2-Appendix. A Brief Review of Continuity and Differentiability

${\mathbb{R}}^n$에서의 연속성 (Continuity in ${\mathbb{R}}^n$)

열린 공과 근방 (Open Ball and Neighborhood)

점 $p_0\in {\mathbb{R}}^n$을 중심으로 하고 반지름이 $ϵ>0$인 열린 공(open ball)은 집합 $B_{ϵ}(p_0)=\{p\in {\mathbb{R}}^n;|p-p_0|<ϵ\}$이다. 점 $p$를 포함하는 열린 집합을 $p$의 근방(neighborhood)이라 한다.

연속 함수 (Continuous Map)

사상 $F:U\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$이 점 $p\in U$에서 연속이라는 것은, 임의의 $ϵ>0$에 대해 $F(B_{\delta }(p))\subset B_{ϵ}(F(p))$를 만족하는 $\delta >0$가 존재함을 의미한다.

• $F$가 연속일 필요충분조건은 그 성분 함수들 $f_i:U\to \mathbb{R}$이 모두 연속인 것이다
• $F$가 연속일 필요충분조건은 모든 열린 집합 $V\subset {\mathbb{R}}^m$의 역상 $F^{-1}(V)$가 열린 집합인 것이다.
• 연속 함수의 합성은 연속 함수이다.

닫힌 집합 (Closed Set)

집합 $F\subset {\mathbb{R}}^n$이 자신의 모든 집적점(limit point)을 포함할 때 닫혀있다고 한다. 집합 $F$가 닫혀있는 것과 그 여집합 ${\mathbb{R}}^n-F$가 열려있는 것은 동치이다.

코시 수열 (Cauchy Sequence)

${\mathbb{R}}^n$ 안의 수열 $\{p_i\}$가 수렴할 필요충분조건은 코시 수열인 것이다.

중간값 정리 (Intermediate Value Theorem)

닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f$에 대하여 $f(a)$와 $f(b)$의 부호가 다르면, $f(c)=0$인 $c\in (a,b)$가 존재한다.

최대-최소 정리 (Extreme Value Theorem)

닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속인 함수는 그 구간 내에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.

${\mathbb{R}}^n$에서의 미분가능성 (Differentiability in ${\mathbb{R}}^n$)

미분가능한 함수 (Differentiable Function)

함수가 미분가능하다는 것은 모든 차수의 편도함수가 존재하고 연속임을 의미한다 ($C^{\infty }$ 등급). 미분가능한 함수에 대하여 혼합 편도함수는 미분 순서에 무관하다(예: $f_{xy}=f_{yx}$).

미분가능한 사상 (Differentiable Map)

사상 $F:U\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$의 모든 성분 함수가 미분가능할 때, $F$를 미분가능하다고 한다.

사상의 미분 (Differential of a Map)

미분가능한 사상 $F:U\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$의 점 $p\in U$에서의 미분(differential)은 선형사상 $d{F}_p:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$으로 정의된다. 이는 $p$를 지나는 곡선 $\alpha (t)$ (단, $\alpha (0)=p,{\alpha }^{\prime }(0)=w$)의 접선벡터 $w$를 곡선 $(F\circ \alpha )(t)$의 $F(p)$에서의 접선벡터 $(F\circ \alpha {)}^{\prime }(0)$으로 보낸다.

• $d{F}_p$의 표준기저에 대한 행렬은 야코비 행렬(Jacobian matrix)이다.

연쇄 법칙 (Chain Rule for Maps)

미분가능한 사상 $F$와 $G$의 합성에 대하여 $d(G\circ F{)}_p=d{G}_{F(p)}\circ d{F}_p$가 성립한다.

역함수 정리 (Inverse Function Theorem)

미분가능한 사상 $F:U\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$에 대하여, 만약 점 $p\in U$에서 미분 $d{F}_p$가 동형사상(isomorphism)이면, $F$는 $p$의 어떤 근방에서 미분동형사상(diffeomorphism)이다.¹

${\mathbb{R}}^n$의 열린 집합 $U$에서 ${\mathbb{R}}^n$으로 가는 함수 $F:U\to {\mathbb{R}}^n$가 $C^1$ 이고, 야코비 행렬식이 $0$이 아니면, 점 $p_0$와 그 상 $F(p_0)$를 각각 포함하는 적절한 열린 근방 $V$와 $W$가 존재하여, 함수 $F$는 $V$에서 $W$로 가는 미분동형사상(diffeomorphism)이 된다. 즉, $F$를 $V$에 국한시키면 이 함수는 전단사 함수이며, 그 역함수 $F^{-1}:W\to V$ 또한 존재하고 $C^1$ 함수가 된다.

Footnotes

1. 역함수 정리는 어떤 함수가 복잡한 비선형 함수라도 국소적으로 미분가능하고, 역함수를 가지면, 그 지점 근방에서는 함수를 마치 일대일 대응처럼 다룰 수 있고 그 역함수 또한 매끄럽다는 것을 보장해준다. ↩