3-Appendix. Self-Adjoint Linear Maps and Quadratic Forms

자기수반 선형사상과 이차 형식의 관계

자기수반 선형사상(Self-Adjoint Linear Map) 은 선형사상 $A:V\to V$가 모든 벡터 $v,w\in V$에 대해 $⟨Av,w⟩=⟨v,Aw⟩$를 만족하는 경우를 말한다. 정규직교기저에서 자기수반 선형사상의 행렬은 항상 대칭행렬(${\alpha }_{ij}={\alpha }_{ji}$)이다.

이러한 자기수반 선형사상은 다음과 같이 쌍선형 형식 및 이차 형식과 대응 관계를 맺는다.

1. 대칭 쌍선형 형식 (Symmetric Bilinear Form): 자기수반 선형사상 $A$는 $B(v,w)=⟨Av,w⟩$로 정의되는 대칭 쌍선형 형식 $B$를 유도한다. $B$가 대칭인 이유는 $A$가 자기수반이기 때문이다.
2. 이차 형식 (Quadratic Form): 대칭 쌍선형 형식 $B$는 $Q(v)=B(v,v)=⟨Av,v⟩$로 정의되는 이차 형식 $Q$를 유도한다.

반대로, 이차 형식 $Q$가 주어지면 편극 항등식(polarization identity)을 통해 유일한 대칭 쌍선형 형식 $B$를 얻을 수 있다.

$$B(u,v)=\frac{1}{2}[Q(u+v)-Q(u)-Q(v)]$$

그러므로 $V$의 자기수반 선형사상, 대칭 쌍선형 형식, 이차 형식은 (모두)서로 일대일 대응 관계에 있다.

자기수반 선형사상의 대각화 정리

자기수반 선형사상 $A:V\to V$에 대하여, 다음을 만족하는 $V$의 정규직교기저 $\{e_1,e_2\}$가 존재한다.

$$A(e_1)={\lambda }_1{e}_1,A(e_2)={\lambda }_2{e}_2$$

이때 $e_1,e_2$는 $A$의 고유벡터이며, ${\lambda }_1,{\lambda }_2$는 해당 고윳값이다. 이 기저에서 $A$의 행렬은 대각행렬이며, 대각 성분 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$(${\lambda }_1\ge {\lambda }_2$라 가정)는 각각 이차 형식 $Q(v)=⟨Av,v⟩$가 단위 원 $|v|=1$ 위에서 갖는 최댓값과 최솟값이다.

• 이차 형식 $Q(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$가 단위 원 위에서 점 $(1,0)$에서 최댓값을 가지면, 교차항의 계수인 $b$는 $0$이어야 한다.

• 모든 이차 형식 $Q$에 대해, $v=x{e}_1+y{e}_2$일 때 $Q(v)={\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2$를 만족하는 정규직교기저 $\{e_1,e_2\}$가 존재한다.