4-6. The Exponential Map. Geodesic Polar Coordinates

지수 사상 (The Exponential Map)

점 $p\in S$와, 그 점에서의 접벡터 $\mathbf{v}\in T_p(S)$가 주어지자. 초기 조건 $\gamma (0)=p$와 ${\gamma }^{\prime }(0)=\mathbf{v}$를 만족하는 유일한 측지선 $\gamma (t)$가 존재한다. 이 측지선을 이용하여 점 p에서의 지수 사상(Exponential map at p) , ${\exp }_p:T_p(S)\to S$를 다음과 같이 정의한다.

$${\exp }_p(\mathbf{v})=\gamma (1)$$

이는 접평면 위의 벡터 $\mathbf{v}$를, $p$에서 출발하여 $\mathbf{v}$ 방향으로 단위 시간(t=1)만큼 진행한 측지선 위의 점으로 대응시키는 사상이다.

• 접평면의 원점 $0\in T_p(S)$은 ${\exp }_p(0)=p$로 사상된다.
• 접평면에서 원점을 지나는 직선 $t\mathbf{v}$는 $p$를 지나는 측지선 $\gamma (t)={\exp }_p(t\mathbf{v})$로 사상된다. 이러한 측지선을 방사상 측지선(radial geodesic) 이라 한다. 나. 주요 성질 및 정리
• 국소 미분동형사상 (Local Diffeomorphism): 지수 사상 ${\exp }_p$는 $T_p(S)$의 원점 $0$의 적절한 근방 $U$와 $S$ 위의 점 $p$의 근방 $V$ 사이의 미분동형사상 이다. 이는 ${\exp }_p$가 $U$에서 $V$로 가는 전단사 함수이며, ${\exp }_p$와 그 역함수 ${\exp }_p^{-1}$가 모두 매끄러운(differentiable) 함수임을 의미한다. 따라서 $p$점 근방의 작은 영역은 접평면의 작은 영역과 위상적으로 동일하다.
• 가우스 보조정리 (Gauss’s Lemma): 지수 사상의 가장 중요하고 강력한 성질 중 하나다. 이는 방사상 측지선과 측지 원의 직교성을 보장한다. $T_p(S)$ 안의 벡터 $\mathbf{v}\in T_p(S)$와, $\mathbf{v}$에 위치한 또 다른 접벡터 $\mathbf{w}\in T_{\mathbf{v}}(T_p(S))\cong T_p(S)$를 생각하자. 지수 사상의 $\mathbf{v}$에서의 미분 $d({\exp }_p{)}_{\mathbf{v}}$는 $T_{\mathbf{v}}(T_p(S))$에서 $T_{{\exp }_p(\mathbf{v})}(S)$로 가는 선형사상이다. 가우스 보조정리는 다음과 같다.

$⟨d({\exp }_p{)}_{\mathbf{v}}(\mathbf{v}),d({\exp }_p{)}_{\mathbf{v}}(\mathbf{w}){⟩}_S=⟨\mathbf{v},\mathbf{w}{⟩}_{T_p(S)}$ 여기서 $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_S$는 곡면 $S$에서의 내적이고, $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{T_p(S)}$는 접평면 $T_p(S)$에서의 유클리드 내적이다. 특히, $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$가 $T_p(S)$에서 직교한다면 ($⟨\mathbf{v},\mathbf{w}{⟩}_{T_p(S)}=0$), 이들의 사상 또한 $S$ 위에서 직교한다. 기하학적으로 이는 $p$에서 나가는 방사상 측지선은 중심이 $p$인 측지 원(geodesic circle)과 항상 수직으로 만난다 는 것을 의미한다.

2. 측지 극좌표계 (Geodesic Polar Coordinates)

지수 사상을 이용하여 점 $p$ 근방에 매우 유용한 좌표계를 설정할 수 있다. 가. 정의 $T_p(S)$의 정규직교기저 $\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2\}$를 잡자. $T_p(S)$의 임의의 벡터 $\mathbf{v}$는 극좌표 $(r,\theta )$를 이용해 $\mathbf{v}=(r\cos \theta ){\mathbf{e}}_1+(r\sin \theta ){\mathbf{e}}_2$로 표현할 수 있다. 여기서 $r=||\mathbf{v}||$이다. 이를 지수 사상에 적용하여 $p$점 근방의 좌표 조각 사상(coordinate chart) $\mathbf{x}(r,\theta )$를 다음과 같이 정의한다.

$\mathbf{x}(r,\theta )={\exp }_p((r\cos \theta ){\mathbf{e}}_1+(r\sin \theta ){\mathbf{e}}_2)$ 이때 $(r,\theta )$를 점 $\mathbf{x}(r,\theta )$의 측지 극좌표 라고 한다.

• $r$: 중심점 $p$로부터의 측지 거리(geodesic distance) .
• $\theta$: $p$에서 출발하는 방향을 나타내는 각도. 나. 제1 기본 형식 (The First Fundamental Form) 측지 극좌표계의 가장 큰 장점은 제1 기본 형식이 매우 간단한 형태로 표현된다는 점이다. 좌표 조각 사상 $\mathbf{x}(r,\theta )$에 대한 편미분 벡터는 다음과 같다.
• ${\mathbf{x}}_r=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial r}$
• ${\mathbf{x}}_{\theta }=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \theta }$ 제1 기본 형식의 계수 $E,F,G$는 다음과 같이 계산된다.
• $E=⟨{\mathbf{x}}_r,{\mathbf{x}}_r⟩$
• $F=⟨{\mathbf{x}}_r,{\mathbf{x}}_{\theta }⟩$
• $G=⟨{\mathbf{x}}_{\theta },{\mathbf{x}}_{\theta }⟩$

1. $E=1$ : $r$좌표 곡선($\theta$는 상수)은 정의에 의해 단위 속력 측지선이다. 즉, 매개변수 $r$이 바로 호의 길이(arc length)다. 따라서 속도 벡터 ${\mathbf{x}}_r$의 크기는 항상 1이다. $E=||{\mathbf{x}}_r|{|}^2=1$.
2. $F=0$ : 가우스 보조정리의 직접적인 결과다. ${\mathbf{x}}_r$는 방사 방향 벡터에 해당하고, ${\mathbf{x}}_{\theta }$는 원주 방향 벡터에 해당한다. 가우스 보조정리에 의해 이 둘은 항상 직교한다. 따라서 $F=⟨{\mathbf{x}}_r,{\mathbf{x}}_{\theta }⟩=0$. 따라서 측지 극좌표계에서 제1 기본 형식($d{s}^2$)은 항상 다음과 같은 형태를 가진다.

$d{s}^2=d{r}^2+G(r,\theta )d{\theta }^2$ 다. 함수 $G(r,\theta )$의 성질과 의미 함수 $\sqrt{G(r,\theta )}$는 측지 극좌표계의 모든 기하학적 정보를 담고 있다.

• 기하학적 의미 : $\sqrt{G}$는 $p$점에서 $r$만큼 떨어진 지점에서 각도 $\theta$ 방향으로의 길이 팽창률이다. 중심이 $p$이고 반지름이 $r$인 측지 원(geodesic circle) 의 둘레 $L(r)$는 다음과 같이 계산된다.

$L(r)={\int }_0^{2\pi }||{\mathbf{x}}_{\theta }(r,\theta )||d\theta ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{G(r,\theta )}d\theta$

• $r\to 0$ 에서의 극한 : 극점 $p$ ($r=0$) 근방에서 $\sqrt{G}$는 평면의 경우와 유사하게 행동해야 한다.

${\lim }_{r\to 0}\sqrt{G(r,\theta )}=0$ ${\lim }_{r\to 0}\frac{\partial \sqrt{G(r,\theta )}}{\partial r}={\lim }_{r\to 0}(\sqrt{G}{)}_r=1$

• 가우스 곡률과의 관계 : 가우스 곡률 $K$는 $\sqrt{G}$를 이용하여 매우 간단하게 표현할 수 있다.

$K(r,\theta )=-\frac{(\sqrt{G}{)}_{rr}}{\sqrt{G}}$ 여기서 $(\sqrt{G}{)}_{rr}=\frac{{\partial }^2\sqrt{G}}{\partial r^2}$이다. 이 식은 곡면의 곡률이 측지원의 반지름이 늘어남에 따라 둘레가 어떻게 변하는지를 결정한다는 것을 보여준다.

• 평면 ($K=0$) : $(\sqrt{G}{)}_{rr}=0$ 이므로, $\sqrt{G}=A(\theta )r+B(\theta )$ 형태다. 위의 극한 조건을 적용하면 $B(\theta )=0,A(\theta )=1$이므로 $\sqrt{G}=r$이다. 따라서 $d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2$ 이고, 이는 평면 극좌표계의 제1 기본 형식과 일치한다.
• 구면 ($K=1/R^2>0$) : $(\sqrt{G}{)}_{rr}+\frac{1}{R^2}\sqrt{G}=0$ 이라는 미분 방정식을 얻는다. 극한 조건을 만족하는 해는 $\sqrt{G}=R\sin (r/R)$이다. 측지원의 둘레는 $2\pi R\sin (r/R)$로, 평면의 경우($2\pi r$)보다 항상 작다.
• 쌍곡 평면 ($K=-1/R^2<0$) : $(\sqrt{G}{)}_{rr}-\frac{1}{R^2}\sqrt{G}=0$ 이라는 미분 방정식을 얻는다. 해는 $\sqrt{G}=R\sinh (r/R)$이다. 측지원의 둘레는 $2\pi R\sinh (r/R)$로, 평면의 경우보다 항상 크다. 이처럼 지수 사상과 측지 극좌표계는 접평면이라는 선형 공간을 통해 곡면이라는 비선형 공간을 분석하고, 가우스 곡률이라는 핵심적인 기하학적 불변량을 측지원의 둘레 변화라는 직관적인 방식으로 이해하게 해주는 필수적인 개념이다.