정규 폐포

정의

군 $G$와 부분집합 $S\subseteq G$에 대하여, $S$를 포함하는 모든 정규 부분군들의 교집합

$$⟨S{⟩}^G:=\bigcap \{N⊲G\mid S\subseteq N\}$$

을 $S$의 정규폐포(normal closure) 라 한다.

정리 1 (정규폐포의 존재와 성질)

임의의 군 $G$와 부분집합 $S\subseteq G$에 대하여 정규폐포 $⟨S{⟩}^G$는 항상 존재하며, 다음을 만족한다.

$$⟨S{⟩}^G=⟨gs{g}^{-1}|s\in S,g\in G⟩=⟨g⟨S⟩g^{-1}|g\in G⟩.$$

또한 보편 성질을 가진다: 임의의 군 준동형사상 $\phi :G\to H$가 $\phi (S)=\{1_H\}$를 만족하면 $⟨S{⟩}^G\subseteq \ker \phi$이고, 유일한 $\overline{\phi }:G/⟨S{⟩}^G\to H$가 존재하여 $\phi =\overline{\phi }\circ \pi$가 성립한다. 여기서 $\pi :G\to G/⟨S{⟩}^G$는 표준 사상이다.

증명

먼저 존재를 보인다. 집합 $\{N⊲G\mid S\subseteq N\}$는 공집합이 아니다. 실제로 $G⊲G$이고 $S\subseteq G$이므로 적어도 $G$를 포함한다. 정규 부분군들의 교집합은 다시 정규 부분군이므로 $⟨S{⟩}^G$는 정규이며 $S\subseteq ⟨S{⟩}^G$이다. 최소성은 정의에 의해 자명하다.

등식의 첫 번째 표현을 보인다. 우변

$$M:=⟨gs{g}^{-1}|s\in S,g\in G⟩$$

은 모든 켤레 $gs{g}^{-1}$을 포함하므로 정규이다. 또한 $S\subseteq M$이므로 최소성에 의해 $⟨S{⟩}^G\subseteq M$이다. 반대로 $⟨S{⟩}^G$는 정규이자 $S$를 포함하므로 모든 $gs{g}^{-1}$도 포함한다. 따라서 $M\subseteq ⟨S{⟩}^G$이고 등식이 성립한다. 두 번째 표현은 $⟨S⟩$의 모든 켤레들로 생성한다는 관찰로부터 동일하게 따른다.

보편 성질은 $\phi (S)=\{1_H\}\Rightarrow ⟨S⟩\subseteq \ker \phi$이므로 모든 켤레 $g⟨S⟩g^{-1}$도 $\ker \phi$에 포함됨에서 $⟨S{⟩}^G\subseteq \ker \phi$가 되고, 제일등식 정리에 의해 유일한 $\overline{\phi }$가 존재함으로써 결론이 따른다. $\square$

주의

“$S$를 포함하는 최소 정규 부분군(=정규폐포)”는 항상 존재한다. 이것을 군 전체의 비자명한 정규 부분군들 가운데 “최소 원소(minimal normal subgroup)”의 존재와 혼동하지 않아야 한다. 후자는 $G$가 단순(simple)하면 존재하지 않으며, 무한군에서는 내림사슬이 존재할 수도 있어 일반적으로 보장되지 않는다.