자유군

자유군(Free Groups)

자유군(Free Groups)은 대수학에서 가장 기본적이면서도 중요한 구조 중 하나입니다. 이 개념이 왜 중요하고 무엇을 보여주려는지 차근차근 설명드리겠습니다.

자유군의 핵심 아이디어는 “제약이 없는 군”을 만드는 것입니다. 일반적인 군에서는 원소들 사이에 여러 관계식이 성립합니다. 예를 들어 $ab=ba$ (교환법칙) 또는 $a^3=e$ (유한 위수) 같은 관계들이 있죠. 하지만 자유군에서는 이런 관계가 전혀 없습니다.

구체적으로 설명하면, 집합 $\{a_{\alpha }\}$가 주어졌을 때 이들을 생성원으로 하는 자유군 $G$에서는 각 원소가 다음과 같은 유일한 형태로 표현됩니다: $x=a_{{\alpha }_1}^{n_1}{a}_{{\alpha }_2}^{n_2}\cdots a_{{\alpha }_k}^{n_k}$. 여기서 ${\alpha }_i\ne {\alpha }_{i+1}$이고 $n_i\ne 0$입니다. 이것이 “축소된 단어(reduced word)“라고 불리는 표현이며, 각 원소마다 이런 표현이 유일하게 존재합니다.

자유군의 가장 중요한 성질은 확장 속성(extension property)입니다. 보조정리 69.1에서 보듯이, 자유군 $G$에서 임의의 군 $H$로 가는 준동형사상을 정의하려면 생성원들 $a_{\alpha }$가 어디로 갈지만 정하면 됩니다. 나머지는 자동으로 결정됩니다. 이는 자유군이 “가장 자유로운” 군이라는 의미입니다.

정리 69.2는 자유군들의 자유곱도 자유군이 됨을 보여줍니다. 이는 자유군의 구조가 매우 견고함을 의미합니다.

정리 69.4는 특히 흥미로운 결과입니다. 자유군 $G$에서 교환자 부분군 $[G,G]$로 나눈 몫군 $G/[G,G]$는 자유 아벨군이 됩니다. 이는 자유군을 “아벨화(abelianization)“하면 자유 아벨군을 얻는다는 의미입니다.

자유군과 자유 아벨군의 중요한 차이점도 드러납니다. 자유 아벨군에서는 부분군의 계수가 원래 군의 계수를 넘을 수 없지만, 자유군에서는 부분군이 원래보다 더 많은 생성원을 가질 수 있고 심지어 무한개일 수도 있습니다.

마지막 부분의 “생성원과 관계” 개념은 임의의 군을 이해하는 핵심 도구입니다. 모든 군은 어떤 자유군의 몫군으로 표현될 수 있습니다. 즉, 군 $G$가 있으면 적당한 자유군 $F$와 정규부분군 $N$이 있어서 $G\cong F/N$이 됩니다. 여기서 $N$의 원소들이 “관계(relations)“가 되고, 이를 통해 군의 구조를 파악할 수 있습니다.

결국 자유군은 다른 모든 군을 이해하기 위한 기본 빌딩 블록 역할을 합니다. 마치 벡터공간에서 기저 벡터들이 전체 공간을 생성하듯이, 자유군은 군론에서 가장 기본적인 “재료”라고 할 수 있습니다. 이것이 자유군을 이렇게 자세히 공부하는 이유입니다.

교환자 부분군(Commutator Subgroup)

교환자 부분군(Commutator Subgroup)은 군이 “얼마나 아벨적이지 않은지”를 측정하는 도구입니다.

교환자의 정의부터 살펴보겠습니다. 두 원소 $x,y$에 대한 교환자는 $[x,y]=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$입니다. 이 식을 다르게 쓰면 $[x,y]=(xy)(yx{)}^{-1}$가 되는데, 이는 $xy$와 $yx$가 얼마나 다른지를 나타내는 척도입니다. 만약 $x$와 $y$가 교환한다면, 즉 $xy=yx$라면 교환자는 $e$(항등원)가 됩니다.

교환자 부분군 $[G,G]$는 모든 교환자들에 의해 생성되는 부분군입니다. 이 부분군이 중요한 이유는 다음과 같습니다.

첫째, $[G,G]$는 항상 정규부분군입니다. 보조정리 69.3의 증명에서 보듯이, 교환자의 임의의 켤레도 교환자들의 곱으로 표현되므로 다시 $[G,G]$에 속합니다. 이는 $[G,G]$가 켤레에 대해 닫혀있음을 의미합니다.

둘째, 몫군 $G/[G,G]$는 항상 아벨군입니다. 이는 교환자들을 모두 “제거”하면 남는 것이 아벨군이라는 의미입니다. 실제로 $(a{G}^{\prime })(b{G}^{\prime })=(b{G}^{\prime })(a{G}^{\prime })$가 성립하는데, 이는 $a^{-1}{b}^{-1}ab$가 교환자이므로 $[G,G]$에 속하기 때문입니다.

셋째, $G/[G,G]$는 $G$를 “아벨화(abelianization)“한 결과입니다. 이는 $G$에서 아벨군으로 가는 모든 준동형사상이 반드시 $[G,G]$를 핵에 포함해야 한다는 성질과 연결됩니다. 즉, $G/[G,G]$는 $G$에서 나올 수 있는 “가장 큰” 아벨군입니다.

자유군의 맥락에서 이 개념이 특히 중요한 이유는 정리 69.4에 나타납니다. 자유군 $G$에서 교환자 부분군으로 나눈 몫 $G/[G,G]$는 자유 아벨군이 됩니다. 이는 매우 아름다운 결과입니다. 자유군에서 모든 “비교환적 성질”을 제거하면 자유 아벨군이 남는다는 것입니다.

구체적으로 설명하면, 자유군 $G$가 생성원 $\{a_{\alpha }\}$를 가진다면, $G/[G,G]$는 $\{[a_{\alpha }]\}$를 기저로 하는 자유 아벨군이 됩니다. 여기서 $[a_{\alpha }]$는 $G/[G,G]$에서 $a_{\alpha }$의 잉여류입니다. 이는 자유군의 “아벨적 그림자”가 자유 아벨군이라는 깊은 연결을 보여줍니다.

교환자 부분군의 또 다른 중요한 관점은 군의 구조를 분석하는 도구라는 것입니다. 군 $G$에서 $[G,G]$가 작으면 $G$는 “거의 아벨적”이고, $[G,G]$가 크면 $G$는 “매우 비아벨적”입니다. 예를 들어, $G$가 이미 아벨군이라면 $[G,G]=\{e\}$이고, 반대로 $G=[G,G]$라면 $G$를 완전군(perfect group)이라고 부릅니다.

결국 교환자 부분군은 군론에서 아벨적 성질과 비아벨적 성질을 구분하는 핵심적인 도구이며, 특히 자유군과 자유 아벨군 사이의 근본적인 관계를 이해하는 열쇠가 됩니다. 이것이 자유군 이론에서 교환자 부분군을 자세히 다루는 이유입니다.