3-5. Ruled Surfaces and Minimal Surfaces

선직면 (Ruled Surfaces)

(미분가능한) 단일 매개변수 직선들의 모임(one-parameter family of lines) $\{\alpha (t),w(t)\}$는 각 $t\in I$에 점 $\alpha (t)\in {\mathbb{R}}^3$와 영벡터가 아닌 벡터 $w(t)\in {\mathbb{R}}^3$를 대응시키는 사상으로, $\alpha (t)$와 $w(t)$는 모두 $t$에 대해 미분가능하다. 각 $t\in I$에 대해, 점 $\alpha (t)$를 지나고 벡터 $w(t)$에 평행한 직선 $L_t$를 이 족의 직선이라 한다.

직선들의 족 $\{\alpha (t),w(t)\}$에 의해 생성된 매개곡면

$$\mathbf{x}(t,v)=\alpha (t)+vw(t),t\in I,v\in \mathbb{R}$$

을 선직면이라 한다. 직선들 $L_t$를 선직면의 모선(ruling)이라 하고, 곡선 $\alpha (t)$를 방향곡선(directrix)이라 한다.

• 원기둥(Cylinder): 방향곡선 $\alpha (I)$가 평면 $P$에 놓여 있고, $w(t)$가 고정된 방향에 평행한 선직면이다.
• 원뿔(Cone): 방향곡선 $\alpha (I)$가 평면 $P$에 놓여 있고, 모든 모선 $L_t$가 평면 밖의 한 점 $p\notin P$를 지나는 선직면이다.
• 접곡면(Tangent Surface): 정칙곡선 $\alpha (t)$에 대하여 $\mathbf{x}(t,v)=\alpha (t)+v{\alpha }^{\prime }(t)$로 정의되는 선직면이다.
• 회전 쌍곡면(Hyperboloid of Revolution): $xy$-평면의 단위원을 따라 움직이는 직선족으로 생성할 수 있으며, 두 개의 선직면 구조를 갖는다.

수축선 (Line of Striction)

이후의 논의에서는 $|w(t)|=1$이고 $w^{\prime }(t)\ne 0$인 비주면(noncylindrical) 을 가정한다. 선직면의 모든 모선과 수직으로 만나는 곡선 $\beta (t)$를 찾을 수 있는데, 이를 수축선(line of striction) 이라 한다. 이 곡선은 선직면의 기하학적 중심 역할을 하며 방향곡선의 선택에 의존하지 않는다. 수축선은 다음과 같이 정의된다.

$$\beta (t)=\alpha (t)+u(t)w(t)\text{where}u(t)=-\frac{⟨{\alpha }^{\prime }(t),w^{\prime }(t)⟩}{⟨w^{\prime }(t),w^{\prime }(t)⟩}$$

수축선을 새로운 방향곡선으로 선택하여 선직면을 $\mathbf{x}(t,u)=\beta (t)+uw(t)$로 다시 매개화할 수 있다.

분포 매개변수 (Distribution Parameter)

선직면의 특이점(Singular Point), 즉 ${\mathbf{x}}_t\wedge {\mathbf{x}}_u=0$인 점들은 수축선 $u=0$을 따라 존재하고, 특이점이 존재하기 위한 필요충분조건은 $\lambda (t)=0$이다.

함수 $\lambda$를 분포 매개변수(Distribution Parameter) 라 한다.

$$\lambda =\frac{({\beta }^{\prime },w,w^{\prime })}{|w^{\prime }{|}^2}$$

정칙점에서 선직면의 가우스 곡률 $K$는 다음과 같다.

$$K=-\frac{{\lambda }^2}{({\lambda }^2+u^2{)}^2}\le 0$$

이 식으로부터 선직면의 가우스 곡률은 항상 음이거나 $0$이며, $\lambda (t)=0$일 때, 즉 모선이 수축선과 특이점에서 만날 때만 $0$이 된다는 것을 알 수 있다. 또한, 한 모선 위에서 가우스 곡률의 절댓값 $|K(u)|$는 중심점(central point), 즉 $u=0$인 점에서 최댓값을 갖는다.

$(t,u)$에서 곡면의 법벡터는 다음과 같다.

$$N(t,u)=\frac{{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v}{|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|}=\frac{\lambda w^{\prime }+u{w}^{\prime }\wedge w}{\sqrt{{\lambda }^2+u^2}|w^{\prime }|}$$

$\lambda \ne 0$이면 이 법선은 수축선 위의 법선벡터를 의미하며, w’(t)의 방향을 따르고 부호는 $\lambda$의 부호에 의해 정해진다.

$$N(t,0)=\frac{w^{\prime }}{|w^{\prime }|}\frac{\lambda }{|\lambda |}$$

따라서 선곡면 상의 점 $(t,u)$에서의 법선벡터 $N(t,u)$와 수축선 위 점 $(t,0)$에서의 법선벡터 $N(t,0)$ 사이의 각 $\theta$는

$$\tan \theta =\frac{u}{|\lambda |}$$

$\theta$가, 모선(ruling) 위의 어떤 점에서의 법선벡터와, 그 모선의 중심점에서의 법선벡터가 이루는 각이라면, $\tan \theta$는 두 점 사이 거리 $u$에 비례하며, 그 비례상수는 분포 파라미터의 역수이다.

전개가능한 곡면(Developable Surfaces)

선직면 $\mathbf{x}(t,v)=\alpha (t)+vw(t)$가 다음 조건을 만족할 때 전개가능한 곡면(developable surface)이라 한다.

$$(w(t),w^{\prime }(t),{\alpha }^{\prime }(t))\equiv 0$$

전개가능한 곡면의 가장 중요한 성질은 정칙점에서 가우스 곡률이 항상 $0$이라는 것이다 ($K\equiv 0$). 이는 전개가능한 곡면이 국소적으로 평면과 등거리(locally isometric) 관계에 있음을 의미하며, 실제로 평면으로 ‘펼칠 수 있는’ 곡면이다.

전개가능한 곡면은 다음 세 가지 유형으로 분류될 수 있다.

1. 원기둥 (Cylinders): $w(t)$가 상수 벡터인 경우.
2. 원뿔 (Cones): 수축선이 한 점으로 퇴화하는 경우.
3. 접곡면 (Tangent Surfaces): 수축선이 특이점들의 자취를 이루는 경우.

따라서 특이점을 제외하면, 모든 전개가능한 곡면은 국소적으로 원기둥, 원뿔, 또는 접곡면의 일부로 구성된다.

접평면들의 포락면 (Envelope of the Family of Tangent Planes)

곡면 $S$ 위의 곡선 $\alpha (s)$를 따라 형성되는 접평면들의 족 $\{T_{\alpha (s)}(S)\}$의 포락면(envelope)은 다음과 같이 정의되는 선직면이다.

$$\mathbf{x}(s,v)=\alpha (s)+v\frac{N(s)\wedge N^{\prime }(s)}{|N^{\prime }(s)|}$$

여기서 $N(s)$는 곡선 $\alpha (s)$를 따르는 $S$의 단위 법선벡터장이며, $\alpha$는 점근 방향이 아니라고 가정한다($N^{\prime }(s)\ne 0$). 이 포락면은 전개가능한 곡면이며, 곡선 $\alpha (s)$를 따라 원래의 곡면 $S$에 접한다.

극소곡면 (Minimal Surfaces)

매개곡면의 평균 곡률(mean curvature)이 모든 점에서 $0$인 경우, 이 곡면을 극소곡면(minimal surface)이라고 한다. 이는 정칙곡면 $S\subset {\mathbb{R}}^3$의 모든 매개화가 극소곡면임을 의미한다. 이름과 달리 극소곡면이 항상 넓이를 최소화하는 것은 아니지만, 국소적인 영역의 넓이에 대한 변분(variation) 문제에서 임계점(critical point)에 해당한다.

넓이 변분과 극소곡면

극소곡면은 물리적으로 비눗방울 막과 관련이 있다. 철사 틀을 비눗물에 담갔다 빼면 표면 장력에 의해 넓이가 최소가 되는 곡면이 형성되는데, 이 곡면의 정칙점들에서는 평균 곡률이 $0$이 된다.

정칙 매개곡면 $\mathbf{x}(u,v)$의 유계 영역 $\bar{D}$에 대한 법선 방향 변분(normal variation)은 매개변수 $t\in (-ϵ,ϵ)$를 이용해 다음과 같이 정의되는 곡면들의 모임다.

$$\varphi (u,v,t)=\mathbf{x}(u,v)+th(u,v)N(u,v)$$

여기서 $h:\bar{D}\to \mathbb{R}$는 변분의 크기를 조절하는 미분가능한 함수이고 $N(u,v)$은 $\mathbf{x}(u,v)$에서의 단위 법선벡터다. 각 고정된 $t$에 대해 ${\mathbf{x}}_t(u,v)=\varphi (u,v,t)$는 새로운 매개곡면이 된다.

변분된 곡면 ${\mathbf{x}}_t$의 제1 기본 형식 계수 $E_t,F_t,G_t$를 계산하기 위해 편미분 벡터 $\frac{\partial {\mathbf{x}}_t}{\partial u}$와 $\frac{\partial {\mathbf{x}}_t}{\partial v}$를 구한다.

$$\begin{gathered} \frac{\partial {\mathbf{x}}_t}{\partial u}={\mathbf{x}}_u+th{N}_u+t{h}_{u}N \\ \frac{\partial {\mathbf{x}}_t}{\partial v}={\mathbf{x}}_v+th{N}_v+t{h}_{v}N \end{gathered}$$

이를 이용하여 $t$에 대한 1차항까지 근사하면 $E_t,F_t,G_t$는 제2기본 형식의 계수 $e,f,g$로 나타낼 수 있다.

$$\begin{array}{rl}{E}_t& =⟨{\mathbf{x}}_u+th{N}_u,{\mathbf{x}}_u+th{N}_u⟩+O(t^2)=E+2th⟨{\mathbf{x}}_u,N_u⟩+O(t^2)=E-2the+O(t^2)\\ F_t& =⟨{\mathbf{x}}_u+th{N}_u,{\mathbf{x}}_v+th{N}_v⟩+O(t^2)=F+th(⟨{\mathbf{x}}_u,N_v⟩+⟨{\mathbf{x}}_v,N_u⟩)+O(t^2)=F-2thf+O(t^2)\\ G_t& =⟨{\mathbf{x}}_v+th{N}_v,{\mathbf{x}}_v+th{N}_v⟩+O(t^2)=G+2th⟨{\mathbf{x}}_v,N_v⟩+O(t^2)=G-2thg+O(t^2)\end{array}$$

$E_t,F_t,G_t$를 변분된 곡면의 넓이 요소 $\sqrt{E_t{G}_t-F_t^2}$에 대입하고 $t$에 대한 1차항까지만 정리하면

$$\begin{array}{rl}{E}_t{G}_t-F_t^2& \approx (E-2the)(G-2thg)-(F-2thf{)}^2\\ & \approx EG-2th(Eg+Ge)-(F^2-4thfF)\\ & =(EG-F^2)-2th(Eg-2fF+Ge)\end{array}$$

평균 곡률 $H=\frac{Eg-2fF+Ge}{2(EG-F^2)}$ 공식을 이용하면,

$$E_t{G}_t-F_t^2=(EG-F^2)(1-4thH)+R$$

이 되며, 여기서 ${\lim }_{t\to 0}(R/t)=0$ 이다.

넓이 함수 $A(t)$는 넓이 요소를 영역 $D$에 대해 적분한 것이므로

$$A(t)={\iint }_D\sqrt{E_t{G}_t-F_t^2}dudv={\iint }_D\sqrt{(EG-F^2)(1-4thH)+R}dudv$$

$t$에 대해 미분하고 $t=0$을 대입하여 $A^{\prime }(0)$를 구한다. $\sqrt{1-x}\approx 1-x/2$ 근사를 이용하면 $\sqrt{E_t{G}_t-F_t^2}\approx \sqrt{EG-F^2}(1-2thH)$ 이므로,

$$A(t)\approx {\iint }_D\sqrt{EG-F^2}(1-2thH)dudv=A(0)-2t{\iint }_{D}hH\sqrt{EG-F^2}dudv$$

따라서 $A(t)$를 $t$에 대해 미분하고 $t=0$을 대입하면 최종적으로 다음의 1차 변분 공식을 얻는다.

$$A^{\prime }(0)=-2{\iint }_{D}hH\sqrt{EG-F^2}dudv$$

여기서 $D$는 매개변수 영역이고 $h$는 변분 크기를 조절하는 함수이다.

정칙 매개곡면 $\mathbf{x}$가 극소곡면인 것은, 모든 유계 영역 $D$와 그에 대한 모든 법선 변분에 대해 $A^{\prime }(0)=0$인 것과 동치이다.

즉, 극소곡면은 넓이 범함수(area functional)의 임계점이다. 평균 곡률 벡터 $\mathbf{H}=HN$ 방향으로 곡면을 변형시키면 넓이가 초기에 감소한다.

등온 매개변수와 조화 함수

등온 매개변수화(isothermal parametrization)는 제1 기본 형식의 계수가 $E=G={\lambda }^2(u,v)$, $F=0$을 만족하는 좌표계이다.¹ 등온 매개변수화된 곡면 $\mathbf{x}(u,v)$에 대하여, 다음이 성립한다.

$${\mathbf{x}}_{uu}+{\mathbf{x}}_{vv}=2{\lambda }^2\mathbf{H}$$

• 등온 매개변수화된 곡면 $\mathbf{x}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$가 극소곡면일 필요충분조건은 좌표함수 $x,y,z$가 모두 조화 함수(harmonic function)인 것이다. 즉, 라플라시안(Laplacian) $\Delta f=f_{uu}+f_{vv}$에 대해 $\Delta f=0$이다.

• $\mathbf{x}$가 등온적일 필요충분조건은 ${{\phi }_1}^2+{{\phi }_2}^2+{{\phi }_3}^2\equiv 0$이다. 이 조건을 만족할 때, $\mathbf{x}$가 극소곡면일 필요충분조건은 ${\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3$가 해석함수²인 것이다.

주요 극소곡면의 예

• 현수면 (Catenoid): 곡선 $y=a\cosh (z/a)$를 $z$축을 중심으로 회전시켜 얻는 회전면이다. 이는 평면을 제외하고 유일한 회전 극소곡면이다.
• 나선면 (Helicoid): 나선 운동에 의해 생성되는 선직면이다. 이는 평면을 제외하고 유일하게 선직면이면서 동시에 극소곡면인 곡면이다. 현수면과 나선면은 국소적으로 등거리 변환이 가능하며, 서로 켤레 극소곡면(conjugate minimal surfaces) 관계에 있다.
• 엔네퍼 곡면 (Enneper’s Surface): 자기 교차(self-intersection)를 갖는 극소곡면의 예이다.
• 셔크 곡면 (Scherk’s Surface): 방정식 $z=\log (\frac{\cos y}{\cos x})$로 표현되며, 체스판 패턴의 영역 위에서 정의된다.

오서만 정리(Osserman’s Theorem)

평면이 아닌 완비(complete) 정칙 극소곡면 $S\subset {\mathbb{R}}^3$에 대하여, 가우스 사상 $N:S\to S^2$의 상은 단위구 $S^2$에서 조밀(dense)하다.

Footnotes

1. 두 접벡터가 직교하고, 동일한 단위 길이 척도를 가진다. ↩

2. 함수 $f=f_1(u,v)+i{f}_2(u,v)$가 코시-리만방정식(Cauchy-Riemann equations) $\frac{\partial f_1}{\partial u}=\frac{\partial f_2}{\partial v},\frac{\partial f_1}{\partial v}=-\frac{\partial f_2}{\partial u}$을 만족하는 일계 편도함수를 가지면 함수 $f$를 해석적이라고 하거나 해석함수라고 한다. ↩