤 $b\in B$에 대해 $z\in [b,d_b)$ 임을 의미합니다.

• 따라서 $a\le z<b_a$ 이고 $b\le z<d_b$ 입니다.
• $A$와 $B$는 서로소이므로 $a\ne b$ 입니다.
• 만약 $a<b$ 이면, $b\le z$ 이므로 $a<b\le z<b_a$ 가 됩니다. 이는 점 $b$ ( $B$의 원소)가 구간 $[a,b_a)$ 안에 있음을 의미합니다. 하지만 $[a,b_a)$는 $B$와 만나지 않도록 선택되었으므로 모순입니다.
• 만약 $b<a$ 이면, $a\le z$ 이므로 $b<a\le z<d_b$ 가 됩니다. 이는 점 $a$ ( $A$의 원소)가 구간 $[b,d_b)$ 안에 있음을 의미합니다. 하지만 $[b,d_b)$는 $A$와 만나지 않도록 선택되었으므로 이 또한 모순입니다.

두 경우 모두 모순에 이르므로, 교집합은 공집합이어야 합니다. 따라서 ${\mathbb{R}}_l$은 정규 공간입니다.

(c) ${\mathbb{R}}_l$이 제2 가산(second countable)인지 증명 또는 반증하시오.

공간이 제2 가산 이라는 것은 가산개의 원소를 갖는 기저가 존재함을 의미합니다.

반증: ${\mathbb{R}}_l$은 제2 가산이 아닙니다.

1. $\mathcal{C}$를 ${\mathbb{R}}_l$ 위상의 임의의 기저라고 합시다.
2. 각 실수 $x\in \mathbb{R}$에 대해, 집합 $[x,x+1)$은 열린 집합입니다.
3. 따라서 각 $x$에 대해, $x\in C_x\subseteq [x,x+1)$ 을 만족하는 기저 원소 $C_x\in \mathcal{C}$가 존재해야 합니다.
4. 임의의 집합 $S\subseteq \mathbb{R}$의 하한(infimum)을 $\inf (S)$로 표기합니다. $x\in C_x\subseteq [x,x+1)$ 이므로, $\inf (C_x)=x$ 여야 합니다.
5. 이제 서로 다른 두 실수 $x\ne y$를 생각해 봅시다. 이에 대응하는 기저 원소 $C_x$와 $C_y$ 또한 달라야 합니다. 만약 두 집합이 같다면, 그 하한도 같아야 하므로 $x=y$가 되어 모순입니다.
6. 이는 실수 집합 $\mathbb{R}$과 기저 $\mathcal{C}$의 부분집합 사이에 일대일 대응 관계가 있음을 보여줍니다.
7. $\mathbb{R}$은 비가산 집합이므로, 기저 $\mathcal{C}$ 또한 비가산 집합 이어야 합니다.

따라서, ${\mathbb{R}}_l$은 제2 가산이 아닙니다.

(d) ${\mathbb{R}}_l\times {\mathbb{R}}_l$이 가분(separable)인지 증명 또는 반증하시오.

공간이 가분 이라는 것은 가산 조밀 부분집합(countable dense subset)을 가짐을 의미합니다.

증명: ${\mathbb{R}}_l\times {\mathbb{R}}_l$은 가분입니다.

1. 가산 조밀 부분집합의 후보는 유리수 좌표를 갖는 점들의 집합 $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ 입니다. 이 집합은 가산 집합입니다.
2. 이 집합이 조밀함을 증명하기 위해서는, 곱공간 ${\mathbb{R}}_l\times {\mathbb{R}}_l$의 공집합이 아닌 모든 열린 집합과 만남을 보여야 합니다.
3. 기저 열린 집합에 대해서만 확인하면 충분합니다. 기저 열린 집합은 $U=[a,b)\times [c,d)$ (단, $a<b,c<d$) 형태를 가집니다.
4. 구간 $(a,b)$는 공집합이 아니므로, 유리수 $q_1$을 포함합니다.
5. 마찬가지로, 구간 $(c,d)$는 유리수 $q_2$를 포함합니다.
6. 점 $(q_1,q_2)$는 $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$에 속합니다.
7. $a<q_1<b$ 이고 $c<q_2<d$ 이므로, $q_1\in [a,b)$ 이고 $q_2\in [c,d)$ 입니다.
8. 따라서 $(q_1,q_2)\in U$ 입니다.

모든 기저 열린 집합이 $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$의 점을 포함하므로, 이 집합은 조밀합니다. 따라서, ${\mathbb{R}}_l\times {\mathbb{R}}_l$은 가분 공간입니다.

문제 13. 연속성과 닫힌 그래프

$X$는 위상 공간, $Y$는 콤팩트 하우스도르프 공간, $f:X\to Y$는 함수라고 합시다.

다음 두 명제가 동치임을 증명하시오: (a) $f$는 연속이다 (즉, 임의의 $A\subset X$에 대해 $f(\bar{A})\subset \overline{f(A)}$). (b) $f$의 그래프 $G_f:=\{(x,f(x)):x\in X\}$는 $X\times Y$에서 닫힌 집합이다.

이는 함수가 콤팩트 하우스도르프 공간으로 사상될 때, 연속성과 닫힌 그래프가 동치라는 고전적인 정리입니다.

증명 (a) $⟹$ (b): $f$가 연속이라고 가정합시다. 그래프의 여집합 $(X\times Y)\setminus G_f$가 열린 집합임을 보이겠습니다.

1. 점 $(x,y)\in (X\times Y)\setminus G_f$ 를 선택합시다. 이는 $y\ne f(x)$임을 의미합니다.
2. $Y$는 하우스도르프 공간이므로, $f(x)\in V$ 이고 $y\in W$ 인 서로소인 열린 집합 $V,W\subset Y$를 찾을 수 있습니다.
3. $f$는 연속이므로, 원상 $U=f^{-1}(V)$는 $X$에서 열린 집합이고, $x$를 포함합니다.
4. 이제 곱공간에서 집합 $U\times W$를 고려합시다. 이 집합은 $(x,y)$의 열린 근방(neighborhood)입니다.
5. 임의의 점 $(x^{\prime },y^{\prime })\in U\times W$ 에 대해, $x^{\prime }\in U$ (따라서 $f(x^{\prime })\in V$) 이고 $y^{\prime }\in W$ 입니다. $V$와 $W$는 서로소이므로, $f(x^{\prime })\ne y^{\prime }$ 입니다.
6. 이는 $(x^{\prime },y^{\prime })$가 그래프 위의 점이 아님을 의미합니다. 따라서 열린 집합 $U\times W$ 전체가 그래프의 여집합에 포함됩니다.
7. 여집합의 모든 점이 여집합 안에 완전히 포함되는 열린 근방을 가지므로, 여집합은 열린 집합입니다. 따라서 그래프 $G_f$는 닫힌 집합입니다.

증명 (b) $⟹$ (a): 그래프 $G_f$가 닫힌 집합이라고 가정합시다. $Y$ 안의 임의의 닫힌 집합 $C$에 대해 그 원상 $f^{-1}(C)$가 $X$에서 닫힌 집합임을 보여 $f$가 연속임을 증명하겠습니다.

1. $C$를 $Y$의 임의의 닫힌 집합이라고 합시다.
2. 곱공간에서 집합 $X\times C$를 고려합시다. $C$가 닫힌 집합이므로, $X\times C$는 $X\times Y$의 닫힌 부분집합입니다.
3. 가정에 의해 그래프 $G_f$는 닫힌 집합입니다. 따라서 교집합 $K=G_f\cap (X\times C)$ 또한 닫힌 집합입니다.

• 이 교집합은 $K=\{(x,f(x))\mid f(x)\in C\}=\{(x,f(x))\mid x\in f^{-1}(C)\}$ 입니다.

4. 이제 사영 함수(projection map) $p:X\times Y\to X$를 $p(x,y)=x$로 정의합시다.
5. 이 사영 함수에 의한 닫힌 집합 $K$의 상은 $p(K)=\{x\mid x\in f^{-1}(C)\}=f^{-1}(C)$ 입니다.
6. 중요한 정리(Tube Lemma의 따름정리)에 따르면, 만약 $Y$가 콤팩트 공간이면, 사영 함수 $p:X\times Y\to X$는 닫힌 사상 (closed map, 닫힌 집합을 닫힌 집합으로 보냄)입니다.
7. $K$는 닫힌 집합이고 $p$는 닫힌 사상이므로, 그 상 $p(K)=f^{-1}(C)$는 $X$에서 닫힌 집합이어야 합니다.
8. 임의의 닫힌 집합의 원상이 닫힌 집합임을 보였으므로, $f$는 연속입니다.

물론입니다. 2차원 구면의 위상적 특성에 관한 이 문제들에 대해 번역, 필수 개념, 그리고 가장 이상적인 답안을 제시해 드리겠습니다.

1. 문제 번역

**14. (10점) 다음은 2차원 구면 $S^2=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1\}\subset {\mathbb{R}}^3$의 몇 가지 특성을 요약한 것이다.

(a) 유클리드 공간 ${\mathbb{R}}^2$의 한 점 컴팩트화(one-point compactification) 가 $S^2$와 위상동형(homeomorphic) 임을 보여라.

(b) $X={\mathbb{C}}^2\setminus \{(0,0)\}$ 위에 동치관계(equivalence relation) $\sim$를 다음과 같이 정의하자:

$$(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)⟺(x_1,y_1)=(t{x}_2,t{y}_2)\text{를 만족하는 }t\in \mathbb{C}\setminus \{0\}\text{가 존재한다.}$$

상공간(quotient space) $X/\sim$가 $S^2$와 위상동형 임을 보여라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

(a)를 위한 개념

• 위상동형 (Homeomorphism): 두 위상 공간 사이에 전단사 연속 함수가 존재하고 그 역함수도 연속일 때, 두 공간이 위상동형이라고 합니다. 직관적으로, 공간을 자르거나 붙이지 않고 부드럽게 변형시켜 다른 공간으로 만들 수 있다는 의미입니다.
• 한 점 컴팩트화: 컴팩트하지 않은 공간(예: 무한히 펼쳐진 평면 ${\mathbb{R}}^2$)에 가상의 ‘무한점’($\infty$)을 하나 추가하여 컴팩트 공간으로 만드는 과정입니다.
• 입체사영 (Stereographic Projection): 이 증명의 핵심 도구입니다. 구면의 한 점(예: 북극)에서 빛을 쏘아 평면에 그림자를 만드는 것처럼, 구면(에서 한 점을 뺀)과 평면을 일대일로 대응시키는 사상입니다.

(b)를 위한 개념

• 복소 사영 직선 (${\mathbb{CP}}^1$): 문제에 주어진 상공간 $X/\sim$는 복소 사영 직선 이라고 불리며, ${\mathbb{CP}}^1$으로 표기됩니다. 동치관계의 의미는 ${\mathbb{C}}^2$에서 원점을 지나는 모든 복소 직선들을 각각 하나의 점으로 간주하겠다는 것입니다.
• 리만 구 (Riemann Sphere): 복소 평면 $\mathbb{C}$에 무한점($\infty$)을 추가한 공간($\mathbb{C}\cup \{\infty \}$)입니다. (a)의 한 점 컴팩트화와 같은 개념으로, 리만 구는 $S^2$와 위상동형임이 잘 알려져 있습니다. 증명의 목표는 ${\mathbb{CP}}^1$이 리만 구와 위상동형임을 보이는 것입니다.

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

(a) 한 점 컴팩트화와 구면의 위상동형

전략: 구면 $S^2$와 ${\mathbb{R}}^2$의 한 점 컴팩트화(${\mathbb{R}}^2\cup \{\infty \}$) 사이에 입체사영(stereographic projection) 을 이용하여 구체적인 위상동형사상을 구성한다.

1. 사상(map)의 정의 $S^2$의 북극을 $N=(0,0,1)$, ${\mathbb{R}}^2$를 $xy$-평면($z=0$)으로 설정하자. 위상동형사상 $F:S^2\to {\mathbb{R}}^2\cup \{\infty \}$를 다음과 같이 정의한다.

• 북극은 무한점으로 보낸다: $F(N)=\infty$.
• 북극이 아닌 점 $P=(x,y,z)\in S^2$에 대해서는, $N$과 $P$를 잇는 직선이 $xy$-평면과 만나는 점을 $F(P)$로 정의한다.

2. 사상의 구체적인 공식 $N=(0,0,1)$과 $P=(x,y,z)$를 지나는 직선은 $L(t)=(tx,ty,1+t(z-1))$이다. 이 직선이 $z=0$ 평면과 만나려면 $1+t(z-1)=0$ 이어야 하므로, $t=\frac{1}{1-z}$ 이다. 따라서 $xy$-평면 위의 교점은 다음과 같다.

$$F(x,y,z)=\left(\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right)$$

3. 위상동형사상임의 확인 이 사상 $F$는 전단사 함수이며, $F$와 그 역함수(평면의 점을 다시 구면으로 보내는 사상)가 모두 연속임이 잘 알려져 있다. $P$가 $N$으로 갈수록($z\to 1^{-}$) 분모가 0에 가까워지므로 좌표값이 무한대로 발산하며, 이는 $F(N)=\infty$의 연속성을 만족한다.

결론: 명시적으로 구성한 입체사영이 위상동형사상이므로, ${\mathbb{R}}^2$의 한 점 컴팩트화는 $S^2$와 위상동형이다. ∎

(b) 복소 사영 직선과 구면의 위상동형

전략: 상공간 $X/\sim ={\mathbb{CP}}^1$이 리만 구 $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$와 위상동형임을 보인다. 리만 구는 (a)에 의해 $S^2$와 위상동형이므로, 결과적으로 ${\mathbb{CP}}^1$은 $S^2$와 위상동형이 된다.

1. 사상의 정의 ${\mathbb{CP}}^1$의 원소는 원점을 지나는 복소 직선을 나타내는 동치류 $[(z_1,z_2)]$이다. 사상 $\Phi :{\mathbb{CP}}^1\to \mathbb{C}\cup \{\infty \}$를 다음과 같이 정의한다.

• 만약 $z_2\ne 0$ 이면, 동치류의 대표 원소를 $(z_1/z_2,1)$로 잡을 수 있다. 이 동치류를 복소수 $z_1/z_2$에 대응시킨다: $\Phi ([(z_1,z_2)])=z_1/z_2$.
• 만약 $z_2=0$ 이면, $z_1\ne 0$ 이어야 한다. 이 동치류는 $[(z_1,0)]$ 형태이며, 이를 무한점 $\infty$에 대응시킨다: $\Phi ([(z_1,0)])=\infty$.

2. 위상동형사상임의 확인

• 잘 정의됨(Well-defined): 동치류의 다른 대표 원소 $(t{z}_1,t{z}_2)$를 사용해도, 비율 $(t{z}_1)/(t{z}_2)=z_1/z_2$ 이므로 결과는 같다.
• 전단사(Bijective): 임의의 복소수 $w\in \mathbb{C}$는 동치류 $[(w,1)]$에 의해 대응되고, 무한점 $\infty$는 동치류 $[(1,0)]$에 의해 대응된다. 따라서 전단사이다.
• 연속성: 이 사상 $\Phi$와 그 역함수는 연속이다. (엄밀한 증명은 상위상(quotient topology)의 정의를 사용해야 하지만, 직관적으로 사상이 자연스럽게 정의됨을 알 수 있다.)

결론: ${\mathbb{CP}}^1$은 리만 구 $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$와 위상동형이고, 리만 구는 $S^2$와 위상동형이다. 위상동형은 추이적 관계이므로, $X/\sim$ 는 $S^2$와 위상동형이다. ∎

네, (b) 문제는 매우 추상적이라서 직관적으로 이해하기 어려운 것이 당연합니다. 복소수 2차원 공간에서 원점을 지나는 직선들의 집합을 상상하는 것은 쉽지 않죠.

함수를 엄밀하게 정의하지 못하더라도, 이런 종류의 문제를 풀 수 있는 좋은 직관적인 방법 이 있습니다. 바로 공간을 잘 아는 조각들로 나누어 분석하고, 마지막에 합쳐보는 것 입니다.

공간을 조각내어 이해하는 방법 (직관적 풀이)

우리가 보여야 할 것은 $X/\sim$ 라는 공간이 구($S^2$)와 같다 는 것입니다. $X/\sim$가 대체 어떻게 생겼는지 파헤쳐 보겠습니다.

이 공간의 원소는 $[(z_1,z_2)]$ 와 같은 동치류(원점을 지나는 복소 직선)입니다.

1단계: 대부분의 공간 살펴보기 (친숙한 조각)

거의 모든 동치류는 $z_2\ne 0$ 입니다. 이 경우, 우리는 동치류의 성질 $(z_1,z_2)\sim (t{z}_1,t{z}_2)$를 이용해서 $t=1/z_2$를 곱해줄 수 있습니다. 그러면 모든 동치류는 다음과 같은 유일한 대표 원소를 갖게 됩니다.

$$[(z_1,z_2)]\to \left(\frac{z_1}{z_2},1\right)$$

여기서 $w=z_1/z_2$ 라고 하면, 이 대표 원소는 $(w,1)$ 형태가 됩니다. $w$는 어떤 복소수도 될 수 있으므로, 이 점들의 집합은 복소 평면 $\mathbb{C}$ 전체와 일대일로 대응 됩니다.

결론 1: $X/\sim$ 공간의 아주 큰 부분은 우리가 잘 아는 복소 평면 $\mathbb{C}$ (즉, ${\mathbb{R}}^2$)처럼 생겼다.

2단계: 빠뜨린 조각 찾기

위 과정에서 딱 한 가지 경우를 제외했습니다. 바로 $z_2=0$ 이라서 $1/z_2$를 곱할 수 없는 경우입니다.

$z_2=0$ 이면 어떤 일이 일어날까요?

• $(z_1,z_2)$는 원점 $(0,0)$이 아니므로 $z_1\ne 0$ 이어야 합니다.
• 이 동치류는 $[(z_1,0)]$ 형태입니다.
• 이 동치류에 속하는 다른 원소들은 $(t{z}_1,0)$ 입니다. 예를 들어, $[(1,0)]$ 이나 $[(i,0)]$, $[(5,0)]$ 등은 모두 같은 동치류에 속합니다.
• 즉, $z_2=0$ 인 경우는 모두 합쳐서 단 하나의 동치류 를 이룹니다.

결론 2: 우리가 빠뜨린 조각은 바로 단 하나의 점 이다.

3단계: 조각들을 합쳐 완성된 그림 보기

이제 우리가 알아낸 것을 종합해 봅시다.

$X/\sim$ 라는 공간은 [복소 평면 $\mathbb{C}$] 와 [단 하나의 점]을 합쳐서 만들어진 공간이다.

“평면(${\mathbb{R}}^2$)에 점 하나를 추가한 공간”이 무엇일까요? 이것이 바로 (a)에서 다룬 ${\mathbb{R}}^2$의 한 점 컴팩트화 (${\mathbb{R}}^2\cup \{\infty \}$)이고, 이는 구($S^2$)와 위상동형 입니다.

평평한 고무판의 모든 무한대 방향 끝을 한 점으로 모아 꿰매면 공 모양이 되는 것을 상상하시면 됩니다.

따라서 함수를 엄밀하게 구성하지 않더라도,

1. 공간의 대부분이 평면 $\mathbb{C}$와 같음을 파악하고,
2. 나머지 부분이 단 하나의 ‘무한점’에 해당함을 파악하면,
3. 이 둘을 합친 것이 구면($S^2$)의 다른 이름(리만 구)이라는 사실로부터 문제를 직관적으로 해결할 수 있습니다.

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1. 문제 번역

**15. (10점) $r=r(\theta )$를 극좌표 $(r,\theta )$로 정의된 ${\mathbb{R}}^2$ 안의 곡선이라 하자. (단, $r>0,0\le \theta <2\pi$)

(a) 곡선의 호의 길이(arc length) 를 $r(\theta ),r^{\prime }(\theta )$를 이용하여 표현하라.

(b) $r(\theta )$에서의 곡률(curvature) 을 $r(\theta ),r^{\prime }(\theta ),r^{\prime \prime }(\theta )$를 이용하여 표현하라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

이 문제의 핵심은 극좌표로 주어진 곡선을 직교좌표계의 매개변수 곡선으로 변환한 뒤, 잘 알려진 호의 길이 및 곡률 공식을 적용하는 것입니다.

• 극좌표와 직교좌표의 관계: $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$

• 매개변수 곡선으로의 변환: $r$이 $\theta$의 함수이므로, $\theta$를 매개변수로 생각하여 곡선을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$\mathbf{x}(\theta )=(x(\theta ),y(\theta ))=(r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )\sin \theta )$$

• 호의 길이 공식 (Arc Length): 매개변수 곡선 $\mathbf{x}(t)=(x(t),y(t))$의 호의 길이는 다음과 같습니다.

$$L=\int \sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}dt$$

• 곡률 공식 (Curvature): 매개변수 곡선 $\mathbf{x}(t)=(x(t),y(t))$의 곡률은 다음과 같습니다.

$$\kappa (t)=\frac{|x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-y^{\prime }(t)x^{\prime \prime }(t)|}{((x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2{)}^{3/2}}$$

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

(a) 호의 길이

1. 직교좌표 매개변수화 및 미분 곡선을 $\mathbf{x}(\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ 로 표현하고, $\theta$에 대해 미분한다. ($r^{\prime }=dr/d\theta$)

• $x^{\prime }(\theta )=r^{\prime }\cos \theta -r\sin \theta$
• $y^{\prime }(\theta )=r^{\prime }\sin \theta +r\cos \theta$

2. 속력(Speed) 계산 호의 길이 공식의 핵심 부분인 $\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}$ 를 계산한다.

$$(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2=(r^{\prime }\cos \theta -r\sin \theta {)}^2+(r^{\prime }\sin \theta +r\cos \theta {)}^2$$ $$=(r^{\prime 2}{\cos }^2\theta -2r{r}^{\prime }\cos \theta \sin \theta +r^2{\sin }^2\theta )+(r^{\prime 2}{\sin }^2\theta +2r{r}^{\prime }\sin \theta \cos \theta +r^2{\cos }^2\theta )$$ $$=r^{\prime 2}({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )+r^2({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )=r^2+r^{\prime 2}$$

3. 호의 길이 공식 따라서 호의 길이 $L$은 구간 $[\alpha ,\beta ]$에 대해 다음과 같이 표현된다.

$$L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r(\theta {)}^2+(r^{\prime }(\theta ){)}^2}d\theta$$

(b) 곡률

1. 곡률 공식과 분모 곡률 공식 $\kappa =\frac{|x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }{x}^{\prime \prime }|}{((x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}}$ 에서, 분모는 (a)의 결과로부터 $(r^2+r^{\prime 2}{)}^{3/2}$ 임을 바로 알 수 있다.

2. 2차 편도함수 계산 분자를 계산하기 위해 $x^{\prime \prime }$ 와 $y^{\prime \prime }$ 를 구한다. ($r^{\prime \prime }=d^{2}r/d{\theta }^2$)

• $x^{\prime \prime }=(r^{\prime \prime }\cos \theta -r^{\prime }\sin \theta )-(r^{\prime }\sin \theta +r\cos \theta )=(r^{\prime \prime }-r)\cos \theta -2r^{\prime }\sin \theta$
• $y^{\prime \prime }=(r^{\prime \prime }\sin \theta +r^{\prime }\cos \theta )+(r^{\prime }\cos \theta -r\sin \theta )=(r^{\prime \prime }-r)\sin \theta +2r^{\prime }\cos \theta$

3. 분자($x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }{x}^{\prime \prime }$) 계산 위에서 구한 도함수들을 대입하여 정리한다.

$$x^{\prime }{y}^{\prime \prime }=(r^{\prime }\cos \theta -r\sin \theta )((r^{\prime \prime }-r)\sin \theta +2r^{\prime }\cos \theta )$$ $$y^{\prime }{x}^{\prime \prime }=(r^{\prime }\sin \theta +r\cos \theta )((r^{\prime \prime }-r)\cos \theta -2r^{\prime }\sin \theta )$$

두 식을 전개하고 빼면, 삼각함수 항등식(${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$)을 통해 많은 항들이 소거되어 다음과 같이 놀랍도록 간단한 결과를 얻는다.

$$x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }{x}^{\prime \prime }=r^2+2(r^{\prime }{)}^2-r{r}^{\prime \prime }$$

4. 곡률 공식 분자와 분모를 결합하면 극좌표에서의 곡률 공식이 완성된다.

$$\kappa (\theta )=\frac{|r^2+2(r^{\prime }{)}^2-r{r}^{\prime \prime }|}{(r^2+(r^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}}$$

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1. 문제 번역

**16. (10점) xy-평면 위의 곡선 $\gamma (t)=(\ln (\cot (t/2))-\cos t,\sin t,0),t\in (0,\pi /2)$를 생각하자.

S를 곡선 $\gamma$를 x축에 대해 회전시켜 얻은 회전체 곡면이라 하자.

(a) S와 yz-평면으로 둘러싸인 영역의 부피를 계산하라.

(b) S의 가우스 곡률을 계산하라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

• 트랙트릭스(Tractrix)와 유사구(Pseudosphere): 문제에 주어진 곡선 $\gamma (t)$는 트랙트릭스 라는 특별한 곡선입니다. 트랙트릭스는 접점에서 접선이 점근선(이 경우 x축)과 만나는 점까지의 거리가 항상 일정한 곡선입니다. 이 곡선을 점근선에 대해 회전시키면 유사구 라는 곡면이 만들어지며, 이는 가우스 곡률이 음의 상수로 일정 한 대표적인 곡면입니다. * 회전체의 부피 (디스크 방법): 곡선 $y=y(x)$를 x축 중심으로 회전시킨 입체의 부피는 $V=\int \pi y^{2}dx$ 입니다. 곡선이 $t$로 매개변수화된 경우, $dx=x^{\prime }(t)dt$를 이용하여 $V=\int \pi y(t{)}^2{x}^{\prime }(t)dt$ 로 계산할 수 있습니다.
• 회전체의 가우스 곡률: 회전체의 가우스 곡률 $K$는 두 주곡률의 곱 $K={\kappa }_1{\kappa }_2$로 계산하는 것이 효율적입니다.
• ${\kappa }_1$: 생성 곡선(경선) 자체의 곡률
• ${\kappa }_2$: 위선의 곡률과 관련된 값

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

(a) 부피 계산

1. 필요한 항 계산 부피 공식 $V={\int }_{t_1}^{t_2}\pi y(t{)}^2{x}^{\prime }(t)dt$ 를 사용하기 위해 각 항을 계산한다.

• $y(t{)}^2={\sin }^{2}t$
• $x(t)=\ln (\cot (t/2))-\cos t$ 를 미분하면, $x^{\prime }(t)=\frac{1}{\cot (t/2)}\cdot (-{\csc }^2(t/2))\cdot \frac{1}{2}+\sin t=\frac{-1}{\sin t}+\sin t=\frac{-{\cos }^{2}t}{\sin t}$

2. 적분 구간 설정 부피는 yz-평면($x=0$)에서 $x\to \infty$ 까지의 영역이다.

• $x=0$ 일 때: $\ln (\cot (t/2))=\cos t$. 이는 $t=\pi /2$ 일 때 성립한다 ($\ln (1)=0$).
• $x\to \infty$ 일 때: $t\to 0^{+}$ 이다. 따라서 적분 구간은 $t$가 $\pi /2$에서 $0$으로 변하는 구간이다.

3. 부피 적분

$$V={\int }_{\pi /2}^0\pi ({\sin }^{2}t)\left(-\frac{{\cos }^{2}t}{\sin t}\right)dt={\int }_{\pi /2}^0-\pi \sin t{\cos }^{2}tdt$$

적분 순서를 바꾸면 부호가 바뀐다.

$$V=\pi {\int }_0^{\pi /2}\sin t{\cos }^{2}tdt$$

$u=\cos t$ 로 치환하면 $du=-\sin tdt$ 이다.

$$V=\pi {\int }_1^0{u}^2(-du)=\pi {\int }_0^1{u}^{2}du=\pi {\left[\frac{u^3}{3}\right]}_0^1=\frac{\pi }{3}$$

결론 (a): 구하는 영역의 부피는 $\frac{\pi }{3}$ 이다.

(b) 가우스 곡률 계산

방법 1: 기하학적 통찰을 이용한 풀이 (가장 이상적인 답안)

1. 곡선과 곡면의 정체 파악 주어진 곡선 $\gamma (t)$는 x축과의 접선 길이가 1로 일정한 트랙트릭스(tractrix) 이다. 이 곡선을 점근선인 x축에 대해 회전시킨 곡면 $S$는 유사구(pseudosphere) 이다.

2. 유사구의 성질 유사구는 가우스 곡률이 음의 상수로 일정한 곡면 으로 잘 알려져 있다. 그 곡률은 $K=-1/a^2$ 이며, 여기서 $a$는 트랙트릭스의 접선 길이이다.

3. 결론 이 문제의 트랙트릭스는 접선 길이가 $a=1$이므로, 가우스 곡률은 곡면 전체에서 상수 값을 가진다.

$$K=-1/1^2=-1$$

방법 2: 주곡률을 이용한 직접 계산 (검증)

1. 주곡률 공식: x축으로 회전시킨 회전체의 가우스 곡률 $K={\kappa }_1{\kappa }_2$ 이다.
2. 필요한 항 계산:

• 속력 $v=\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}=\sqrt{(-\frac{{\cos }^{2}t}{\sin t}{)}^2+(\cos t{)}^2}=\cot t$ (단, $t\in (0,\pi /2)$).

3. 주곡률 계산:

• 경선 곡률 ${\kappa }_1$: 생성 곡선 $\gamma (t)$의 곡률이다. ${\kappa }_1=\frac{|x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }{x}^{\prime \prime }|}{(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}=\frac{|-{\cot }^{2}t|}{(\cot t{)}^3}=\frac{1}{\cot t}=\tan t$.
• 위선 곡률 ${\kappa }_2$: 회전 방향의 곡률과 관련된다. 단위 법선 벡터의 y성분을 $y(t)$로 나눈 값이다. ${\kappa }_2=\frac{N_y}{y(t)}=\frac{-\cos t}{\sin t}=-\cot t$.

4. 가우스 곡률 계산:

$$K={\kappa }_1{\kappa }_2=(\tan t)\cdot (-\cot t)=-1$$

결론 (b): 곡면 S의 가우스 곡률은 모든 점에서 -1 이다.