미분기하 개념정리

곡선(planar and spatial curve)

정칙 곡선(regular curve)의 정의와 호장(arc length)으로 매개변수화하는 것의 의미를 설명하라.

** 정칙 곡선** 은 열린 구간 $I$에서 $R^3$으로 사상되는 미분 가능한 매개변수 곡선 $\alpha :I\to R^3$ 중, 모든 $t\in I$에 대해 속도 벡터 ${\alpha }^{\prime }(t)$가 $0$이 아닌 곡선을 의미한다. 즉, ${\alpha }^{\prime }(t)\ne 0$이다. 이 조건은 곡선의 모든 점에서 접선(tangent line)이 유일하게 정의됨을 보장하며, 뾰족점(cusp)과 같은 특이점(singular point)을 배제한다.

** 호장 매개변수화** 는 곡선의 매개변수를 시작점으로부터의 거리, 즉 호장 $s$로 사용하는 것을 의미한다. 정칙 곡선 $\alpha (t)$에 대해, 호장 함수는 $s(t)={\int }_{t_0}^t|{\alpha }^{\prime }(\tau )|d\tau$로 정의된다. $ds/dt=|{\alpha }^{\prime }(t)|=1$일 때, 즉 속도 벡터의 크기가 항상 $1$일 때, 그 곡선은 호장으로 매개변수화되었다고 한다.

의미 : 호장으로 곡선을 매개변수화하면, 곡선의 기하학적 속성인 곡률(curvature)과 열률(torsion)이 매개변수화 방식에 의존하지 않고 오직 곡선 자체의 모양에 의해서만 결정된다. 이는 곡선의 국소적 형태를 분석하는 데 있어 계산을 단순화하고 이론을 명확하게 만드는 핵심적인 역할을 한다.

공간 곡선의 국소적 이론에서 가장 핵심적인 개념인 프레네-세레 프레임(Frenet-Serret frame)와 곡률(curvature), 열률(torsion)의 정의와 기하학적 의미를 설명하라.

호장 $s$로 매개변수화된 정칙 곡선 $\alpha (s)$가 주어졌을 때, 곡선의 각 점에는 다음과 같은 직교정규(orthonormal) 벡터장인 프레네-세레 프레임 $\{t(s),n(s),b(s)\}$가 정의된다.

• 단위 접벡터(Unit Tangent Vector) $t(s)$ : $t(s)={\alpha }^{\prime }(s)$로 정의된다. 곡선의 진행 방향을 나타내는 단위 벡터이다.
• 주 법선벡터(Principal Normal Vector) $n(s)$ : $t^{\prime }(s)=k(s)n(s)$를 만족하는 단위 벡터이다. 단, 곡률 $k(s)\ne 0$이어야 한다. $n(s)$는 곡선이 접선 방향에서 벗어나는 방향, 즉 휘는 방향을 가리킨다.
• 종 법선벡터(Binormal Vector) $b(s)$ : $b(s)=t(s)\wedge n(s)$로 정의된다. $t(s)$와 $n(s)$에 모두 수직이며, $\{t,n,b\}$가 오른손 좌표계를 이루게 한다.

곡률(Curvature) $k(s)$

• 정의 : $k(s)=|{\alpha }^{\prime \prime }(s)|=|t^{\prime }(s)|$로 정의된다.
• 기하학적 의미 : 곡률은 곡선이 접선으로부터 얼마나 빨리 벗어나는지를 측정하는 값이다. 즉, 곡선이 얼마나 휘어져 있는지를 나타낸다. 곡률이 $0$이면 그 곡선은 직선이다.

열률(Torsion) $\tau (s)$

• 정의 : $b^{\prime }(s)=\tau (s)n(s)$를 만족하는 스칼라 함수 $\tau (s)$로 정의된다.
• 기하학적 의미 : 열률은 곡선이 접촉평면(osculating plane, $t$와 $n$에 의해 생성되는 평면)으로부터 얼마나 빨리 벗어나는지를 측정하는 값이다. 즉, 곡선이 평면에서 벗어나 공간적으로 얼마나 비틀리는지를 나타낸다. 열률이 $0$이면 그 곡선은 평면 곡선이다.

프레네-세레 공식(Frenet-Serret formulas)을 제시하고, 이 공식이 공간 곡선의 국소적 형태를 어떻게 기술하는지 설명하라.

프레네-세레 공식 은 프레네 프레임 $\{t,n,b\}$의 각 벡터가 호장 $s$에 따라 어떻게 변하는지를 곡률 $k$와 열률 $\tau$를 이용해 나타내는 1계 선형 연립미분방정식이다. 공식은 다음과 같이 주어진다.

• $t^{\prime }=kn$
• $n^{\prime }=-kt-\tau b$
• $b^{\prime }=\tau n$

이 공식들은 행렬 형태로 $\left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ n^{\prime }\\ b^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& k& 0\\ -k& 0& \tau \\ 0& -\tau & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}t\\ n\\ b\end{array}\right)$와 같이 표현할 수 있다.

의미 : 프레네-세레 공식은 곡선의 국소적 기하가 오직 두 스칼라 함수, 즉 곡률 $k(s)$ 와 열률 $\tau (s)$ 에 의해 완전히 결정됨을 보여준다.

• $t^{\prime }=kn$은 단위 접벡터 $t$의 변화율이 주 법선벡터 $n$ 방향으로 일어나며, 그 크기가 곡률 $k$에 비례함을 의미한다. 이는 곡선의 휨을 나타낸다.
• $b^{\prime }=\tau n$은 종 법선벡터 $b$의 변화율, 즉 접촉평면의 변화가 주 법선벡터 $n$ 방향으로 일어나며, 그 크기가 열률 $\tau$에 비례함을 의미한다. 이는 곡선의 비틀림을 나타낸다.
• $n^{\prime }$에 대한 공식은 $n$이 $t$와 $b$의 변화에 따라 어떻게 회전하는지를 보여준다.

결론적으로, 이 공식들은 곡선을 따라 움직일 때 국소 좌표계인 프레네 프레임가 어떻게 회전하는지를 정량적으로 기술하며, 이 회전 운동을 통해 곡선의 3차원적 형태가 결정된다.

공간 곡선의 국소 이론에 관한 기본 정리(Fundamental Theorem of the Local Theory of Curves)를 서술하고 그 중요성을 설명하라.

정리 : 열린 구간 $I$에서 정의된 미분 가능한 두 함수 $k(s)>0$와 $\tau (s)$가 주어졌을 때, 호장 $s$, 곡률 $k(s)$, 열률 $\tau (s)$를 갖는 정칙 매개변수 곡선 $\alpha :I\to R^3$이 존재한다. 또한, 동일한 $k(s)$와 $\tau (s)$를 갖는 다른 곡선 $\bar{\alpha }$는 $\alpha$에 강체 운동(rigid motion)을 적용하여 얻을 수 있다. 즉, 양의 행렬식을 갖는 직교 선형 변환 $\rho$와 벡터 $c$가 존재하여 $\bar{\alpha }=\rho \circ \alpha +c$를 만족한다.

이 정리는 다음과 같은 두 가지 핵심적인 의미를 가진다.

1. 존재성(Existence) : 곡률과 열률이라는 두 스칼라 함수만으로 공간 곡선의 존재가 보장된다. 즉, $k(s)$와 $\tau (s)$는 곡선을 정의하기 위한 ‘내재적 유전 정보’와 같다. 이 두 함수를 명시하는 것은 곡선의 기하학적 형태를 완전히 규정하는 것과 같다.

2. 유일성(Uniqueness) : 곡률과 열률이 같은 두 곡선은 $R^3$ 공간 내에서 그 위치와 방향만 다를 뿐, 모양은 완전히 같다(합동이다). 이는 곡률과 열률이 곡선의 모든 국소적 기하 정보를 담고 있으며, 곡선의 형태를 유일하게 결정하는 완전한 불변량(invariant)임을 의미한다. 따라서 공간 곡선의 연구는 본질적으로 곡률과 열률 함수에 대한 연구로 귀결될 수 있다.

나선(helix) $\alpha (s)=(a\cos (s/c),a\sin (s/c),b(s/c))$의 곡률과 열률을 계산하고, 이 곡선이 갖는 기하학적 특성을 설명하라. (단, $c=\sqrt{a^2+b^2}$)

주어진 곡선 $\alpha (s)$에 대해, 먼저 호장 매개변수인지 확인한다. ${\alpha }^{\prime }(s)=(-(a/c)\sin (s/c),(a/c)\cos (s/c),b/c)$ $|{\alpha }^{\prime }(s)|=\sqrt{(a^2/c^2){\sin }^2(s/c)+(a^2/c^2){\cos }^2(s/c)+b^2/c^2}=\sqrt{(a^2+b^2)/c^2}=1$이므로 $s$는 호장이다.

단위 접벡터 $t(s)={\alpha }^{\prime }(s)=(-(a/c)\sin (s/c),(a/c)\cos (s/c),b/c)$이다.

$t^{\prime }(s)={\alpha }^{\prime \prime }(s)=(-(a/c^2)\cos (s/c),-(a/c^2)\sin (s/c),0)$

곡률 $k(s)$ : $k(s)=|t^{\prime }(s)|=\sqrt{(a^2/c^4){\cos }^2(s/c)+(a^2/c^4){\sin }^2(s/c)}=a/c^2=a/(a^2+b^2)$이다. 곡률은 상수이다.

주 법선벡터 $n(s)$ : $n(s)=t^{\prime }(s)/k(s)=(-\cos (s/c),-\sin (s/c),0)$이다.

종 법선벡터 $b(s)$ : $b(s)=t(s)\wedge n(s)=((b/c)\sin (s/c),-(b/c)\cos (s/c),a/c)$이다.

$b^{\prime }(s)=((b/c^2)\cos (s/c),(b/c^2)\sin (s/c),0)$

열률 $\tau (s)$ : $b^{\prime }(s)=\tau (s)n(s)$에서, $\tau (s)=-b/c^2=-b/(a^2+b^2)$이다. 열률 또한 상수이다.

기하학적 특성 :

1. 곡률과 열률이 모두 상수 이다. $k/\tau =-a/b$로 일정하므로 나선은 일반화된 나선(generalized helix) 의 정의를 만족한다.
2. 접선이 고정된 방향과 일정한 각을 이룬다 . $z$축의 방향 벡터 $e_3=(0,0,1)$과 접벡터 $t(s)$의 내적은 $t(s)\cdot e_3=b/c$로 상수이다. 따라서 나선의 모든 접선은 $z$축과 일정한 각 $\theta ={\cos }^{-1}(b/c)$를 이룬다.
3. 주 법선벡터가 회전축에 수직 이다. $n(s)\cdot e_3=0$이므로, 모든 주 법선벡터는 $z$축에 수직이며, $z$축을 향한다.

호의 길이, 곡률, 꼬임률(invariants: arc length, curvature, torsion)

호의 길이(arc length), 곡률(curvature), 열률(torsion)이 곡선의 매개변수화 방식과 무관한, 곡선 고유의 불변량(invariant)인 이유를 설명하라.

이 세 가지 양이 불변량인 근본적인 이유는 이들이 곡선의 기하학적 형태 자체에만 의존하기 때문이다.

1. 호의 길이 : 정칙 곡선 $\alpha (t)$의 호의 길이는 $s(t)={\int }_{t_0}^t|{\alpha }^{\prime }(\tau )|d\tau$로 정의된다. 이 값은 속도 벡터의 크기를 적분한 것이므로, 곡선을 그리는 속도와는 무관하게 곡선의 경로(trace)의 길이를 나타낸다. 따라서 어떤 매개변수 $t$를 사용하더라도, 동일한 경로를 측정한다면 그 길이는 변하지 않는다.

2. 곡률과 열률 : 곡률과 열률은 정의상 호장 $s$ 로 매개변수화된 곡선 $\alpha (s)$에 대해 정의된다 ($k=|{\alpha }^{\prime \prime }(s)|$, $b^{\prime }=\tau n$). 임의의 정칙 곡선 $\alpha (t)$는 호장 $s$로 재매개변수화(reparametrization) 할 수 있다. 이 재매개변수화 과정은 유일하게 결정되므로, 어떤 초기 매개변수 $t$에서 시작하더라도 결과적으로 얻어지는 곡률 $k(s)$와 열률 $\tau (s)$ 함수는 동일하다. 따라서 곡률과 열률은 매개변수화 방식에 의존하지 않고, 곡선의 기하학적 형태에만 의존하는 고유한 불변량이 된다.

곡선이 호장(arc length)이 아닌 임의의 정칙 매개변수 $t$로 주어졌을 때, 곡률 $k(t)$와 열률 $\tau (t)$를 계산하는 공식을 제시하라.

호장 $s$는 $t$에 대한 함수 $s(t)$로 표현되며, 연쇄 법칙(chain rule)을 이용하여 호장 $s$에 대한 미분을 $t$에 대한 미분으로 변환할 수 있다. 이 과정을 통해 다음 공식을 유도할 수 있다.

곡률 : $k(t)=\frac{|{\alpha }^{\prime }(t)\wedge {\alpha }^{\prime \prime }(t)|}{|{\alpha }^{\prime }(t){|}^3}$

이 공식에서 분자 $|{\alpha }^{\prime }(t)\wedge {\alpha }^{\prime \prime }(t)|$는 속도 벡터 ${\alpha }^{\prime }(t)$와 가속도 벡터 ${\alpha }^{\prime \prime }(t)$가 만드는 평행사변형의 넓이를 나타내며, 이는 곡선이 얼마나 빠르게 휘는지를 측정한다. 분모 $|{\alpha }^{\prime }(t){|}^3$는 매개변수 $t$의 변화 속도를 보정하는 역할을 한다.

열률 : $\tau (t)=-\frac{({\alpha }^{\prime }(t)\wedge {\alpha }^{\prime \prime }(t))\cdot {\alpha }^{\prime \prime \prime }(t)}{|{\alpha }^{\prime }(t)\wedge {\alpha }^{\prime \prime }(t){|}^2}$

이 공식에서 분자는 세 벡터 ${\alpha }^{\prime }$, ${\alpha }^{\prime \prime }$, ${\alpha }^{\prime \prime \prime }$가 만드는 평행육면체의 부피와 관련 있으며, 곡선이 접촉평면에서 벗어나는 정도, 즉 비틀림을 측정한다. 분모는 정규화를 위한 항이다. (참고: 교재에 따라 부호가 $\tau (t)=\frac{({\alpha }^{\prime }(t)\wedge {\alpha }^{\prime \prime }(t))\cdot {\alpha }^{\prime \prime \prime }(t)}{|{\alpha }^{\prime }(t)\wedge {\alpha }^{\prime \prime }(t){|}^2}$가 될 수도 있다.)

곡선의 호의 길이, 곡률, 열률이 강체 운동(rigid motion)에 대해 불변임을 설명하라.

강체 운동은 $R^3$ 공간에서의 평행이동(translation)과 회전(rotation)의 합성으로 정의된다. 이 세 가지 양이 강체 운동에 대해 불변인 이유는 다음과 같다.

• 호의 길이 : 강체 운동은 두 점 사이의 유클리드 거리를 보존한다. 곡선의 호의 길이는 곡선을 따라 무수히 많은 미소 선분들의 길이를 합한 것의 극한으로 정의될 수 있다. 강체 운동은 각 미소 선분의 길이를 보존하므로, 전체 호의 길이 또한 보존된다.

• 곡률과 열률 : 곡률과 열률은 곡선의 미분 벡터들(${\alpha }^{\prime }$, ${\alpha }^{\prime \prime }$, ${\alpha }^{\prime \prime \prime }$)의 내적(dot product), 벡터곱(vector product), 그리고 크기(norm)를 통해 계산된다.

  • 평행이동 에 대해, 미분 벡터들(${\alpha }^{\prime }$, ${\alpha }^{\prime \prime }$, ${\alpha }^{\prime \prime \prime }$)은 변하지 않으므로 곡률과 열률은 불변이다.
  • 회전 은 $R^3$의 직교 변환(orthogonal transformation)으로, 벡터의 크기와 두 벡터 사이의 각도를 보존한다. 양의 행렬식을 갖는 회전 변환은 벡터곱 또한 보존한다. 곡률과 열률을 계산하는 공식들은 이러한 크기, 내적, 벡터곱으로만 구성되어 있으므로 회전에 대해서도 불변이다.

따라서 호의 길이, 곡률, 열률은 곡선이 공간 내에서 어떻게 위치하거나 어떤 방향을 향하고 있는지와 무관하게, 오직 곡선 자체의 ‘모양’에만 의존하는 본질적인 기하학적 속성이다.

원점을 중심으로 하는 구(sphere) 위에 곡선의 경로(trace)가 놓여있을 필요충분조건은 곡선의 위치 벡터 $\alpha (t)$와 속도 벡터 ${\alpha }^{\prime }(t)$가 항상 직교하는 것임을 증명하라. (단, 곡선은 원점을 지나지 않는다.)

이 명제는 $|\alpha (t)|$가 상수라는 조건과 $\alpha (t)\cdot {\alpha }^{\prime }(t)=0$이라는 조건이 동치임을 보이는 것과 같다.

1. ($\Rightarrow$) 먼저, 곡선 $\alpha (t)$가 원점을 중심으로 하는 반지름 $R$인 구 위에 있다고 가정하자. 그러면 모든 $t$에 대해 $|\alpha (t){|}^2=\alpha (t)\cdot \alpha (t)=R^2$으로 일정하다. 이 식을 $t$에 대해 미분하면 다음과 같다. $\frac{d}{dt}(\alpha (t)\cdot \alpha (t))={\alpha }^{\prime }(t)\cdot \alpha (t)+\alpha (t)\cdot {\alpha }^{\prime }(t)=2\alpha (t)\cdot {\alpha }^{\prime }(t)=0$ 따라서, 모든 $t$에 대해 $\alpha (t)\cdot {\alpha }^{\prime }(t)=0$이므로 위치 벡터와 속도 벡터는 항상 직교한다.

2. ($\Leftarrow$) 역으로, 모든 $t$에 대해 $\alpha (t)\cdot {\alpha }^{\prime }(t)=0$이라고 가정하자. $|\alpha (t){|}^2$를 $t$에 대해 미분하면 다음과 같다. $\frac{d}{dt}|\alpha (t){|}^2=\frac{d}{dt}(\alpha (t)\cdot \alpha (t))=2\alpha (t)\cdot {\alpha }^{\prime }(t)$ 가정에 의해 이 값은 $0$이다. 따라서 $|\alpha (t){|}^2$는 상수이다. 이는 $|\alpha (t)|$가 상수 $R$임을 의미하며, 곡선 $\alpha (t)$의 경로는 원점을 중심으로 하는 반지름 $R$인 구 위에 존재한다.

곡면(surface)

$R^3$ 안의 부분집합 $S$가 정칙곡면(regular surface)으로 정의되기 위한 세 가지 조건을 설명하고, 각 조건의 기하학적 의미를 말하라.

부분집합 $S\subset R^3$가 정칙곡면이라는 것은, $S$ 위의 모든 점 $p$에 대해 다음 세 조건을 만족하는 $R^2$의 열린 집합 $U$와 사상 $\mathbf{x}:U\to S$가 존재함을 의미한다. 이때 $\mathbf{x}(U)$는 $p$를 포함하는 $S$의 한 근방이다.

1. $\mathbf{x}$는 미분 가능하다(differentiable).

• 의미 : 곡면이 “매끄러움”을 보장하는 조건이다. 즉, 곡면 조각이 갑자기 꺾이거나 모서리가 생기지 않고, 국소적으로 좌표 $(u,v)$에 대해 부드럽게 변함을 의미한다.

2. $\mathbf{x}$는 위상동형사상이다(homeomorphism).

• 의미 : 사상 $\mathbf{x}$와 그 역사상 ${\mathbf{x}}^{-1}$가 모두 연속임을 뜻한다. 이는 곡면이 자기 자신을 관통하거나, 서로 다른 두 점이 하나의 점으로 붙는 등의 이상 현상이 없음을 보장한다. 즉, 곡면 조각을 찢거나 붙이지 않고도 평면의 일부로 연속적으로 변형할 수 있음을 의미한다.

3. $\mathbf{x}$는 정칙이다(regular). 즉, 각 점 $q\in U$에서 미분 $d{\mathbf{x}}_q$가 단사(one-to-one)이다.

• 의미 : $d{\mathbf{x}}_q$의 행렬의 두 열벡터, 즉 $\partial \mathbf{x}/\partial u$와 $\partial \mathbf{x}/\partial v$가 선형 독립임을 의미한다. 기하학적으로 이는 두 벡터가 $S$ 위의 점 $\mathbf{x}(q)$에서 영이 아닌 접평면(tangent plane)을 생성함을 보장한다. 이 조건 덕분에 곡면이 뾰족한 점(cone)이나 선(edge)과 같은 퇴화된 부분을 갖지 않게 된다.

어떤 집합이 정칙곡면임을 보이는 두 가지 주요한 방법을 설명하라.

정칙곡면임을 보이는 주요한 방법은 다음 두 가지 명제를 이용하는 것이다.

방법 1: 미분 가능한 함수의 그래프 이용

• 명제 : $R^2$의 열린 집합 $U$에서 정의된 미분 가능한 함수 $f:U\to R$가 있을 때, 이 함수의 그래프(graph) $\{(x,y,z)\in R^3\mid z=f(x,y),(x,y)\in U\}$는 정칙곡면이다.
• 설명 : 이 경우, 사상 $\mathbf{x}(u,v)=(u,v,f(u,v))$를 곡면의 매개변수화로 잡을 수 있다. 이 사상은 정칙곡면의 세 가지 조건을 자명하게 만족하므로, 주어진 집합이 미분 가능한 함수의 그래프 형태로 표현될 수 있다면 정칙곡면임을 쉽게 보일 수 있다. 구(sphere)의 일부 영역이 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$와 같이 표현되는 것이 대표적인 예다.

방법 2: 정칙값의 역상 이용

• 명제 : 미분 가능한 함수 $f:U\subset R^3\to R$가 주어졌을 때, $a\in f(U)$가 $f$의 정칙값(regular value)이면, 역상 $f^{-1}(a)$는 정칙곡면이다.
• 설명 : 여기서 $a$가 정칙값이라는 것은 $f^{-1}(a)$에 속하는 모든 점 $p$에서 $f$의 미분 $d{f}_p$가 전사(surjective)임을 의미한다. 즉, $f^{-1}(a)$의 모든 점에서 그래디언트 벡터 $\nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z)$가 영벡터가 아니라는 뜻이다. 이 방법은 음함수 형태로 주어진 집합이 정칙곡면인지 판별할 때 매우 유용하다. 예를 들어, 구 $x^2+y^2+z^2-1=0$은 함수 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1$의 정칙값 $0$에 대한 역상이므로 정칙곡면이다.

원뿔(cone) $S=\{(x,y,z)\in R^3\mid z=\sqrt{x^2+y^2}\}$이 원점 $(0,0,0)$에서 정칙곡면이 아닌 이유를 설명하라.

원뿔이 원점에서 정칙곡면이 아닌 이유는, 원점 근방에서 정칙곡면의 정의를 만족하는 어떠한 국소 매개변수화(local parametrization)도 존재하지 않기 때문이다.

만약 원뿔 $S$가 원점에서 정칙곡면이라면, 원점을 포함하는 근방은 다음 세 가지 형태 중 하나의 미분 가능한 함수의 그래프로 표현될 수 있어야 한다.

1. $z=f(x,y)$
2. $y=g(x,z)$
3. $x=h(y,z)$

원뿔을 $xz$-평면이나 $yz$-평면에 사영(projection)하면 일대일 대응이 되지 않으므로, $y=g(x,z)$나 $x=h(y,z)$ 형태로는 표현할 수 없다. 예를 들어, $x>0$인 점 $(x,0,x)$와 $(x,0,-x)$는 $xz$-평면에서 같은 점 $(x,x)$로 사영된다.

따라서 유일한 가능성은 $z=f(x,y)$ 형태이다. 이 경우, 함수는 반드시 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$가 되어야 한다. 하지만 이 함수는 원점 $(0,0)$에서 미분 가능하지 않다. 예를 들어, $x$에 대한 편미분을 구하려고 할 때 $y=0$ 경로를 따라 접근하면 $\partial z/\partial x=x/|x|$가 되어 원점에서 극한이 존재하지 않는다.

결국, 원점 근방에서 원뿔을 미분 가능한 함수의 그래프로 표현할 수 없으므로, 원뿔은 원점에서 정칙곡면이 아니다. 기하학적으로 이는 원점에 뾰족한 점이 있어 접평면을 유일하게 정의할 수 없다는 사실과 일치한다.

정칙곡면, 곡면에서 정의된 사상(regular surface, smooth functions on surfaces)

매개변수 변환(change of parameters)에 관한 명제를 서술하고, 이 명제가 곡면 위에서 정의된 함수의 미분가능성을 정의하는 데 왜 필수적인지 설명하라.

명제 : 정칙곡면 $S$ 위의 한 점 $p$가 두 매개변수화 $\mathbf{x}:U\to S$와 $\mathbf{y}:V\to S$의 교집합 영역 $\mathbf{x}(U)\cap \mathbf{y}(V)$에 속할 때, 좌표 변환 함수 $h={\mathbf{x}}^{-1}\circ \mathbf{y}$는 미분동형사상(diffeomorphism)이다. 즉, $h$와 그 역함수 $h^{-1}$가 모두 미분 가능하다.

필수적인 이유 : 곡면 위의 함수 $f:S\to R$의 미분가능성을 ‘국소 좌표계에서 미분 가능’으로 정의하고자 할 때, 이 정의는 어떤 국소 좌표계를 선택하더라도 동일해야 한다. 즉, 정의의 유일성(well-definedness) 이 보장되어야 한다.

만약 $f$가 $\mathbf{x}$ 좌표계에서 미분 가능하다면, 합성함수 $f\circ \mathbf{x}$는 미분 가능하다. 이때 다른 좌표계 $\mathbf{y}$를 고려하면, $f\circ \mathbf{y}=(f\circ \mathbf{x})\circ ({\mathbf{x}}^{-1}\circ \mathbf{y})=(f\circ \mathbf{x})\circ h$가 성립한다.

여기서 매개변수 변환 $h$가 미분동형사상이라는 사실이 보장되기 때문에, $f\circ \mathbf{x}$가 미분 가능하면 연쇄 법칙에 의해 $f\circ \mathbf{y}$도 미분 가능함이 보장된다. 반대의 경우도 마찬가지다. 따라서 이 명제 덕분에 함수의 미분가능성이 특정 매개변수화에 의존하지 않는 곡면의 내재적 속성으로 잘 정의될 수 있다.

정칙곡면 $S$ 위에서 정의된 실함수 $f:S\to R$의 미분가능성(differentiability)을 정의하라.

함수 $f:V\subset S\to R$가 $S$의 열린 부분집합 $V$에서 정의될 때, $f$가 점 $p\in V$에서 미분 가능 하다는 것은 다음을 의미한다.

점 $p$를 포함하는 임의의 국소 매개변수화 $\mathbf{x}:U\subset R^2\to S$ ($p\in \mathbf{x}(U)\subset V$)에 대하여, 합성함수 $f\circ \mathbf{x}:U\to R$가 점 ${\mathbf{x}}^{-1}(p)$에서 $R^2$상의 함수로서 미분 가능한 것이다.

즉, $f\circ \mathbf{x}$를 국소 좌표 $(u,v)$에 대한 함수로 보았을 때, 모든 차수의 편도함수가 존재하고 연속일 때, $f$는 점 $p$에서 미분 가능하다고 정의한다. 함수 $f$가 $V$의 모든 점에서 미분 가능할 때, $V$에서 미분 가능하다고 말한다.

이 정의는 앞선 ‘매개변수 변환’ 명제에 의해 어떤 매개변수화를 선택하더라도 동일한 결과를 주기 때문에 유일하게(well-defined) 결정된다.

두 정칙곡면 $S_1$과 $S_2$ 사이의 미분동형사상(diffeomorphism)을 정의하고, 구(sphere)와 타원체(ellipsoid)가 미분동형임을 보이는 예시를 설명하라.

정의 : 두 정칙곡면 $S_1$, $S_2$에 대하여, 사상 $\varphi :S_1\to S_2$가 미분동형사상 이라는 것은 $\varphi$가 전단사(bijective)이고, $\varphi$와 그 역함수 ${\varphi }^{-1}:S_2\to S_1$가 모두 미분 가능한 사상임을 의미한다. 두 곡면이 미분동형이라는 것은 미분기하학적 관점에서 서로 구별할 수 없는, 동일한 구조를 가졌음을 뜻한다.

예시: 구와 타원체의 미분동형

• 단위 구를 $S^2=\{(x,y,z)\in R^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}$로 정의하자.
• 타원체를 $E=\{(x,y,z)\in R^3\mid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\}$ ($a,b,c\ne 0$)로 정의하자.

이때, 다음과 같은 사상 $\varphi :S^2\to E$를 고려한다. $\varphi (x,y,z)=(ax,by,cz)$

1. $\varphi$는 미분 가능하다 : $\varphi$는 $R^3$ 전체에서 정의된 선형 변환의 제한이므로 명백히 미분 가능하다.
2. $\varphi$는 전단사이다 : $\varphi$의 역함수 ${\varphi }^{-1}:E\to S^2$는 ${\varphi }^{-1}(x,y,z)=(x/a,y/b,z/c)$로 유일하게 존재한다.
3. ${\varphi }^{-1}$도 미분 가능하다 : ${\varphi }^{-1}$ 역시 선형 변환의 제한이므로 미분 가능하다.

따라서 $\varphi$는 미분동형사상이며, 구와 타원체는 미분동형이다. 이는 타원체가 구를 각 축 방향으로 늘리거나 줄여서 얻을 수 있는, 위상적으로나 미분적으로 동일한 대상임을 보여준다.

접평면, 곡면에서 정의된 사상의 미분(tangent plane and differential)

정칙곡면 $S$ 위의 한 점 $p$에서의 접평면(tangent plane) $T_p(S)$를 정의하고, 국소 매개변수화 $\mathbf{x}(u,v)$가 어떻게 $T_p(S)$의 기저(basis)를 제공하는지 설명하라.

접평면의 정의 : 점 $p$를 지나는 곡면 $S$ 위의 모든 미분 가능한 곡선들의 $p$에서의 접벡터(tangent vector) 전체의 집합을 점 $p$에서의 접평면이라 하고, $T_p(S)$로 표기한다. 즉, $w\in T_p(S)$라는 것은 $p$를 지나는 $S$ 위의 어떤 곡선 $\alpha (t)$에 대해 $w={\alpha }^{\prime }(0)$ (단, $\alpha (0)=p$)임을 의미한다.

** 기저** : $p$점 근방의 국소 매개변수화 $\mathbf{x}:U\to S$가 주어졌을 때 ($p=\mathbf{x}(q)$), $T_p(S)$는 $R^2$의 $d{\mathbf{x}}_q$에 대한 상(image), 즉 $d{\mathbf{x}}_q(R^2)$와 일치하는 2차원 벡터 공간이다. 이때, $R^2$의 표준기저 $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$의 상인 두 벡터

• ${\mathbf{x}}_u=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u}=d{\mathbf{x}}_q(e_1)$
• ${\mathbf{x}}_v=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}=d{\mathbf{x}}_q(e_2)$

는 $T_p(S)$에 속한다. 정칙곡면의 정의에 따라 $d{\mathbf{x}}_q$는 단사(injective)이므로, ${\mathbf{x}}_u$와 ${\mathbf{x}}_v$는 선형 독립이다. 따라서, $\{{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v\}$는 $T_p(S)$의 기저를 이룬다. 이 기저를 매개변수화 $\mathbf{x}$에 연관된 기저(associated basis) 라고 한다.

두 정칙곡면 $S_1,S_2$ 사이의 미분 가능한 사상 $\varphi :S_1\to S_2$가 주어졌을 때, 점 $p\in S_1$에서 $\varphi$의 미분(differential) $d{\varphi }_p$를 정의하라.

$d{\varphi }_p$의 정의 : 사상 $\varphi$의 점 $p$에서의 미분 $d{\varphi }_p$는 접평면 사이의 선형사상 $d{\varphi }_p:T_p(S_1)\to T_{\varphi (p)}(S_2)$이다. 이 사상은 다음과 같이 정의된다.

1. $T_p(S_1)$의 임의의 접벡터 $w$를 선택한다.
2. $w$는 $p$를 지나는 $S_1$ 위의 어떤 곡선 $\alpha :(-ϵ,ϵ)\to S_1$의 초기 속도 벡터이다. 즉, $\alpha (0)=p$이고 ${\alpha }^{\prime }(0)=w$이다.
3. 이 곡선 $\alpha$를 사상 $\varphi$에 의해 $S_2$ 위의 곡선 $\beta =\varphi \circ \alpha$로 보낸다. 이때 $\beta (0)=\varphi (p)$이다.
4. 곡선 $\beta$의 $t=0$에서의 접벡터 ${\beta }^{\prime }(0)$는 $T_{\varphi (p)}(S_2)$의 원소이다.
5. $d{\varphi }_p(w)={\beta }^{\prime }(0)$로 정의한다.

이 정의는 $w$를 표현하기 위해 선택한 곡선 $\alpha$에 의존하지 않으며, 결과적으로 얻어지는 사상 $d{\varphi }_p$는 선형사상(linear map)이다. 국소 좌표계에서 $d{\varphi }_p$의 행렬은 $\varphi$의 좌표 표현에 대한 야코비 행렬(Jacobian matrix)로 주어진다.

곡면 $S$ 위의 함수 $f:S\to R$의 임계점(critical point)을 정의하고, 높이 함수(height function) $h(p)=p\cdot v$ ($v$는 고정된 단위벡터)의 임계점은 기하학적으로 어떤 의미를 갖는지 설명하라.

임계점의 정의 : 정칙곡면 $S$ 위에서 정의된 미분 가능한 함수 $f:S\to R$의 임계점은 그 미분 $d{f}_p:T_p(S)\to R$가 영사상(zero map)이 되는 점 $p\in S$를 말한다. 즉, $T_p(S)$의 모든 접벡터 $w$에 대해 $d{f}_p(w)=0$이 되는 점이다.

높이 함수 임계점의 기하학적 의미 : 높이 함수 $h(p)=p\cdot v$의 점 $p$에서의 미분은 다음과 같이 계산된다. $p$를 지나는 곡선 $\alpha (t)$ (단, $\alpha (0)=p,{\alpha }^{\prime }(0)=w$)에 대해, $d{h}_p(w)=\frac{d}{dt}(h\circ \alpha (t)){|}_{t=0}=\frac{d}{dt}(\alpha (t)\cdot v){|}_{t=0}={\alpha }^{\prime }(0)\cdot v=w\cdot v$ 이다.

따라서 점 $p$가 높이 함수 $h$의 임계점이라는 것은 모든 $w\in T_p(S)$에 대해 $d{h}_p(w)=w\cdot v=0$이라는 의미이다. 이는 정의상 고정된 벡터 $v$가 접평면 $T_p(S)$의 모든 벡터와 수직이라는 뜻이다.

결론적으로, 높이 함수 $h(p)=p\cdot v$의 임계점 $p$는 고정된 방향 $v$가 그 점에서의 곡면 $S$의 법선벡터(normal vector)가 되는 점 이라는 기하학적 의미를 갖는다.

제1기본형식, 넓이, 가향곡면(first fundamental form, area, orientation)

제1기본형식(First Fundamental Form)을 정의하고, 국소 좌표계에서 어떻게 표현되는지 설명하라. 또한, 이 형식이 갖는 기하학적 중요성은 무엇인가?

정의 : 정칙곡면 $S\subset R^3$ 위의 점 $p$에서의 제1기본형식 $I_p$는 접평면 $T_p(S)$ 위에 정의된 이차 형식(quadratic form)으로, $R^3$의 표준 내적을 $T_p(S)$에 제한하여 얻는다. 즉, $T_p(S)$의 접벡터 $w$에 대해 $I_p(w)=⟨w,w{⟩}_p=|w{|}^2$로 정의된다.

국소 좌표 표현 : 점 $p$ 근방의 매개변수화 $\mathbf{x}(u,v)$가 주어졌을 때, 접벡터 $w=u^{\prime }{\mathbf{x}}_u+v^{\prime }{\mathbf{x}}_v$에 대한 제1기본형식은 다음과 같이 표현된다. $I_p(w)=E(u^{\prime }{)}^2+2F{u}^{\prime }{v}^{\prime }+G(v^{\prime }{)}^2$ 여기서 계수 $E,F,G$는 다음과 같이 정의된다.

• $E=⟨{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_u⟩=|{\mathbf{x}}_u{|}^2$
• $F=⟨{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v⟩$
• $G=⟨{\mathbf{x}}_v,{\mathbf{x}}_v⟩=|{\mathbf{x}}_v{|}^2$

기하학적 중요성 : 제1기본형식은 곡면의 내재적 기하(intrinsic geometry) 를 결정하는 핵심 요소이다. 이것만으로 곡면을 벗어나지 않고도 곡선들의 길이, 두 곡선이 만나는 각도, 그리고 곡면 위의 영역의 넓이를 측정할 수 있다. 즉, 제1기본형식은 곡면 자체에 주어진 거리 측정 기준(metric) 역할을 하며, 곡면이 $R^3$에 어떻게 놓여 있는지와 무관하게 곡면의 기하학적 구조를 연구할 수 있게 해준다.

정칙곡면 위의 한 영역(region)의 넓이(area)는 어떻게 정의되는가? 이 정의가 매개변수화 방식에 의존하지 않고 유일하게 결정되는 이유는 무엇인가?

정의 : 정칙곡면 $S$ 위의 유계 영역 $R$이 매개변수화 $\mathbf{x}:U\subset R^2\to S$의 좌표 근방 내에 포함될 때, $R$의 넓이 $A(R)$은 다음과 같은 적분으로 정의된다. $A(R)={\iint }_Q|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|dudv={\iint }_Q\sqrt{EG-F^2}dudv$ 여기서 $Q={\mathbf{x}}^{-1}(R)$는 $uv$-평면 위의 $R$에 해당하는 영역이다. 피적분 함수 $|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|$는 접벡터 ${\mathbf{x}}_u$와 ${\mathbf{x}}_v$가 만드는 미소 평행사변형의 넓이로 해석할 수 있다.

유일성(Well-definedness) : 넓이의 정의가 매개변수화에 의존하지 않는 이유는 다변수 미적분학의 변수 변환 정리(change of variables theorem) 때문이다. 다른 매개변수화 $\bar{\mathbf{x}}(\bar{u},\bar{v})$를 생각해보자. 이때 두 좌표계 사이의 변환은 $(\bar{u},\bar{v})\to (u,v)$로 주어진다. 벡터곱의 변환 법칙에 의해 다음이 성립한다. $|{\mathbf{x}}_{\bar{u}}\wedge {\mathbf{x}}_{\bar{v}}|=|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|\left|\frac{\partial (u,v)}{\partial (\bar{u},\bar{v})}\right|$ 여기서 $\left|\frac{\partial (u,v)}{\partial (\bar{u},\bar{v})}\right|$는 좌표 변환의 야코비안 행렬식의 절댓값이다.

따라서 변수 변환 공식에 의해, ${\iint }_{\bar{Q}}|{\mathbf{x}}_{\bar{u}}\wedge {\mathbf{x}}_{\bar{v}}|d\bar{u}d\bar{v}={\iint }_Q|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|\left|\frac{\partial (u,v)}{\partial (\bar{u},\bar{v})}\right|\left|\frac{\partial (\bar{u},\bar{v})}{\partial (u,v)}\right|dudv={\iint }_Q|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|dudv$ 가 되어 적분 값은 변하지 않는다. 그러므로 넓이는 곡면의 고유한 양으로 잘 정의된다.

가향 곡면(orientable surface)의 두 가지 동치인 정의를 설명하고, 비가향 곡면(non-orientable surface)의 대표적인 예를 제시하라.

정칙곡면 $S$가 가향 곡면이라는 데에는 다음과 같은 두 가지 동치인 정의가 있다.

정의 1 (법선벡터장을 이용한 정의) : 곡면 $S$ 전체에 걸쳐 정의된, 미분 가능한 단위 법선벡터장 $N:S\to R^3$가 존재할 때 $S$를 가향 곡면 이라 한다. 이러한 법선벡터장의 선택을 $S$의 향(orientation) 이라고 한다. 기하학적으로 이는 곡면의 각 점에서 ‘앞면’과 ‘뒷면’을 일관되게 구분할 수 있음을 의미한다.

정의 2 (매개변수화를 이용한 정의) : 곡면 $S$를 완전히 덮는 좌표 근방들의 집합(family)이 존재하여, 임의의 두 좌표 근방의 교집합 영역에서 매개변수 변환(좌표 변환)의 야코비안 행렬식(Jacobian determinant)이 항상 양수($>0$)가 되도록 할 수 있을 때 $S$를 가향 곡면 이라 한다. 이는 각 접평면의 기저 $\{{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v\}$에 부여되는 방향성이 곡면 전체에 걸쳐 일관되게 선택될 수 있음을 뜻한다.

비가향 곡면의 예 : 대표적인 비가향 곡면은 뫼비우스의 띠(Möbius strip) 이다. 뫼비우스의 띠 위의 한 점에서 법선벡터를 잡고 띠의 중심선을 따라 한 바퀴 이동시키면, 처음 위치로 돌아왔을 때 법선벡터의 방향이 원래 방향과 반대가 된다. 이는 곡면 전체에 걸쳐 연속적인 단위 법선벡터장을 정의하는 것이 불가능함을 의미하므로, 뫼비우스의 띠는 비가향 곡면이다.

가우스 사상, 제2기본형식(Gauss map and second fundamental form)

가우스 사상(Gauss map)과 그 미분(differential)을 정의하고, 미분 $d{N}_p$가 갖는 기하학적 의미를 설명하라.

가우스 사상 $N$의 정의 : 향이 주어진 정칙곡면 $S$에 대하여, 가우스 사상 $N:S\to S^2$는 곡면 $S$ 위의 각 점 $p$를 그 점에서의 단위 법선벡터 $N(p)$에 대응시키는 사상이다. 여기서 $S^2$는 $R^3$ 안의 단위 구이다.

가우스 사상의 미분 $d{N}_p$의 정의 : 점 $p\in S$에서 가우스 사상의 미분 $d{N}_p$는 접평면 사이의 선형사상 $d{N}_p:T_p(S)\to T_{N(p)}(S^2)$이다. $T_p(S)$와 $T_{N(p)}(S^2)$는 평행한 평면이므로, $d{N}_p$는 $T_p(S)$ 위의 선형 변환(linear map)으로 간주할 수 있다. 구체적으로, $T_p(S)$의 접벡터 $w={\alpha }^{\prime }(0)$에 대하여, $d{N}_p(w)$는 곡선 $\alpha (t)$를 따라 법선벡터 $N(\alpha (t))$가 변하는 순간 변화율, 즉 $N^{\prime }(\alpha (0))$로 정의된다.

기하학적 의미 : $d{N}_p$는 점 $p$ 근방에서 곡면 $S$가 접평면 $T_p(S)$로부터 어떻게 벗어나는지를 측정한다. 즉, 점 $p$에서 접벡터 $w$ 방향으로 움직일 때, 법선벡터 $N$이 얼마나 빠르게 변하는지를 나타낸다. 이 변화율은 곡면의 ‘휘어짐’에 대한 완전한 정보를 담고 있으며, 이를 통해 곡면의 곡률을 이해할 수 있다. 평면의 경우 $N$이 상수이므로 $d{N}_p$는 영사상이 된다.

제2기본형식(Second Fundamental Form)을 정의하고, 이것이 곡면 위의 곡선들의 법곡률(normal curvature)과 어떤 관계가 있는지 설명하라.

제2기본형식 $I{I}_p$의 정의 : 점 $p\in S$에서의 제2기본형식 $I{I}_p$는 접평면 $T_p(S)$ 위에 정의된 이차 형식으로, 가우스 사상의 미분 $d{N}_p$를 이용하여 다음과 같이 정의된다. $I{I}_p(w)=-⟨d{N}_p(w),w⟩$ 여기서 $w$는 $T_p(S)$의 임의의 접벡터이다.

법곡률과의 관계 (뫼니에 정리, Meusnier’s Theorem) : 제2기본형식의 핵심적인 기하학적 의미는 법곡률과의 관계에 있다. 단위 접벡터 $w\in T_p(S)$에 대하여, $I{I}_p(w)$의 값은 점 $p$를 지나고 $w$를 접벡터로 갖는 곡면 위의 임의의 곡선 $C$의 법곡률 $k_n$과 같다.

여기서 법곡률 $k_n$ 은 곡선 $C$의 곡률벡터 $k\mathbf{n}$을 곡면의 법선벡터 $N$ 방향으로 정사영시킨 성분으로, $k_n=k\cos \theta =⟨k\mathbf{n},N⟩$로 정의된다.

뫼니에 정리에 따르면, 한 점에서 동일한 접선을 갖는 모든 곡선들은 동일한 법곡률을 갖는다. 따라서 제2기본형식은 각 방향별로 곡면이 얼마나 휘어 있는지를 나타내는 척도가 되며, 곡면의 외재적(extrinsic)인 휘어짐을 측정한다.

주곡률(principal curvatures)과 주방향(principal directions)을 정의하고, 이들이 기하학적으로 무엇을 의미하는지 설명하라.

정의 : 선형사상 $-d{N}_p:T_p(S)\to T_p(S)$는 자기수반(self-adjoint)이므로, 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)를 가진다.

• 주곡률 ($k_1,k_2$) : $-d{N}_p$의 두 고유값을 주곡률이라 한다. 관례적으로 $k_1\ge k_2$로 쓴다.
• 주방향 : 주곡률에 해당하는 고유벡터의 방향을 주방향이라 한다. 이 두 방향은 서로 직교한다.

기하학적 의미 :

• 주곡률 : 점 $p$에서 법곡률 $k_n$이 가질 수 있는 최댓값과 최솟값 이다. 즉, $k_1$은 모든 방향 중 곡면이 가장 심하게 휘는 정도를 나타내고, $k_2$는 가장 완만하게 휘는(혹은 반대 방향으로 가장 심하게 휘는) 정도를 나타낸다. 다른 모든 방향의 법곡률은 오일러 공식(Euler’s formula) $k_n(\theta )=k_1{\cos }^2\theta +k_2{\sin }^2\theta$에 의해 이 두 주곡률 사이의 값을 갖는다.

• 주방향 : 법곡률이 최댓값과 최솟값을 갖는 두 직교 방향 이다. 이 방향들은 점 $p$ 근방에서 곡면의 형태를 결정하는 가장 중요한 축 역할을 한다. 예를 들어, 타원면체(ellipsoid)의 한 점에서는 그 점을 지나는 경선(meridian)과 위선(parallel) 방향이 보통 주방향이 된다.

벡터장(vector field) 등거리변환(isometry)

정칙곡면 위의 미분 가능한 벡터장(differentiable vector field)과 그 벡터장의 경로(trajectory)를 정의하라.

정칙곡면 $S$의 열린 부분집합 $U$ 위의 벡터장 $w$는 각 점 $p\in U$에 접벡터 $w(p)\in T_p(S)$를 대응시키는 사상이다. 벡터장 $w$가 점 $p$에서 미분 가능 하다는 것은, $p$점 근방의 한 매개변수화 $\mathbf{x}(u,v)$에 대해 $w=a(u,v){\mathbf{x}}_u+b(u,v){\mathbf{x}}_v$로 표현했을 때, 성분 함수 $a(u,v)$와 $b(u,v)$가 미분 가능한 함수임을 의미한다.

벡터장 $w$의 경로(trajectory) 또는 적분 곡선(integral curve) 은 모든 $t\in I$에 대해 속도 벡터가 그 점에서의 벡터장 벡터와 일치하는 미분 가능한 곡선 $\alpha :I\to S$이다. 즉, 다음을 만족한다. ${\alpha }^{\prime }(t)=w(\alpha (t))$

곡면 위의 벡터장에 대한 경로의 존재성과 유일성 정리를 설명하라.

정리 : 정칙곡면 $S$의 열린 부분집합 $U$ 위에 정의된 미분 가능한 벡터장 $w$가 주어졌을 때, 임의의 점 $p\in U$에 대하여, 점 $p$를 지나는 $w$의 경로가 존재하며 유일하다.

• 존재성(Existence) : $p\in U$에 대해, $\alpha (0)=p$를 만족하는 $w$의 경로 $\alpha :I\to U$가 존재한다. ($I$는 $0$을 포함하는 열린 구간)
• 유일성(Uniqueness) : 만약 $\beta :J\to U$가 $\beta (0)=p$를 만족하는 또 다른 경로라면, 두 경로는 공통으로 정의된 구간 $I\cap J$에서 일치한다. 즉, $\alpha (t)=\beta (t)$ for $t\in I\cap J$ 이다.

이 정리는 곡면 위의 임의의 점에서 벡터장의 흐름을 따라 움직이는 경로가 국소적으로는 유일하게 결정됨을 보장하는 미분기하학의 기본적인 정리이다.

두 정칙곡면 사이의 등거리 변환(isometry)과 국소 등거리 변환(local isometry)을 정의하라.

등거리 변환 : 두 정칙곡면 $S$와 $\bar{S}$ 사이의 미분동형사상 $\varphi :S\to \bar{S}$가 모든 점 $p\in S$와 모든 접벡터 쌍 $w_1,w_2\in T_p(S)$에 대하여 내적을 보존할 때, 즉 다음을 만족할 때 등거리 변환 이라고 한다. $⟨w_1,w_2{⟩}_p=⟨d{\varphi }_p(w_1),d{\varphi }_p(w_2){⟩}_{\varphi (p)}$ 이는 사상 $\varphi$가 곡면 위의 곡선의 길이나 두 곡선이 만나는 각도와 같은 모든 거리 정보를 보존함을 의미한다.

국소 등거리 변환 : 점 $p\in S$에서의 사상 $\varphi$가 국소 등거리 변환 이라는 것은, $p$의 근방 $V\subset S$와 $\varphi (p)$의 근방 $\bar{V}\subset \bar{S}$가 존재하여, 제한된 사상 $\varphi :V\to \bar{V}$가 등거리 변환이 됨을 의미한다. 두 곡면이 국소적으로 등거리라는 것은, 각 점마다 등거리 변환인 근방을 찾을 수 있다는 뜻이다.

두 곡면이 국소적으로 등거리임을 판별하는 기준을 제시하고, 원기둥(cylinder)과 평면(plane)이 왜 국소적으로는 등거리이지만 전역적으로는 등거리가 아닌지 설명하라.

판별 기준 : 두 정칙곡면 $S$와 $\bar{S}$가 동일한 매개변수 영역 $U$를 갖는 매개변수화 $\mathbf{x}:U\to S$와 $\bar{\mathbf{x}}:U\to \bar{S}$를 가질 때, 만약 $U$의 모든 점에서 두 곡면의 제1기본형식의 계수들이 같다면, 즉 $E=\bar{E}$, $F=\bar{F}$, $G=\bar{G}$를 만족한다면, 사상 $\varphi =\bar{\mathbf{x}}\circ {\mathbf{x}}^{-1}$는 국소 등거리 변환이다.

원기둥과 평면의 예 :

• 국소 등거리 : 평면의 매개변수화 $\mathbf{x}(u,v)=(u,v,0)$와 원기둥의 매개변수화 $\bar{\mathbf{x}}(u,v)=(\cos u,\sin u,v)$를 생각하자. 두 경우 모두 제1기본형식의 계수는 $E=1,F=0,G=1$로 동일하다. 따라서 위 기준에 의해 평면과 원기둥은 국소적으로 등거리이다. 이는 원기둥을 잘라서 펼치면 평면이 되며, 이 과정에서 길이와 각도가 변하지 않는다는 직관과 일치한다.
• 비-전역 등거리 : 평면과 원기둥은 전역적으로 등거리가 아니다. 만약 전역적 등거리 변환이 존재한다면 두 곡면은 위상동형(homeomorphic)이어야 한다. 하지만 평면은 단일 연결(simply connected) 공간으로, 평면 위의 모든 닫힌 곡선은 한 점으로 연속적으로 축소될 수 있다. 반면, 원기둥을 한 바퀴 감는 닫힌 곡선(예: 원)은 원기둥을 벗어나지 않고는 한 점으로 축소될 수 없다. 이처럼 위상적 성질이 다르므로 두 곡면은 위상동형이 아니며, 따라서 전역적 등거리 변환도 존재할 수 없다.

공변미분, 평행 운송, 측지선(covariant derivative, parallel transport, geodesic)

곡면 위의 곡선을 따르는 벡터장의 공변 미분(covariant derivative)을 정의하고, 이를 바탕으로 평행 벡터장(parallel vector field)과 평행 운송(parallel transport)을 설명하라.

공변 미분 : 곡면 $S$ 위의 곡선 $\alpha (t)$를 따라 정의된 미분 가능한 벡터장 $w(t)$를 생각하자. $t$에 대한 $w(t)$의 통상적인 미분 벡터 $\frac{dw}{dt}$는 일반적으로 접평면 $T_{\alpha (t)}(S)$에 속하지 않는다. 이때 $\frac{dw}{dt}$를 $T_{\alpha (t)}(S)$에 정사영시킨 벡터를 $w(t)$의 공변 미분 이라 하고 $\frac{Dw}{dt}$로 표기한다. 이는 벡터장의 변화율 중 곡면에 내재적인(접평면 방향의) 성분만을 측정한 것이다.

평행 벡터장 : 곡선 $\alpha (t)$를 따르는 벡터장 $w(t)$가 평행 이라는 것은, 모든 $t$에 대해 공변 미분이 $0$인 경우를 말한다. 즉, $\frac{Dw}{dt}=0$이다. 기하학적으로 이는 $w(t)$의 변화 벡터 $\frac{dw}{dt}$가 항상 곡면의 법선벡터 방향임을 의미한다. 평행 벡터장은 곡선을 따라 이동할 때 그 길이와 다른 평행 벡터장과의 각도를 일정하게 유지한다.

** 평행 운송** : 곡선 $\alpha :I\to S$ 위의 한 점 $\alpha (t_0)$에서 주어진 접벡터 $w_0$에 대하여, $\alpha$를 따라가면서 평행인 벡터장 $w(t)$를 유일하게 결정할 수 있다 ($w(t_0)=w_0$ 조건 하에). 이때 다른 점 $\alpha (t_1)$에서의 벡터 $w(t_1)$을 $w_0$를 $\alpha$를 따라 $t_0$에서 $t_1$까지 평행 운송 한 벡터라고 한다.

측지선(geodesic)의 내재적 정의(intrinsic definition)를 설명하고, $R^3$에 놓인 곡면의 관점에서 동치인 외재적 특성(extrinsic characterization)은 무엇인지 말하라. 대표적인 예를 하나 제시하라.

내재적 정의 : 정칙곡선 $\gamma :I\to S$가 측지선 이라는 것은, 곡선의 접벡터장 ${\gamma }^{\prime }(t)$가 곡선 자신을 따라 평행인 것이다. 즉, 접벡터장의 공변 미분이 항상 $0$인 곡선이다. $\frac{D{\gamma }^{\prime }}{dt}=0$ 이 정의는 제1기본형식만으로 결정되므로 곡면의 내재적 속성이다. 측지선은 평면에서의 직선 개념을 곡면으로 일반화한 것이다.

외재적 특성 : 호장 $s$로 매개변수화된 곡선 $\gamma (s)$가 측지선일 필요충분조건은, 모든 점 $s$에서 곡선의 가속도 벡터 ${\gamma }^{\prime \prime }(s)$가 곡면에 수직인 것이다. 즉, ${\gamma }^{\prime \prime }(s)$가 점 $\gamma (s)$에서의 곡면의 법선벡터 $N$과 평행하다.

예시 : 구(sphere) 위의 대원(great circle) 은 측지선이다. 대원은 구의 중심을 지나는 평면과 구의 교선이다. 대원 위의 임의의 점에서 곡선의 주 법선벡터(principal normal vector)는 원의 중심, 즉 구의 중심을 향한다. 이는 구의 법선벡터 방향과 일치하므로, 가속도 벡터가 곡면에 수직이라는 외재적 특성을 만족한다. 따라서 대원은 측지선이다.

측지 곡률(geodesic curvature) $k_g$를 정의하고, 곡선의 곡률 $k$, 법곡률 $k_n$과 어떤 관계를 갖는지 설명하라. 측지 곡률이 $0$인 곡선은 무엇인가?

측지 곡률 $k_g$의 정의 : 향이 주어진 곡면 $S$ 위의 향이 주어진 정칙곡선 $C$에 대하여, 호장 $s$로 매개변수화된 곡선 $\alpha (s)$가 주어졌을 때, 점 $p=\alpha (s)$에서의 측지 곡률 $k_g$는 단위 접벡터장 ${\alpha }^{\prime }(s)$의 공변 미분의 ‘대수적 값(algebraic value)‘으로 정의된다. $k_g=\left[\frac{D{\alpha }^{\prime }}{ds}\right]$ 이는 접벡터장 ${\alpha }^{\prime }(s)$의 공변 미분 벡터의 크기로, 그 부호는 접평면의 방향에 따라 결정된다. 측지 곡률은 곡선이 곡면 내에서 얼마나 휘는지를 나타내는 내재적인 양이다.

곡률들과의 관계 : 한 점 $p$에서 곡선의 곡률 $k$, 법곡률 $k_n$, 측지 곡률 $k_g$ 사이에는 다음과 같은 피타고라스 정리와 유사한 관계가 성립한다. $k^2=k_g^2+k_n^2$ 이는 곡선의 전체적인 휨($k$)이 곡면 내에서의 휨($k_g$)과 곡면 바깥 방향으로의 휨($k_n$)으로 분해될 수 있음을 의미한다.

측지 곡률이 $0$인 곡선 : $k_g=0$인 곡선은 정의상 접벡터장의 공변 미분이 $0$인 곡선, 즉 측지선(geodesic) 이다. 따라서 측지선은 곡면 위에서 ‘가장 곧은’ 곡선으로 특징지을 수 있다.

주곡률, 가우스곡률(principal curvature, Gauss curvature)

가우스 곡률(Gaussian curvature) $K$와 평균 곡률(mean curvature) $H$를 주곡률 $k_1,k_2$를 이용하여 정의하라. 또한, 가우스 사상의 미분 $d{N}_p$의 행렬식(determinant) 및 대각합(trace)과의 관계를 설명하라.

정의 : 점 $p\in S$에서의 주곡률을 $k_1,k_2$라 할 때,

• 가우스 곡률 $K$ : 두 주곡률의 곱으로 정의된다. $K=k_1{k}_2$
• 평균 곡률 $H$ : 두 주곡률의 산술 평균으로 정의된다. $H=\frac{k_1+k_2}{2}$

$d{N}_p$와의 관계 : 가우스 사상 $N$의 점 $p$에서의 미분 $d{N}_p:T_p(S)\to T_p(S)$는 선형 변환이다. 이 변환의 행렬식과 대각합은 기저 선택에 무관한 불변량이며, 주곡률은 $-d{N}_p$의 고유값(eigenvalue)이다. 따라서 다음 관계가 성립한다.

• 가우스 곡률 : $K$는 $d{N}_p$의 행렬식과 같다. $K=\det (d{N}_p)$
• 평균 곡률 : $H$는 $-d{N}_p$의 대각합의 절반과 같다. $H=-\frac{1}{2}\text{tr}(d{N}_p)$

이 관계식들은 주곡률을 직접 계산하지 않고도 $d{N}_p$로부터 $K$와 $H$를 구할 수 있음을 보여준다.

가우스 곡률 $K$의 부호에 따라 곡면 위의 점들을 어떻게 분류하는가? 각 경우에 점 근방에서 곡면의 국소적인 형태가 어떻게 생겼는지 설명하라.

곡면 위의 점은 가우스 곡률 $K$의 부호에 따라 다음과 같이 네 가지로 분류된다.

1. 타원점 (Elliptic point, $K>0$) : 두 주곡률 $k_1,k_2$가 같은 부호를 갖는다. 이 점 근방에서 곡면은 접평면을 기준으로 한쪽에만 놓여 있으며, 마치 사발(bowl)과 같은 모양을 가진다. 구(sphere) 위의 모든 점이 대표적인 예이다.

2. 쌍곡점 (Hyperbolic point, $K<0$) : 두 주곡률 $k_1,k_2$가 서로 다른 부호를 갖는다. 이 점 근방에서 곡면은 접평면을 가로지르며, 말안장(saddle)과 같은 모양을 가진다. 쌍곡 포물면(hyperbolic paraboloid)의 원점이 대표적인 예이다.

3. 포물점 (Parabolic point, $K=0$ 이고 $d{N}_p\ne 0$) : 두 주곡률 중 하나만 $0$이다. 이 점 근방에서 곡면은 한 주방향으로는 휘어있지만, 그와 직교하는 주방향(점근 방향)으로는 평평하다. 원기둥(cylinder) 위의 모든 점이 대표적인 예이다.

4. 평탄점 (Planar point, $K=0$ 이고 $d{N}_p=0$) : 두 주곡률이 모두 $0$이다. 이 점 근방에서 곡면은 접평면과 매우 유사하다. 평면 위의 모든 점이 자명한 예이다.

가우스의 위대한 정리(Theorema Egregium)를 서술하고, 이 정리가 미분기하학에서 갖는 중요성을 설명하라.

가우스의 위대한 정리 : 곡면의 가우스 곡률 $K$는 곡면의 내재적 성질이다. 즉, 가우스 곡률은 제1기본형식의 계수 $E,F,G$와 그들의 편도함수만으로 결정된다.

1. 내재적 기하의 탄생 : 가우스 곡률 $K$는 제2기본형식, 즉 곡면이 $R^3$에 어떻게 놓여있는지에 대한 외재적 정보로부터 정의되었다. 하지만 이 정리는 $K$를 계산하기 위해 곡면 바깥의 정보가 필요 없으며, 오직 곡면 위에서 길이와 각도를 측정하는 능력(즉, 제1기본형식)만으로 $K$를 결정할 수 있음을 보여주었다. 이로써 곡면 자체의 기하학인 내재적 기하(intrinsic geometry) 라는 새로운 분야가 탄생했다.

2. 등거리 불변량 : 만약 두 곡면이 등거리 변환(isometry) 관계에 있다면, 즉 제1기본형식이 같다면, 대응하는 점들에서의 가우스 곡률도 반드시 같아야 한다. 예를 들어, 평면($K=0$)과 원기둥($K=0$)은 국소적으로 등거리 변환이 가능하지만, 평면과 구($K>0$)는 국소적으로도 등거리 변환이 불가능하다. 이는 가우스 곡률이 등거리 변환에 대한 핵심적인 불변량임을 의미한다.

3. 개념의 확장 : 이 정리는 곡면의 개념을 $R^3$를 벗어나 추상적인 리만 다양체(Riemannian manifold)로 확장하는 계기가 되었다. 곡률을 내재적으로 정의할 수 있게 됨으로써, 굳이 주변 공간(ambient space) 없이도 기하학을 전개할 수 있게 된 것이다.

가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet theorem)

국소 가우스-보네 정리(Local Gauss-Bonnet Theorem)를 서술하고, 정리의 각 항이 의미하는 바를 설명하라.

정리 : 향이 주어진 정칙곡면 $S$ 위의 단순 영역(simple region) $R$의 경계 $\partial R$이 양의 방향을 갖는 조각별 정칙 곡선이라고 하자. 이 곡선의 꼭짓점들을 $\alpha (s_0),...,\alpha (s_k)$라 하고, 해당 꼭짓점에서의 외각(external angle)을 ${\theta }_0,...,{\theta }_k$라 할 때, 다음 등식이 성립한다. ${\sum }_{i=0}^k{\int }_{s_i}^{s_{i+1}}{k}_g(s)ds+{\iint }_{R}Kd\sigma +{\sum }_{i=0}^k{\theta }_i=2\pi$

각 항의 의미 :

• ${\int }_{\partial R}{k}_g(s)ds$: 경계 곡선 $\partial R$을 따라 측지 곡률 $k_g$ 를 선적분한 값이다. 이는 경계 곡선이 곡면 위에서 내재적으로 얼마나 휘었는지를 총합한 양이다.
• ${\iint }_{R}Kd\sigma$: 영역 $R$ 위에서 가우스 곡률 $K$ 를 면적분한 값이다. 이는 영역 $R$ 자체가 가진 내재적인 곡률의 총합, 즉 ‘총 곡률’을 의미한다.
• $\sum {\theta }_i$: 경계 곡선의 각 꼭짓점(vertex)에서 접벡터의 불연속적인 변화를 나타내는 외각들의 합 이다.

이 정리는 한 영역의 기하학적 양들(경계의 휨, 내부의 휨, 꼭짓점에서의 꺾임)의 합이 그 영역의 위상적 특성(단순 영역이므로 $2\pi$)과 같다는 놀라운 관계를 보여준다.

측지 삼각형(geodesic triangle)에 대해 가우스-보네 정리가 어떻게 표현되는지 설명하고, 이를 통해 곡면의 가우스 곡률 $K$의 부호가 삼각형 내각의 합에 미치는 영향을 설명하라.

측지 삼각형 은 세 변이 모두 측지선(geodesic)으로 이루어진 삼각형이다. 측지선의 정의는 측지 곡률 $k_g$가 모든 점에서 $0$인 곡선이다. 따라서 측지 삼각형의 경계를 따라 $k_g$를 적분한 값은 $0$이 된다.

국소 가우스-보네 정리를 내각(interior angle) ${\varphi }_i=\pi -{\theta }_i$를 이용하여 다시 쓰면 다음과 같다. ${\iint }_{T}Kd\sigma =2\pi -{\sum }_{i=1}^3(\pi -{\varphi }_i)={\sum }_{i=1}^3{\varphi }_i-\pi$

즉, 측지 삼각형의 내각의 합과 $\pi$의 차이(초과각, excess)는 삼각형 내부의 총 곡률과 같다.

이 관계식으로부터 가우스 곡률 $K$의 부호가 내각의 합 $\sum {\varphi }_i$에 미치는 영향은 다음과 같다.

• $K>0$ (양의 곡률) : 총 곡률이 양수이므로, 내각의 합은 $\pi$보다 크다. (예: 구 위의 삼각형)
• $K<0$ (음의 곡률) : 총 곡률이 음수이므로, 내각의 합은 $\pi$보다 작다. (예: 쌍곡면 위의 삼각형)
• $K=0$ (영 곡률) : 총 곡률이 $0$이므로, 내각의 합은 정확히 $\pi$와 같다. (예: 평면 위의 삼각형)

경계가 없는 콤팩트 곡면(compact surface without boundary)에 대한 전역 가우스-보네 정리(Global Gauss-Bonnet Theorem)를 서술하고, 이 정리가 어떻게 곡면의 기하(Geometry)와 위상(Topology)을 연결하는지 설명하라.

정리 : $S$를 향을 줄 수 있는 콤팩트 정칙곡면이라 하자. 이때 다음 등식이 성립한다. ${\iint }_{S}Kd\sigma =2\pi \chi (S)$

기하와 위상의 연결 : 이 정리는 미분기하학에서 가장 심오한 결과 중 하나로, 곡면의 두 가지 근본적인 속성인 기하와 위상을 연결한다.

• 기하 (좌변) : 좌변의 ${\iint }_{S}Kd\sigma$는 곡면 전체에 대한 가우스 곡률의 총합 으로, 곡면이 각 점에서 어떻게 휘어있는지에 대한 국소적인 기하 정보를 모두 더한 양이다. 이는 곡면의 ‘기하학적’ 속성이다.

• 위상 (우변) : 우변의 $\chi (S)$는 오일러-푸앵카레 특성수(Euler-Poincaré characteristic) 로, 곡면의 구멍(hole) 또는 손잡이(handle)의 개수에 의해 결정되는 정수이다. 이는 곡면을 연속적으로 변형시켜도 변하지 않는 ‘위상적’ 불변량이다. 예를 들어, 구는 $\chi (S)=2$이고, 토러스(torus)는 $\chi (S)=0$이다.

정리의 의미 : 이 정리는 곡면의 모양을 어떻게 변형시키더라도 (찢거나 붙이지 않는 한) 위상적 구조가 변하지 않기 때문에, 가우스 곡률의 총합은 항상 일정해야 함을 의미한다. 예를 들어, 울퉁불퉁한 모양의 구라도 그 표면의 총 곡률은 완벽한 구의 총 곡률인 $4\pi$와 항상 같다. 이처럼 국소적인 기하 정보의 총합이 전역적인 위상 구조에 의해 결정된다는 사실이 이 정리의 핵심적인 중요성이다.

추가 문제

회전면(surface of revolution)의 일반적인 매개변수화를 제시하고, 회전면에 놓인 위선(parallel)이 측지선(geodesic)이 될 필요충분조건을 기하학적으로 설명하라.

$xz$-평면 위의 생성 곡선(generating curve)이 $x=f(v),z=g(v),f(v)>0$으로 주어졌을 때, 이 곡선을 $z$축을 중심으로 회전시킨 회전면의 일반적인 매개변수화는 다음과 같다. $\mathbf{x}(u,v)=(f(v)\cos u,f(v)\sin u,g(v))$ 여기서 $u$는 회전각, $v$는 생성 곡선의 매개변수이다.

회전면 위의 위선(parallel, $v=$상수)이 측지선이 될 필요충분조건 은 그 위선을 생성하는 점에서의 생성 곡선의 접선이 회전축($z$축)과 평행 한 것이다. 즉, $f^{\prime }(v)=0$인 것이다.

기하학적 설명 : 곡선이 측지선일 외재적 조건은 곡선의 가속도 벡터(주 법선벡터 방향)가 곡면의 법선벡터와 평행한 것이다.

1. 위선은 $xy$-평면에 평행한 원이므로, 그 주 법선벡터는 항상 회전축과 평행한 방향, 즉 원의 중심을 향한다.
2. 회전면의 법선벡터는 생성 곡선의 법선벡터를 회전시켜 얻어진다. 따라서 회전면의 법선벡터가 회전축과 평행하려면, 생성 곡선의 법선벡터가 회전축에 수직이어야 한다. 이는 생성 곡선의 접선이 회전축과 평행함을 의미한다.

결국, 위선의 주 법선벡터와 곡면의 법선벡터가 모두 회전축과 평행할 때 두 벡터는 평행하게 되며, 이 조건은 생성 곡선의 접선이 회전축과 평행할 때 만족된다.

배꼽점(umbilical point)을 정의하고, 연결된(connected) 곡면의 모든 점이 배꼽점일 경우 그 곡면은 어떤 형태를 갖게 되는지 관련 정리를 설명하라.

배꼽점의 정의 : 곡면 위의 한 점 $p$에서 두 주곡률이 같은 경우($k_1=k_2$), 그 점을 배꼽점이라고 한다. 특히, 두 주곡률이 모두 $0$인 평탄점(planar point)도 배꼽점에 포함된다.

정리 : 연결된 정칙곡면 $S$의 모든 점이 배꼽점이라면, $S$는 평면의 일부이거나 구면의 일부 이다.

1. 곡면의 모든 점이 배꼽점이므로, 임의의 점 $p$에서 법곡률은 방향에 관계없이 $k_n(p)=k_1(p)=k_2(p)$로 일정하다. 이 값을 $\lambda (p)$라 하자. 그러면 가우스 사상의 미분은 $d{N}_p(w)=-\lambda (p)w$가 된다.
2. $p$의 근방에서 $\lambda$가 상수임을 보일 수 있다. $Nu=-\lambda {\mathbf{x}}_u,N_v=-\lambda {\mathbf{x}}_v$를 미분하여 $(N_u{)}_v=(N_v{)}_u$ 조건을 이용하면 ${\lambda }_v{\mathbf{x}}_u-{\lambda }_u{\mathbf{x}}_v=0$을 얻고, ${\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v$는 선형 독립이므로 ${\lambda }_u={\lambda }_v=0$이다. 곡면이 연결되어 있으므로 $\lambda$는 곡면 전체에서 상수이다.
3. 경우 1 ($\lambda =0$) : $d{N}_p$가 영사상이므로 법선벡터 $N$이 상수이다. 이는 곡면이 $N$에 수직인 평면의 일부임을 의미한다.
4. 경우 2 ($\lambda \ne 0$) : 점 $p_0(s)=\alpha (s)+\frac{1}{\lambda }N(s)$를 고려하면 $p_0$는 상수 벡터임을 보일 수 있다. $|\alpha (s)-p_0{|}^2=(1/\lambda {)}^2$이므로, 곡면은 중심이 $p_0$이고 반지름이 $1/|\lambda |$인 구면의 일부가 된다.

펼칠 수 있는 면(developable surface)을 정의하고, 정칙점(regular point)에서 가우스 곡률이 항상 $0$임을 보여라.

정의 : 직선들의 일변수족(one-parameter family of lines) $\{\alpha (t),w(t)\}$에 의해 생성된 선직면(ruled surface) $\mathbf{x}(t,v)=\alpha (t)+vw(t)$가 모든 $t$에 대하여 세 벡터 ${\alpha }^{\prime }(t)$, $w(t)$, $w^{\prime }(t)$가 동일 평면 위에 있을 때, 즉 스칼라 삼중적 $({\alpha }^{\prime }(t)\wedge w(t))\cdot w^{\prime }(t)=0$을 만족할 때, 이 곡면을 펼칠 수 있는 면 이라고 한다.

가우스 곡률 증명 : 선직면의 제2기본형식의 계수 $e,f,g$를 계산하면, $g=⟨N,{\mathbf{x}}_{vv}⟩=⟨N,0⟩=0$ 이다. 또한, $f=⟨N,{\mathbf{x}}_{tv}⟩=⟨N,w^{\prime }(t)⟩$ 이다. $N=\frac{{\mathbf{x}}_t\wedge {\mathbf{x}}_v}{|{\mathbf{x}}_t\wedge {\mathbf{x}}_v|}=\frac{({\alpha }^{\prime }+v{w}^{\prime })\wedge w}{|{\mathbf{x}}_t\wedge {\mathbf{x}}_v|}=\frac{{\alpha }^{\prime }\wedge w}{|{\mathbf{x}}_t\wedge {\mathbf{x}}_v|}$ 이다.

따라서 $f$는 다음과 같이 표현된다. $f=\frac{({\alpha }^{\prime }\wedge w)\cdot w^{\prime }}{|{\mathbf{x}}_t\wedge {\mathbf{x}}_v|}$

펼칠 수 있는 면의 조건은 $({\alpha }^{\prime }\wedge w)\cdot w^{\prime }=0$ 이므로, 이 조건은 $f=0$과 동치이다.

가우스 곡률 $K$의 공식은 $K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}$ 이다. 펼칠 수 있는 면의 정칙점에서는 $g=0$이고 $f=0$이므로, 분자가 $0$이 된다.

따라서, $K=\frac{e\cdot 0-0^2}{EG-F^2}=0$ 이다. 이는 펼칠 수 있는 면이 국소적으로 평면과 등거리 변환이 가능함을 의미하며, 직관적으로 종이를 구기거나 찢지 않고 만들 수 있는 곡면(원기둥, 원뿔 등)들의 가우스 곡률이 $0$이라는 사실과 일치한다.

극소곡면(minimal surface)을 평균 곡률 $H$를 이용하여 정의하고, '극소'라는 이름이 붙여진 이유를 넓이(area)의 변분(variation)과 관련하여 설명하라.

정의 : 정칙곡면 $S$가 극소곡면 이라는 것은, 곡면의 모든 점에서 평균 곡률 $H$가 항등적으로 $0$ 인 경우를 말한다. 즉, $H\equiv 0$ 이다.

‘극소’ 명칭의 이유 : 극소곡면이라는 이름은 이 곡면이 국소적으로 넓이를 ‘극소화’하려는 경향이 있기 때문이다. 더 정확히 말하면, 극소곡면 위의 경계가 고정된 임의의 작은 영역은 그 넓이의 1차 변분(first variation)이 $0$ 이 된다.

곡면의 한 조각을 법선 방향으로 미소하게 변형시키는 정규 변분(normal variation)을 생각했을 때, 그 영역의 넓이 함수 $A(t)$의 $t=0$에서의 1차 미분 $A^{\prime }(0)$은 다음과 같이 주어진다. $A^{\prime }(0)=-2{\iint }_{R}hH\sqrt{EG-F^2}dudv$ 여기서 $h$는 변형의 크기를 나타내는 함수이고 $H$는 평균 곡률이다.

만약 곡면이 극소곡면이어서 $H\equiv 0$이라면, 경계를 고정하는 모든 변분에 대해 $A^{\prime }(0)=0$이 된다. 이는 극소곡면이 넓이라는 범함수(functional)의 임계점(critical point) 임을 의미한다. 비눗방울 막이 경계가 주어졌을 때 표면장력을 최소화하기 위해 극소곡면을 형성하는 것이 바로 이러한 원리 때문이다. (단, 임계점이 항상 극솟값은 아니므로 실제로는 안장점일 수도 있다.)

민딩의 정리(Minding's theorem)를 서술하고, 이 정리가 어떻게 상수 곡률을 갖는 곡면들의 국소적 형태를 규정하는지 설명하라.

민딩의 정리 : 동일한 상수 가우스 곡률 $K$를 갖는 두 정칙곡면은 국소적으로 등거리 변환이 가능하다(locally isometric).

정리의 의미와 곡면 형태 규정 : 이 정리는 곡면의 국소적인 내재적 기하(길이, 각도 등)는 오직 상수 가우스 곡률 $K$의 값에 의해서만 결정 됨을 의미한다. 즉, 국소적으로 볼 때, 상수 곡률을 갖는 곡면의 종류는 본질적으로 세 가지뿐이다.

1. $K=0$ : 모든 점근방이 평면(Euclidean plane)의 일부와 등거리이다. 원기둥, 원뿔 등이 여기에 속한다.
2. $K=1/R^2>0$ : 모든 점근방이 반지름 $R$인 구면(sphere)의 일부와 등거리이다.
3. $K<0$ : 모든 점근방이 상수 음곡률을 갖는 쌍곡 평면(hyperbolic plane)의 일부와 등거리이다.

이처럼 민딩의 정리는 상수 곡률이라는 강력한 조건 하에서 곡면의 국소적 형태가 완벽하게 표준 모델(평면, 구면, 쌍곡평면) 중 하나로 결정된다는 것을 보여주는 중요한 정리이다. 이는 마치 2차원 공간의 기하학이 유클리드, 구면, 쌍곡 기하학의 세 가지로 나뉘는 것과 유사하다.

회전면 위의 측지선에 대한 클레로의 관계(Clairaut's relation)를 서술하고, 이를 이용하여 측지선이 위선(parallel)에 접할 때 어떤 현상이 일어나는지 설명하라.

클레로의 관계 : 회전면 위의 임의의 측지선 $\gamma$를 따라, 다음의 양은 항상 일정하다. $r\cos \theta =\text{상수}$ 여기서 $r$은 측지선 위의 한 점을 지나는 위선(parallel)의 반지름이고, $\theta$는 그 점에서 측지선과 위선이 이루는 각도이다.

측지선이 위선에 접할 때 : 측지선이 어떤 위선 $P$에 접한다는 것은, 접점에서 각도 $\theta =0$임을 의미한다. 이때 $\cos \theta =1$이므로, 클레로의 관계에 의해 그 위선의 반지름 $r$은 측지선을 따라 도달할 수 있는 최소 반지름 이 된다.

$r_{min}\cdot \cos (0)=r_{min}=\text{상수}$

측지선이 이 위선을 넘어 더 작은 반지름의 영역으로 들어갈 수 없다. 만약 들어간다면, 그 점에서의 반지름 $r_{new}$는 $r_{min}$보다 작아지므로 $r_{new}\cos {\theta }_{new}=r_{min}$을 만족시키기 위해서는 $\cos {\theta }_{new}>1$이 되어야 하는데, 이는 불가능하다.

따라서, 측지선은 반지름이 가장 작은 위선에 접한 후, 다시 반지름이 더 큰 영역으로 “튕겨나가게” 된다. 즉, 이 위선은 측지선이 통과할 수 없는 경계선 역할을 한다.

완비 곡면(complete surface)을 정의하고, 호프-리노프 정리(Hopf-Rinow Theorem)를 서술하라. 이 정리가 대역적 미분기하학에서 왜 중요한가?

완비 곡면의 정의 : 정칙곡면 $S$가 완비 곡면 이라는 것은, $S$ 위의 임의의 점 $p$에서 시작하는 모든 측지선 $\gamma :[0,ϵ)\to S$가 모든 실수 값을 매개변수로 갖도록, 즉 $\bar{\gamma }:R\to S$로 확장될 수 있음을 의미한다. 직관적으로 이는 측지선을 따라 계속 진행해도 곡면의 ‘가장자리’나 ‘구멍’에 부딪혀 갑자기 멈추는 일이 없다는 뜻이다.

호프-리노프 정리 : 정칙곡면 $S$에 대하여 다음 세 명제는 동치이다.

1. $S$는 완비 곡면이다.

2. $S$는 내재적 거리(intrinsic distance) $d$에 대하여 완비 거리 공간이다.

3. $S$ 위의 임의의 두 점 $p,q$는 그 두 점을 잇는 최단 측지선(minimal geodesic)으로 연결될 수 있다.

• 최단 경로의 존재 보장 : 완비성이라는 해석학적 조건과 두 점을 잇는 최단 경로(측지선)의 존재라는 기하학적 조건이 동치임을 보여준다. 이 덕분에 완비 곡면 위에서는 임의의 두 점 사이의 ‘직선’과 같은 역할을 하는 최단 측지선을 항상 생각할 수 있다.
• 대역적 논의의 장 : 많은 대역적 정리들은 “두 점을 잇는 측지선”의 존재를 가정하고 논리를 전개한다. 호프-리노프 정리는 ‘완비성’이라는 조건 하에 이러한 논의가 가능함을 보장해주는 근본적인 정리이다.

구면의 강성(rigidity of the sphere)에 관한 정리를 서술하고, 그 증명의 핵심 아이디어를 간략히 설명하라.

정리 : 콤팩트(compact)이고 연결된(connected) 정칙곡면 $S$의 가우스 곡률 $K$가 양의 상수($K>0$)이면, $S$는 반드시 구면이다.

1. $S$는 콤팩트하므로, 연속 함수인 주곡률 $k_1$은 $S$ 위에서 반드시 최댓값을 갖는다. 그 점을 $p$라 하자 ($k_1\ge k_2$로 가정).
2. 가우스 곡률 $K=k_1{k}_2$가 양의 상수이므로, $k_2=K/k_1$이다. 따라서 $k_1$이 최댓값을 갖는 점 $p$에서 $k_2$는 최솟값을 갖는다.
3. 힐베르트의 보조정리(Hilbert’s Lemma) 에 따르면, $K>0$인 곡면 위의 한 점이 $k_1$의 극댓점이자 $k_2$의 극솟점이라면, 그 점은 반드시 배꼽점(umbilical point)이어야 한다. 따라서 $p$는 배꼽점이고 $k_1(p)=k_2(p)$이다.
4. $k_1$의 최댓값과 $k_2$의 최솟값이 같으므로, $S$ 위의 모든 점에서 $k_1$과 $k_2$는 동일한 상숫값을 갖는다. 이는 $S$의 모든 점이 배꼽점임을 의미한다.
5. 모든 점이 배꼽점인 연결된 곡면은 평면의 일부이거나 구면의 일부여야 한다. $K>0$이므로 $S$는 구면의 일부이다.
6. $S$는 콤팩트(닫혀 있고 유계)하므로, 열려 있으면서 닫힌 부분집합은 전체 집합과 같아야 한다. 따라서 $S$는 구면 전체와 같다.

완비이고 단일 연결된(simply connected) 곡면에 대한 아다마르의 정리를 서술하고, 이 정리가 지수 사상(exponential map)에 대해 무엇을 함의하는지 설명하라.

아다마르 정리 : $S$가 완비이고 단일 연결된 정칙곡면이며, 모든 점에서 가우스 곡률 $K\le 0$을 만족한다고 하자. 그러면 $S$는 평면과 미분동형(diffeomorphic)이다.

지수 사상에 대한 함의 : 이 정리는 점 $p\in S$에서의 지수 사상 ${\text{exp}}_p:T_p(S)\to S$가 전역적인 미분동형사상(global diffeomorphism) 임을 의미한다.

• $K\le 0$이므로 $S$는 공액점(conjugate point)을 갖지 않는다. 따라서 지수 사상 ${\text{exp}}_p$는 모든 점에서 미분이 특이(singular)하지 않은 국소 미분동형사상(local diffeomorphism)이다.
• $S$가 완비이므로 ${\text{exp}}_p$는 전사(surjective)인 덮개 사상(covering map)이 된다.
• $S$가 단일 연결(simply connected)이므로, 덮개 사상인 ${\text{exp}}_p$는 위상동형사상(homeomorphism)이어야 한다.

결론적으로 ${\text{exp}}_p$는 국소 미분동형사상이면서 전역적으로 위상동형사상이므로, 전역적인 미분동형사상이 된다. 이는 $K\le 0$인 완비, 단일 연결 곡면은 마치 평면처럼, 한 점에서 뻗어나가는 모든 측지선들이 서로 다시 만나거나 교차하지 않고 곡면 전체를 유일하게 뒤덮는다는 강력한 기하학적 구조를 가짐을 보여준다.

측지선 $\gamma (s)$를 따라 정의된 야코비 장(Jacobi field)을 정의하고, 공액점(conjugate point)의 개념을 야코비 장과 지수 사상(exponential map)을 이용하여 두 가지 방식으로 설명하라.

야코비 장의 정의 : 측지선 $\gamma$의 변분(variation) $h(s,t)$가 모든 $t$에 대해 측지선이 되도록 잡았을 때, 즉 ‘측지선들의 족(family of geodesics)‘을 생각했을 때의 변분 벡터장 $J(s)=\frac{\partial h}{\partial t}{|}_{t=0}$을 야코비 장 이라고 한다. 야코비 장은 다음의 야코비 방정식(Jacobi equation)을 만족한다. $\frac{D^{2}J}{d{s}^2}+K(s)({\gamma }^{\prime }(s)\wedge J(s))\wedge {\gamma }^{\prime }(s)=0$ 직관적으로 야코비 장은 측지선 $\gamma$ 근방에 있는 다른 측지선들이 $\gamma$로부터 얼마나 벌어지는지를 측정하는 ‘편차 벡터장’이다.

공액점의 정의 : 점 $p=\gamma (0)$에 대한 점 $q=\gamma (s_0)$ ($s_0\ne 0$)가 공액점 이라는 데에는 다음과 같은 두 가지 동치인 정의가 있다.

1. 야코비 장을 이용한 정의 : $J(0)=0$이고 $J(s_0)=0$을 만족하는, 항등적으로 $0$이 아닌 야코비 장 $J(s)$가 존재할 때, $\gamma (s_0)$는 $\gamma (0)$의 공액점이다. 이는 $p$에서 출발한 측지선들의 족이 점 $q$에서 다시 모이는(infinitesimally) 현상을 나타낸다.

2. 지수 사상을 이용한 정의 : 벡터 $v=s_0{\gamma }^{\prime }(0)\in T_p(S)$가 지수 사상 ${\text{exp}}_p:T_p(S)\to S$의 임계점(critical point)일 때, $\gamma (s_0)={\text{exp}}_p(v)$는 $\gamma (0)$의 공액점이다. 즉, 지수 사상의 미분 $d({\text{exp}}_p{)}_v$가 비가역(singular)이 되는 점이다.

힐베르트의 정리(Hilbert's Theorem)를 서술하고, 이 정리가 $R^3$ 안의 정칙곡면에 대한 내재적 기하(intrinsic geometry)와 외재적 기하(extrinsic geometry)의 관계에 있어 왜 중요한지 설명하라.

힐베르트의 정리 : $R^3$ 안에는 상수 음의 가우스 곡률을 갖는 완비 정칙곡면(complete regular surface)이 존재하지 않는다.

중요성 : 이 정리는 내재적 기하와 외재적 기하 사이에 근본적인 제약이 있음을 보여주는 매우 중요한 결과이다.

1. 내재적 기하의 독립성 : 추상적인 기하 곡면으로서, 상수 음곡률을 갖는 완비 곡면(쌍곡 평면, hyperbolic plane)은 수학적으로 완벽하게 존재한다. 이 곡면은 내재적으로 아무런 모순이 없는 기하학적 공간이다.

2. 외재적 구현의 한계 : 그러나 힐베르트의 정리는 이렇게 내재적으로 완벽한 기하 공간을 $R^3$라는 외재적 공간 안에 정칙곡면으로서 전체를 (isometrically immerse) 구현하는 것이 불가능함을 보여준다. 즉, 쌍곡 평면을 종이처럼 접거나 구부려서 $R^3$ 안에 집어넣을 수는 있지만, 특이점(singularity) 없이 매끄러운 완비 곡면의 형태로 집어넣을 수는 없다는 것이다. (유사 구면(pseudosphere)이 상수 음곡률을 갖지만 완비가 아닌 이유가 여기에 있다.)

결론적으로, 이 정리는 “모든 내재적 기하가 $R^3$ 안에서 외재적으로 실현될 수 있는 것은 아니다” 라는 사실을 명확히 함으로써, 추상적인 리만 다양체(Riemannian manifold)의 개념이 왜 필요한지를 극명하게 보여준다. 이는 곡면의 기하학을 $R^3$라는 틀에서 벗어나 더 넓은 관점에서 보도록 하는 결정적인 계기가 되었다.

크리스토펠 기호( ${\Gamma }_{ij}^k$)를 정의하고, 이 기호가 왜 곡면의 내재적 기하(intrinsic geometry)에 속하는 양인지 설명하라.

정의 : 크리스토펠 기호는 매개변수화 $\mathbf{x}(u,v)$의 2계 편도함수 벡터(${\mathbf{x}}_{uu},{\mathbf{x}}_{uv},{\mathbf{x}}_{vv}$)를 접평면의 기저 $\{{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v\}$와 법선벡터 $N$으로 분해했을 때, 접평면 성분의 계수를 나타내는 기호이다. 예를 들어, ${\mathbf{x}}_{uu}$는 다음과 같이 분해된다. ${\mathbf{x}}_{uu}={\Gamma }_{11}^1{\mathbf{x}}_u+{\Gamma }_{11}^2{\mathbf{x}}_v+eN$ 여기서 ${\Gamma }_{11}^1$과 ${\Gamma }_{11}^2$가 크리스토펠 기호에 해당한다.

내재적 기하에 속하는 이유 : 크리스토펠 기호는 그 정의가 외재적인 법선벡터 $N$을 포함하는 것처럼 보이지만, 실제로는 제1기본형식의 계수 $E,F,G$와 그들의 편도함수만으로 계산될 수 있다. 예를 들어, ${\mathbf{x}}_{uu}\cdot {\mathbf{x}}_u={\Gamma }_{11}^{1}E+{\Gamma }_{11}^{2}F$ 이고, 동시에 ${\mathbf{x}}_{uu}\cdot {\mathbf{x}}_u=\frac{1}{2}{E}_u$ 이다. 이와 같은 관계식들을 연립하면 모든 크리스토펠 기호 ${\Gamma }_{ij}^k$를 $E,F,G$와 그 도함수들로만 표현할 수 있다.

따라서 크리스토펠 기호는 곡면이 $R^3$에 어떻게 놓여있는지에 대한 정보(외재적 정보) 없이, 오직 곡면 위에서 측정 가능한 거리와 각도(내재적 정보)만으로 결정된다. 이 때문에 크리스토펠 기호는 곡면의 내재적 기하 에 속하는 핵심적인 양이다.

공변 미분(covariant derivative)의 계산에서 크리스토펠 기호는 어떤 역할을 하는가? 평면의 경우 크리스토펠 기호는 어떤 값을 가지며, 이는 공변 미분에 어떤 의미를 부여하는가?

역할 : 크리스토펠 기호는 공변 미분을 국소 좌표계에서 구체적으로 계산하는 데 필수적인 역할을 한다. 곡선 $\alpha (t)=\mathbf{x}(u(t),v(t))$를 따르는 벡터장 $w(t)=a(t){\mathbf{x}}_u+b(t){\mathbf{x}}_v$의 공변 미분 $\frac{Dw}{dt}$는 통상적인 미분 $\frac{dw}{dt}$의 접평면 성분이다. 연쇄 법칙에 따라 $\frac{dw}{dt}$를 계산하면 ${\mathbf{x}}_{uu},{\mathbf{x}}_{uv}$와 같은 2계 미분항이 나타나는데, 크리스토펠 기호는 바로 이 2계 미분항들의 접평면 성분을 포착하여 공변 미분의 좌표 표현을 완성한다.

평면의 경우 : 유클리드 평면을 데카르트 좌표계 $\mathbf{x}(u,v)=(u,v,0)$로 매개변수화하면, 제1기본형식의 계수는 $E=1,F=0,G=1$로 모두 상수이다. 따라서 이들의 모든 편도함수는 $0$이 되고, 결과적으로 평면의 모든 크리스토펠 기호는 $0$ 이다.

의미 : 크리스토펠 기호가 모두 $0$이면, 공변 미분 공식에서 ${\Gamma }_{ij}^k$와 관련된 항들이 모두 사라진다. 따라서 평면 위 벡터장의 공변 미분은 단순히 각 성분 함수를 미분하는 통상적인 미분과 일치 하게 된다. $\frac{Dw}{dt}=\left(\frac{da}{dt}\right){\mathbf{x}}_u+\left(\frac{db}{dt}\right){\mathbf{x}}_v$ 이는 공변 미분이 평면에서의 벡터 미분 개념을 곡률이 있는 일반적인 곡면으로 자연스럽게 확장한 것임을 보여준다. 즉, 크리스토펠 기호는 평면과의 기하학적 차이, 즉 ‘곡률로 인한 효과’를 보정해주는 항으로 이해할 수 있다.

측지선의 미분방정식(differential equations of the geodesics)은 크리스토펠 기호를 이용하여 어떻게 표현되는가? 이 방정식이 무엇을 의미하는지 설명하라.

측지선의 미분방정식 : 곡선 $\gamma (t)=\mathbf{x}(u(t),v(t))$가 측지선일 필요충분조건은 다음의 연립 2계 상미분방정식을 만족하는 것이다.

$u^{\prime \prime }+{\Gamma }_{11}^1(u^{\prime }{)}^2+2{\Gamma }_{12}^1{u}^{\prime }{v}^{\prime }+{\Gamma }_{22}^1(v^{\prime }{)}^2=0$ $v^{\prime \prime }+{\Gamma }_{11}^2(u^{\prime }{)}^2+2{\Gamma }_{12}^2{u}^{\prime }{v}^{\prime }+{\Gamma }_{22}^2(v^{\prime }{)}^2=0$

여기서 $u^{\prime }=\frac{du}{dt}$, $u^{\prime \prime }=\frac{d^{2}u}{d{t}^2}$ 등을 의미하며, ${\Gamma }_{ij}^k$는 크리스토펠 기호이다.

방정식의 의미 : 측지선은 정의상 접벡터장 ${\gamma }^{\prime }(t)$가 자기 자신을 따라 평행한 곡선, 즉 공변 가속도가 $0$인 곡선이다 ($\frac{D{\gamma }^{\prime }}{dt}=0$).

접벡터장 ${\gamma }^{\prime }(t)=u^{\prime }(t){\mathbf{x}}_u+v^{\prime }(t){\mathbf{x}}_v$의 공변 미분을 계산하면 그 결과는 두 성분으로 나뉜다. 위 방정식의 좌변은 바로 공변 미분 $\frac{D{\gamma }^{\prime }}{dt}$의 ${\mathbf{x}}_u$와 ${\mathbf{x}}_v$ 성분을 각각 나타낸다.

따라서 이 미분방정식은 “곡선의 공변 가속도가 $0$이다” 라는 측지선의 내재적 정의를 국소 좌표계로 표현한 것이다. 외재적으로 보면, 이는 곡선의 가속도 벡터 ${\gamma }^{\prime \prime }(t)$에서 접평면 성분이 사라지고 법선 성분만 남는다는 조건과 동치이다.