3-4. Vector Fields

벡터장과 궤적 (Vector Fields and Trajectories in the Plane)

${\mathbb{R}}^2$의 열린 집합 $U$에서 정의된 벡터장(vector field)은 각 점 $q\in U$에 벡터 $w(q)\in {\mathbb{R}}^2$를 대응시키는 사상이다. 점 $q=(x,y)$와 벡터 $w(q)=(a(x,y),b(x,y))$에 대하여, 함수 $a(x,y)$와 $b(x,y)$가 $U$에서 미분가능할 때, 이 벡터장 $w$를 미분가능한 벡터장(differentiable vector field)이라 한다.

주어진 벡터장 $w$에 대하여, 그 궤적(trajectory)¹은 다음 조건을 만족하는 미분가능한 매개화된 곡선 $\alpha (t)=(x(t),y(t))$이다.

$${\alpha }^{\prime }(t)=w(\alpha (t))$$

이는 상미분방정식계(system of ordinary differential equations)로 표현된다.

$$\frac{dx}{dt}=a(x,y),\frac{dy}{dt}=b(x,y)$$

• $w(x,y)=(x,y)$인 경우, $x^{\prime }(t)=x(t),y^{\prime }(t)=y(t)$ 이므로 $x(t)=C_1{e}^t$궤적은 $\alpha (t)=(x_0{e}^t,y_0{e}^t)$
• $w(x,y)=(x,y)$의 경우, 궤적은 미분방정식 $x^{\prime }(t)=x(t)$, $y^{\prime }(t)=y(t)$를 따르며, 초기점 $(x_0,y_0)$를 지나는 해는 $\alpha (t)=e^t(x_0,y_0)$가 된다.
• $w(x,y)=(-y,x)$는 $⟨(-y,x),(x,y)⟩=-yx+xy=0$이므로 각 점 $(x,y)$에서의 벡터가 위치 벡터 $(x,y)$와 항상 수직을 이룬다. 따라서 궤적은 원점을 중심으로 회전하는 경로를 그리게 된다. 미분방정식 $x^{\prime }(t)=-y(t)$, $y^{\prime }(t)=x(t)$를 풀면, 궤적 위의 모든 점은 원점으로부터의 거리 제곱 $x(t{)}^2+y(t{)}^2$이 초기값 $x_0^2+y_0^2$으로 항상 일정함을 알 수 있다.

상미분방정식의 기본 정리 (Fundamental Theorems of Ordinary Differential Equations)

열린 집합 $U\subset {\mathbb{R}}^2$에 벡터장 $w$가 주어졌을 때, 임의의 점 $p\in U$에 대하여, $\alpha (0)=p$를 만족하는 $w$의 궤적 $\alpha :I\to U$가 존재한다. ($I$는 $0$을 포함하는 열린 구간이다.) 이 궤적은 유일하다. 즉, $\beta (0)=p$인 또 다른 궤적 $\beta :J\to U$가 있다면, $I\cap J$에서 $\alpha$와 $\beta$는 일치한다.

열린 집합 $U\subset {\mathbb{R}}^2$에 벡터장 $w$가 주어졌을 때, 각 점 $p\in U$에 대하여 $p$의 근방 $V\subset U$, 구간 $I$, 그리고 사상 $\alpha :V\times I\to U$가 존재하여 다음을 만족한다.

1. 고정된 $q\in V$에 대하여, 곡선 $\alpha (q,t)$, $t\in I$는 $q$를 지나는 $w$의 궤적이다. 즉,

$$\alpha (q,0)=q,\frac{\partial \alpha }{\partial t}(q,t)=w(\alpha (q,t))$$

2. $\alpha$는 미분가능하다.

이 사상 $\alpha$를 $p$에서 $w$의 국소 흐름(local flow)이라 한다.

국소 제1적분 (Local First Integrals)

열린 집합 $U\subset {\mathbb{R}}^2$에 정의된 벡터장 $w$와 $w(p)\ne 0$인 점 $p\in U$가 주어졌을 때, $p$의 근방 $W\subset U$와 미분가능한 함수 $f:W\to \mathbb{R}$가 존재하여, $f$는 $w$의 각 궤적을 따라서는 상수이고 모든 $q\in W$에 대해 $d{f}_q\ne 0$이다.

이 함수 $f$를 $p$의 근방에서 $w$의 (국소적) 제1적분(local first integral)이라 한다.²

적분 곡선 (Integral Curves)

열린 집합 $U\subset {\mathbb{R}}^2$ 위의 방향장(field of directions)³ $r$는 각 점 $p\in U$에 $p$를 지나는 직선 $r(p)\subset {\mathbb{R}}^2$를 대응시키는 것이다. 방향장 $r$이 점 $p\in U$에서 미분가능하다는 것은, $p$의 근방 $V\subset U$에 정의된 영이 아닌 미분가능한 벡터장 $w$가 존재하여 각 $q\in V$에서 $w(q)$가 $r(q)$의 기저가 됨을 의미한다.⁴

정칙 연결 곡선 $C\subset U$가 방향장 $r$의 적분 곡선(integral curve)⁵이라는 것은 모든 $q\in C$에 대하여 $C$의 접선이 $r(q)$와 일치하는 것이다. 방향장 $r$은 종종 다음 형태의 미분방정식으로 표현된다.

$$adx+bdy=0$$

이는 각 점 $(x,y)$에서 벡터 $(b,-a)$에 의해 생성되는 방향을 나타낸다.

곡면 위의 벡터장 (Vector Fields on Surfaces)

정칙 곡면 $S$의 열린 집합 $U$ 위의 벡터장(vector field) $w$는 각 점 $p\in U$에 접벡터 $w(p)\in T_p(S)$를 대응시키는 것이다. $p$에서의 매개화 $\mathbf{x}(u,v)$에 대하여 $w(p)$가

$$w(p)=a(u,v){\mathbf{x}}_u+b(u,v){\mathbf{x}}_v$$

로 표현될 때, 함수 $a(u,v),b(u,v)$가 $p$에서 미분가능하면 벡터장 $w$는 $p$에서 미분가능하다고 한다. 이 정의는 매개화의 선택에 의존하지 않는다.

• 열린 집합 $U\subset S$ 안의 두 벡터장 $w_1,w_2$가 점 $p\in U$에서 선형독립(linearly independent)이라고 하자. 그러면 $p$의 근방 $V\subset U$는 $V$의 각 점 $q$에서 좌표 곡선들이 $w_1(q)$와 $w_2(q)$에 의해 결정되는 직선들에 접하도록 매개화될 수 있다.

• 열린 집합 $U\subset S$ 위의 두 방향장 $r,r^{\prime }$이 점 $p\in U$에서 $r(p)\ne r^{\prime }(p)$를 만족하면, $p$의 근방에 $r,r^{\prime }$의 적분 곡선들을 좌표 곡선으로 갖는 매개화 $\mathbf{x}$가 존재한다.

• 정칙 곡면 $S$ 위의 모든 점 $p$에 대하여, 좌표 곡선들이 직교하는($F=0$) 매개화 $\mathbf{x}(u,v)$가 존재한다. 이러한 매개화를 직교 매개화(orthogonal parametrization)라 한다.

• 쌍곡점(hyperbolic point) $p\in S$의 근방은 점근선(asymptotic curves)을 좌표 곡선으로 갖도록 매개화될 수 있다.

• 비제점(nonumbilical point) $p\in S$의 근방은 곡률선(lines of curvature)을 좌표 곡선으로 갖도록 매개화될 수 있다.

Footnotes

1. 각 지점에서 벡터장이 가리키는 방향과 크기(속도)를 따라 움직이는 점이 그리는 경로 ↩

2. 과학자들은 물리 시스템을 관찰하며 특정 운동 경로를 따라 움직일 때 어떤 양이 항상 일정하게 유지된다는 사실(예를 들어, 에너지 보존법칙 또는 각운동량 보존법칙)을 발견했다. 만약 어떤 운동 경로(궤적)를 따라 움직일 때 항상 값이 일정한 함수 $f$를 찾아낼 수 있다면, 그 운동을 매우 쉽게 분석할 수 있다. 이 함수 $f$를 궤적의 제1적분이라고 한다. 제 1적분을 찾으면 궤적은 반드시 $f(x,y)=const.$를 만족하는 곡선이 된다. 즉, 궤적은 제1적분의 등고선($w\cdot \nabla f=0$)을 따라 움직이는 것이다. ↩

3. 방향장은 각 점에 ‘크기’는 없고 오직 뻗어 나가는 방향(기울기)만 가진 선(line)을 부여하는 것이다. 종이 위에 수많은 철가루를 뿌리고 그 아래에 자석을 놓는 장면을 상상하자. 각 철가루는 자기장의 방향을 따라 정렬하지만, 각 철가루 자체가 특정 크기의 힘을 가진 화살표는 아니다. 그저 그 지점의 ‘방향’을 보여주는 이 철가루들의 정렬 상태가 바로 ‘방향장’의 모습이다. ↩

4. “방향장이 미분가능하다”는 말은 “각 지점의 선들이 이웃한 점으로 갈수록 갑자기 휙 바뀌지 않고, 부드럽게(smoothly) 변한다”는 의미이다. 문제는 선 자체를 미분할 수는 없으니 여기서 대표 벡터장 $w$ 라는 도구가 등장한다. ↩

5. 적분 곡선은 방향장에 의해 정의된 직선들 중에서, 곡선이 접하는 모든 점에서 방향장과 일치하는 곡선을 의미한다. 이 곡선이 미분방정식을 ‘적분’하여 얻어지는 해(solution)이기 때문에 적분곡선이라 이름 붙여졌다. ↩