2020 fall

1. 문제 번역

**11. (10점) $f$를 연결된(connected) 정칙 곡면 $S\subset {\mathbb{R}}^3$ 위에서 정의된 매끄러운 함수라 하자.

(a) 만약 $f$가 점 $p\in S$에서 국소 최솟값(local minimum) 을 가지면, $p$는 $f$의 임계점(critical point) 임을 보여라.

(b) 만약 모든 점 $p\in S$에서 미분사상(differential) $d{f}_p$가 사라지면(vanishes) , $f$는 상수 함수 임을 보여라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

이 문제들은 일반적인 다변수 미적분학의 정리를 곡면이라는 새로운 공간으로 확장하는 문제입니다.

(a)를 위한 개념

• 국소 최솟값: 점 $p$가 국소 최솟값이라는 것은, $p$의 충분히 작은 근방에서는 $f(p)$가 가장 작은 값이라는 의미입니다 ($f(q)\ge f(p)$).
• 미분사상 ($d{f}_p$): 함수 $f$의 점 $p$에서의 ‘도함수’로, 접평면 $T_{p}S$에서 실수 $\mathbb{R}$로 가는 선형 변환입니다. 접벡터 $v\in T_{p}S$에 대한 $d{f}_p(v)$ 값은 $v$ 방향으로의 방향미분계수와 같습니다.
• 임계점: 미분사상이 영사상($d{f}_p=0$)이 되는 점입니다. 즉, 모든 방향으로의 방향미분계수가 0인 점입니다.
• 핵심 전략: 곡면 위의 문제는 다루기 어려우므로, 곡면 위의 임의의 곡선 $\alpha (t)$를 따라 함수 $f$의 변화를 관찰합니다. 이렇게 하면 $f(\alpha (t))$는 우리가 잘 아는 1변수 함수가 되므로, 1변수 미적분학의 정리(페르마의 정리)를 적용할 수 있습니다.

(b)를 위한 개념

• 연결된 곡면 (Connected Surface): 곡면이 하나의 ‘덩어리’로 이루어져 있음을 의미합니다. 정칙 곡면에서 ‘연결’은 ‘경로 연결(path-connected)‘과 동치입니다. 즉, 곡면 위의 임의의 두 점은 항상 곡면을 벗어나지 않는 경로(curve)로 이을 수 있습니다.
• 핵심 전략: 임의의 두 점을 경로로 잇고, 그 경로 위에서 함수 값의 변화를 관찰합니다. 미분사상이 모든 점에서 0이라는 조건을 이용하면, 경로 위에서의 함수의 변화율이 0임을 보일 수 있습니다. 이는 1변수 미적분학의 평균값 정리와 직결됩니다.

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

(a) 국소 최솟값이 임계점임의 증명

목표: $p$가 국소 최솟값이면, 임의의 접벡터 $v\in T_{p}S$에 대해 $d{f}_p(v)=0$임을 보인다.

1. $p\in S$를 $f$의 국소 최솟값이라 하고, $v\in T_{p}S$를 임의의 접벡터라 하자.
2. 는 정칙 곡면이므로, 점 $p$를 지나면서 초기 속도가 $v$인 매끄러운 곡선 $\alpha :(-ϵ,ϵ)\to S$ 가 존재한다. 즉, $\alpha (0)=p$ 이고 ${\alpha }^{\prime }(0)=v$ 이다.
3. 1변수 함수 $g(t)=f(\alpha (t))$를 생각하자. $p$가 $f$의 국소 최솟값이므로, $t=0$은 함수 $g(t)$의 국소 최솟점이다.
4. 1변수 미적분학의 페르마의 정리(Fermat’s Theorem) 에 따르면, 미분 가능한 함수가 국소 최소점에서 갖는 미분계수는 0이다. 따라서, $g^{\prime }(0)=0$이다.
5. 연쇄 법칙(chain rule)에 의해 $g^{\prime }(t)=d{f}_{\alpha (t)}({\alpha }^{\prime }(t))$ 이다. $t=0$을 대입하면,

$$g^{\prime }(0)=d{f}_{\alpha (0)}({\alpha }^{\prime }(0))=d{f}_p(v)$$

6. $g^{\prime }(0)=0$이므로, $d{f}_p(v)=0$이다.

결론: $v$는 $T_{p}S$의 임의의 벡터였으므로, $d{f}_p$는 모든 벡터를 0으로 보내는 영사상이다. 따라서 $p$는 $f$의 임계점이다. ∎

(b) 미분사상이 0이면 상수 함수임의 증명

목표: $S$ 위의 임의의 두 점 $p_0,p_1$에 대해 $f(p_0)=f(p_1)$임을 보인다.

1. $p_0$와 $p_1$을 $S$ 위의 임의의 두 점이라 하자.

2. 가정에서 $S$는 연결되어 있으므로 , $p_0$와 $p_1$을 잇는 매끄러운 경로 $\alpha :[0,1]\to S$ 가 존재한다. 즉, $\alpha (0)=p_0$ 이고 $\alpha (1)=p_1$ 이다.

3. 1변수 함수 $g(t)=f(\alpha (t))$ for $t\in [0,1]$를 생각하자.

4. $g(t)$를 미분하면, 연쇄 법칙에 의해 $g^{\prime }(t)=d{f}_{\alpha (t)}({\alpha }^{\prime }(t))$ 이다.

5. 문제의 가정에서, 모든 점에서의 미분사상은 0이다. 경로 위의 점 $\alpha (t)$ 또한 $S$ 위의 점이므로, $d{f}_{\alpha (t)}=0$ 이다.

6. 따라서, 모든 $t\in [0,1]$ 에 대해 $g^{\prime }(t)=0({\alpha }^{\prime }(t))=0$ 이다.

7. 1변수 미적분학의 평균값 정리(Mean Value Theorem) 에 따르면, 한 구간에서 도함수가 항상 0인 함수는 그 구간에서 상수 함수이다. 따라서 $g(t)$는 상수이고, $g(0)=g(1)$ 이다.

8. $g(0)=f(\alpha (0))=f(p_0)$ 이고 $g(1)=f(\alpha (1))=f(p_1)$ 이므로, $f(p_0)=f(p_1)$ 이다.

결론: $p_0,p_1$은 $S$ 위의 임의의 두 점이었으므로, 함수 $f$는 곡면 전체에서 같은 값을 갖는다. 따라서 $f$는 상수 함수이다. ∎

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물론입니다. 측지선과 평행 벡터장에 관한 이 문제에 대해 번역, 필수 개념, 그리고 가장 이상적인 답안을 제시해 드리겠습니다.

1. 문제 번역

**12. (10점) $S\subset {\mathbb{R}}^3$를 정칙 곡면이라 하고, $\alpha :[0,1]\to S$를 측지선(geodesic) 이라 하자. 만약 $w(t)\in T_{\alpha (t)}S$가 $\alpha$를 따르는 매끄러운 평행 벡터장(parallel vector field) 이라면, ${\alpha }^{\prime }(t)$와 $w(t)$ 사이의 각도가 구간 $[0,1]$에서 일정함을 보여라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

이 증명은 ‘평행 이동’과 ‘측지선’의 정의, 그리고 이들을 다루는 핵심 도구인 공변 도함수 의 성질을 이용하면 매우 간단하게 해결됩니다.

• 공변 도함수 (Covariant Derivative, $\frac{D}{dt}$): 곡면 위의 벡터장이 곡선을 따라 변할 때, 그 변화율을 곡면의 접평면에 투영하여 얻은 ‘내재적(intrinsic)’ 변화율입니다. 곡면 자체가 휘어져 발생하는 변화를 제거하고, 순수하게 벡터장 자체가 접평면 위에서 어떻게 변하는지만을 측정합니다.

• 평행 벡터장 (Parallel Vector Field): 곡선을 따라 ‘내재적으로 변하지 않는’ 벡터장입니다. 즉, 공변 도함수가 0인 벡터장 $w(t)$를 의미합니다.

$$\frac{Dw}{dt}=0$$

이는 평평한 유클리드 공간에서의 상수 벡터장을 곡면으로 일반화한 개념입니다.

• 측지선 (Geodesic): ‘가장 곧은’ 경로를 의미하며, 그 정의 중 하나는 접선 벡터장 자신이 자기 자신을 따라 평행 이동 하는 곡선입니다. 즉, 측지선 $\alpha (t)$의 접선 벡터장 ${\alpha }^{\prime }(t)$는 다음을 만족합니다.

$$\frac{D{\alpha }^{\prime }}{dt}=0$$

• 공변 도함수의 성질: 공변 도함수는 일반적인 도함수처럼 내적에 대해 곱셈 규칙(product rule)을 만족합니다. 이 성질이 증명의 핵심입니다.

$$\frac{d}{dt}⟨v(t),w(t)⟩=⟨\frac{Dv}{dt},w(t)⟩+⟨v(t),\frac{Dw}{dt}⟩$$

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

목표: 두 벡터장 ${\alpha }^{\prime }(t)$와 $w(t)$ 사이의 각 $\theta (t)$가 일정함을 보이는 것이다. 이는 $\cos \theta (t)=\frac{⟨{\alpha }^{\prime }(t),w(t)⟩}{\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert \Vert w(t)\Vert }$ 가 상수임을 보이는 것과 같다.

증명

1. 벡터 크기가 상수임을 증명

• $w(t)$는 평행 벡터장이므로 $\frac{Dw}{dt}=0$ 이다. 크기의 제곱을 미분하면,

$$\frac{d}{dt}\Vert w(t){\Vert }^2=\frac{d}{dt}⟨w,w⟩=⟨\frac{Dw}{dt},w⟩+⟨w,\frac{Dw}{dt}⟩=⟨0,w⟩+⟨w,0⟩=0$$

따라서 $\Vert w(t)\Vert$는 상수이다.

• $\alpha (t)$는 측지선이므로 $\frac{D{\alpha }^{\prime }}{dt}=0$ 이다. 위와 같은 논리로,

$$\frac{d}{dt}\Vert {\alpha }^{\prime }(t){\Vert }^2=⟨\frac{D{\alpha }^{\prime }}{dt},{\alpha }^{\prime }⟩+⟨{\alpha }^{\prime },\frac{D{\alpha }^{\prime }}{dt}⟩=0$$

따라서 측지선의 속력 $\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert$ 또한 상수이다.

• 결과적으로 $\cos \theta (t)$ 공식의 분모 $\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert \Vert w(t)\Vert$는 상수 이다.

2. 벡터 내적이 상수임을 증명 이제 $\cos \theta (t)$ 공식의 분자인 내적 $⟨{\alpha }^{\prime }(t),w(t)⟩$이 상수임을 보이면 증명이 끝난다. 내적을 시간에 대해 미분해 보자.

$$\frac{d}{dt}⟨{\alpha }^{\prime }(t),w(t)⟩=⟨\frac{D{\alpha }^{\prime }}{dt},w(t)⟩+⟨{\alpha }^{\prime }(t),\frac{Dw}{dt}⟩$$

문제의 가정으로부터 우리는 다음 두 가지 사실을 안다.

• $\alpha$는 측지선이므로: $\frac{D{\alpha }^{\prime }}{dt}=0$
• $w$는 평행 벡터장이므로: $\frac{Dw}{dt}=0$

이 두 사실을 위 식에 대입하면,

$$\frac{d}{dt}⟨{\alpha }^{\prime }(t),w(t)⟩=⟨0,w(t)⟩+⟨{\alpha }^{\prime }(t),0⟩=0+0=0$$

따라서 내적 $⟨{\alpha }^{\prime }(t),w(t)⟩$ 또한 상수이다.

최종 결론

분모 $\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert \Vert w(t)\Vert$와 분자 $⟨{\alpha }^{\prime }(t),w(t)⟩$가 모두 상수이므로, $\cos \theta (t)$ 역시 상수이다. 이는 두 벡터 ${\alpha }^{\prime }(t)$와 $w(t)$ 사이의 각도가 구간 $[0,1]$에서 일정함 을 의미한다. ∎

이 증명은 평행 이동과 측지선의 본질적인 정의를 사용하여 불필요한 계산 없이 문제의 핵심을 직접적으로 보여주므로 가장 이상적인 답안이라 할 수 있습니다.

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물론입니다. 토러스의 정칙성과 곡률에 관한 이 문제에 대해 번역, 필수 개념, 그리고 가장 이상적인 답안을 제시해 드리겠습니다.

1. 문제 번역

**13. (10점) $S\subset {\mathbb{R}}^3$를 원 $\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:y=0,(x-2{)}^2+z^2=1\}$을 z축에 대해 회전시켜 얻은 토러스(torus) 라 하자. (a) S가 정칙 곡면(regular surface) 임을 보여라.

(b) S의 부분집합 중 가우스 곡률이 사라지는(vanishes) 곳을 설명하라.

2. 문제 풀이를 위한 필수 개념

(a)를 위한 개념

• 정칙 곡면: 곡면 위의 모든 점에서 국소적으로 매끄럽고(smooth) 정칙적인(regular) 매개변수 표현이 존재해야 합니다. 이를 보이는 가장 직접적인 방법은 곡면 전체를 덮는 하나의 매개변수 표현을 찾고, 그것이 모든 점에서 정칙 조건(접벡터들이 선형 독립)을 만족함을 보이는 것입니다.
• 회전체(Surface of Revolution): 토러스는 회전체이므로, 회전체의 일반적인 매개변수화 방법을 사용하면 편리합니다. xz평면 위의 곡선 $(r(v),z(v))$를 z축 중심으로 회전시킨 곡면의 매개변수 표현은 다음과 같습니다.

$$\mathbf{X}(u,v)=(r(v)\cos u,r(v)\sin u,z(v))$$

(b)를 위한 개념

• 회전체의 주곡률(Principal Curvatures): 회전체의 주곡률 방향은 항상 경선(meridian) 방향과 위선(parallel) 방향입니다.

1. 경선 곡률 (${\kappa }_1$): 회전시킨 원래 곡선 자체의 곡률입니다.
2. 위선 곡률 (${\kappa }_2$): 회전으로 인해 생기는 위도원의 곡률과 관련된 값입니다. 생성 곡선이 $(r(v),z(v))$로 주어질 때, ${\kappa }_2=\frac{z^{\prime }}{r\sqrt{r^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}$ 입니다.

• 가우스 곡률: $K={\kappa }_1{\kappa }_2$ 입니다. 주곡률을 이용하면 계산이 매우 간단해집니다.

3. 가장 쉽고 완벽한 답안

(a) 토러스가 정칙 곡면임의 증명

1. 매개변수 표현 구성

• 회전시킬 원 $(x-2{)}^2+z^2=1$ (xz평면 위)을 매개변수 $v$로 표현하자 ($0\le v<2\pi$). $x(v)=2+\cos v$, $z(v)=\sin v$
• 이 곡선을 z축 중심으로 회전각 $u$ ($0\le u<2\pi$) 만큼 회전시켜 토러스의 매개변수 표현 $\mathbf{X}(u,v)$를 얻는다.

$$\mathbf{X}(u,v)=((2+\cos v)\cos u,(2+\cos v)\sin u,\sin v)$$

2. 정칙 조건 확인

• 매끄러움: $\mathbf{X}(u,v)$의 각 성분은 sin, cos 함수의 조합이므로 모든 점에서 매끄럽다($C^{\infty }$).
• 정칙성: 접벡터 ${\mathbf{X}}_u,{\mathbf{X}}_v$가 모든 점에서 선형 독립임을 보여야 한다. 이를 위해 외적의 크기가 0이 아님을 보인다.
• ${\mathbf{X}}_u=(-(2+\cos v)\sin u,(2+\cos v)\cos u,0)$
• ${\mathbf{X}}_v=(-\sin v\cos u,-\sin v\sin u,\cos v)$
• $\Vert {\mathbf{X}}_u\times {\mathbf{X}}_v\Vert =|2+\cos v|$
• $\cos v$의 최솟값은 -1이므로, $2+\cos v$의 최솟값은 $2-1=1$이다. 따라서 $\Vert {\mathbf{X}}_u\times {\mathbf{X}}_v\Vert$는 절대 0이 되지 않는다.
• 접벡터의 외적이 0이 아니므로, ${\mathbf{X}}_u$와 ${\mathbf{X}}_v$는 모든 점에서 선형 독립이다.

결론: 위 매개변수 표현은 토러스 전체를 덮으며 모든 점에서 매끄럽고 정칙적이다. 따라서 토러스 S는 정칙 곡면이다. ∎

(b) 가우스 곡률이 0이 되는 부분집합

1. 주곡률 계산 회전체의 주곡률 공식을 이용하여 가우스 곡률을 계산하는 것이 가장 효율적이다.

• 경선 곡률 (${\kappa }_1$): 생성 곡선은 반지름이 1인 원이므로, 그 곡률은 항상 ${\kappa }_1=1/1=1$ 이다.
• 위선 곡률 (${\kappa }_2$): 생성 곡선 $r(v)=2+\cos v,z(v)=\sin v$에 대해, $r^{\prime }=-\sin v,z^{\prime }=\cos v$ 이고 $r^{\prime 2}+z^{\prime 2}=1$이다. 따라서

$${\kappa }_2=\frac{z^{\prime }}{r\sqrt{r^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}=\frac{\cos v}{(2+\cos v)\sqrt{1}}=\frac{\cos v}{2+\cos v}$$

2. 가우스 곡률 계산

$$K={\kappa }_1{\kappa }_2=1\cdot \frac{\cos v}{2+\cos v}=\frac{\cos v}{2+\cos v}$$

3. 가우스 곡률이 0이 되는 지점 찾기 $K=0$ 이려면 분자가 0이 되어야 한다.

$$\cos v=0$$

이는 $v=\pi /2$ 와 $v=3\pi /2$ 일 때 성립한다.

4. 기하학적 설명

• $v=\pi /2$: 생성 원의 가장 위쪽 점. ($x=2,z=1$)
• $v=3\pi /2$: 생성 원의 가장 아래쪽 점. ($x=2,z=-1$)

이 점들을 z축 중심으로 회전시키면 두 개의 원이 생성된다.

• 위쪽 원: 높이 $z=1$에 있고, 반지름이 2인 원. ($x^2+y^2=4,z=1$)
• 아래쪽 원: 높이 $z=-1$에 있고, 반지름이 2인 원. ($x^2+y^2=4,z=-1$)

결론: 가우스 곡률이 0이 되는 부분집합은 토러스의 가장 위쪽에 있는 원 과 가장 아래쪽에 있는 원 이다. 이 지점들은 기하학적으로 접평면이 수직(z축에 평행)이 되는 곳과 일치한다.

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14. (10 pts.) Show that a compact subset S of a Hausdorff topological space X is closed. Also, prove or disprove whether the statement is true without the Hausdorff condition on X.

Theorem

• 하우스도르프 공간 (Hausdorff Space) : 임의의 서로 다른 두 점에 대해, 각각을 포함하는 서로소인 열린 근방이 존재하는 위상 공간이다.
• 컴팩트 공간 (Compact Space) : 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는 위상 공간이다.

Answer

하우스도르프 조건이 있을 경우 증명:

1. $S$가 하우스도르프 공간 $X$의 컴팩트 부분집합이라 하자. $S$가 닫힌 집합임을 보이기 위해, 여집합 $X\setminus S$가 열린 집합임을 보인다.
2. 임의의 점 $x\in X\setminus S$를 선택하자.
3. 각 $s\in S$에 대해, $x\ne s$ 이고 $X$는 하우스도르프 공간이므로, $x\in U_s$ 이고 $s\in V_s$ 인 서로소인 열린 집합 $U_s,V_s$가 존재한다.
4. 집합족 $\{V_s{\}}_{s\in S}$는 $S$의 열린 덮개이다. $S$는 컴팩트하므로, 유한 부분 덮개 $\{V_{s_1},\dots ,V_{s_n}\}$가 존재한다. 즉, $S\subset {\bigcup }_{i=1}^n{V}_{s_i}$ 이다.
5. $V={\bigcup }_{i=1}^n{V}_{s_i}$ 라 하고, $U={\bigcap }_{i=1}^n{U}_{s_i}$ 라 하자.
6. $U$는 $x$를 포함하는 유한개의 열린 집합의 교집합이므로, $x$의 열린 근방이다.
7. 임의의 $i=1,\dots ,n$에 대해 $U_{s_i}\cap V_{s_i}=\varnothing$ 이므로, $U\cap V_{s_i}=\varnothing$ 이다. 따라서 $U\cap V=\varnothing$ 이다.
8. $S\subset V$ 이므로, $U\cap S=\varnothing$ 이다. 이는 $U\subset X\setminus S$를 의미한다.
9. 임의의 $x\in X\setminus S$에 대해 $x$를 포함하고 $X\setminus S$에 속하는 열린 근방 $U$를 찾았으므로, $X\setminus S$는 열린 집합이다. 따라서 $S$는 닫힌 집합이다.

하우스도르프 조건이 없을 경우 반증: 이 명제는 하우스도르프 조건 없이는 참이 아니다.

• 반례 : $X=\{a,b\}$에 비이산 위상(indiscrete topology) $\mathcal{T}=\{\varnothing ,X\}$를 주자. 이 공간은 하우스도르프가 아니다.
• 부분집합 $S=\{a\}$를 생각하자. $S$의 열린 덮개는 반드시 $X$를 포함해야 하므로, $\{X\}$는 유한 부분 덮개가 된다. 따라서 $S$는 컴팩트하다.
• 그러나 $X$의 닫힌 집합은 $\varnothing$과 $X$ 뿐이므로, $S=\{a\}$는 닫힌 집합이 아니다. 따라서 이 명제는 하우스도르프 조건이 없으면 거짓이다.

15. (10 pts.) Denote by ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ the countably infinite product of $\mathbb{R}$. Let $A\subset {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ be the subset defined by $A=\{(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}:x_n=0\text{ for all but finitely many n}\}$.

(a) Determine whether A is dense in ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ with respect to the product topology. Explain your answer. (b) Determine whether A is dense in ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ with respect to the box topology. Explain your answer.

Theorem

• 곱위상 (Product Topology) : 곱공간 $\prod X_{\alpha }$ 위의 위상으로, 기저는 $\prod U_{\alpha }$ 형태의 집합들로 이루어져 있다. 여기서 각 $U_{\alpha }$는 $X_{\alpha }$의 열린 집합이고, 유한개의 $\alpha$를 제외하고는 $U_{\alpha }=X_{\alpha }$이다.
• 상자 위상 (Box Topology) : 곱공간 $\prod X_{\alpha }$ 위의 위상으로, 기저는 $\prod U_{\alpha }$ 형태의 집합들로 이루어져 있다. 여기서 각 $U_{\alpha }$는 $X_{\alpha }$의 임의의 열린 집합이다.
• 조밀한 부분집합 (Dense Subset) : 부분집합 $A$가 공간 $X$에서 조밀하다는 것은, $X$의 모든 점이 $A$의 점이거나 $A$의 집적점(limit point)임을 의미한다. 즉, $X$의 임의의 비어있지 않은 열린 집합이 $A$와 만난다.

Answer

(a) 곱위상에서 A는 조밀하다.

1. $A$가 조밀함을 보이기 위해, ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$의 임의의 점 $x=(x_n)$과 $x$를 포함하는 임의의 기저 열린 집합 $U$에 대해, $U\cap A\ne \varnothing$ 임을 보이면 된다.
2. 곱위상의 기저 열린 집합 $U$는 $U={\prod }_{n=1}^{\infty }{U}_n$ 형태로, 유한 집합 $F\subset \mathbb{N}$에 대해 $n\notin F$ 이면 $U_n=\mathbb{R}$ 이고, $n\in F$ 이면 $U_n$은 $x_n$을 포함하는 $\mathbb{R}$의 열린 집합이다.
3. 점 $a=(a_n)$를 다음과 같이 정의하자.

• $n\in F$ 이면, $a_n=x_n$
• $n\notin F$ 이면, $a_n=0$

4. $a$는 유한개의 0이 아닌 항만을 가지므로 $a\in A$ 이다.
5. 또한, 모든 $n$에 대해 $a_n\in U_n$ 이다 ($n\in F$이면 $a_n=x_n\in U_n$, $n\notin F$이면 $a_n=0\in \mathbb{R}=U_n$). 따라서 $a\in U$ 이다.
6. 임의의 점의 임의의 근방이 $A$의 원소를 포함하므로, $A$는 곱위상에서 조밀하다.

(b) 상자 위상에서 A는 조밀하지 않다.

1. $A$가 조밀하지 않음을 보이기 위해, $A$와 만나지 않는 비어있지 않은 열린 집합을 하나 찾으면 된다.
2. 점 $x=(1,1,1,\dots )$ 를 생각하자. 즉, 모든 $n$에 대해 $x_n=1$ 이다.
3. 상자 위상에서 $x$의 열린 근방 $U$를 다음과 같이 정의하자.

$$U=\prod _{n=1}^{\infty }(1/2,3/2)$$

각 $(1/2,3/2)$는 $\mathbb{R}$의 열린 집합이므로 $U$는 상자 위상의 열린 집합이다. 4. $A$에 속하는 임의의 원소 $a=(a_n)$를 생각하자. $a\in A$의 정의에 의해, 어떤 자연수 $N$이 존재하여 모든 $n>N$에 대해 $a_n=0$ 이다. 5. 그런데 $0\notin (1/2,3/2)$ 이므로, $a$는 $U$에 속할 수 없다. 6. 따라서 $U\cap A=\varnothing$ 이다. $x$를 포함하는 열린 집합 $U$가 $A$와 만나지 않으므로, $A$는 상자 위상에서 조밀하지 않다.