2-7. A Characterization of Compact Orientable Surfaces

정칙, 콤팩트, 가향 곡면 $S$가 미분가능한 함수 $g$에 대하여 $S=g^{-1}(0)$의 형태로 표현될 수 있음을 증명한다.(여기서 $0$은 $g$의 정칙값이다)

관상 근방 (Tubular Neighborhood)의 존재성

정칙 곡면 $S$와 점 $p\in S$의 근방을 매개화하는 $\mathbf{x}:U\to S$가 주어졌을 때, $p$를 포함하는 근방 $W\subset \mathbf{x}(U)$와 어떤 양수 $ϵ>0$이 존재한다. 이때, $W$ 안의 모든 점 $q$를 중심으로 하는 길이가 $2ϵ$인 법선분들은 서로 겹치지 않는다. 즉, 모든 점은 국소적으로 관상 근방(tubular neighborhood)을 갖는다.¹

• 점 $p$ 근방의 매개화 $\mathbf{x}(u,v)$를 이용하여, 곡면 위의 점에 법선벡터를 더하는 사상 $F(u,v;t)=\mathbf{x}(u,v)+tN(u,v)$를 정의한다. $t=0$일 때 이 사상 $F$의 야코비 행렬식을 계산하면 $|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|$가 되어 $0$이 아니다. 역함수 정리(Inverse Function Theorem)에 의해, $F$는 점 $(u_0,v_0,0)$의 어떤 근방에서 일대일 함수이다. 이는 $p$의 근방 $W$와 충분히 작은 $ϵ>0$에 대해 법선분들이 서로 겹치지 않음을 보장한다.

유향 거리 함수 (Oriented Distance Function)

가향 곡면 $S$의 관상 근방 $V\subset {\mathbb{R}}^3$이 존재한다고 가정하면, $V$에서 정의된 유향 거리 함수(oriented distance function) $g:V\to \mathbb{R}$는 미분가능하며, $0$은 $g$의 정칙값이다.

• 유향 거리 함수 $g$는 국소적으로 명제 1의 사상 $F(u,v,t)$의 역함수 $F^{-1}(x,y,z)=(u(x,y,z),v(x,y,z),t(x,y,z))$의 세 번째 성분 함수 $t(x,y,z)$와 같다. $F$가 국소 미분동형사상이므로, 그 역함수 $F^{-1}$ 역시 미분가능하다. 따라서 $g$도 미분가능하다. $dF$가 특이하지 않으므로 $d(F^{-1})$ 역시 특이하지 않다. 이로부터 $\nabla g\ne 0$임을 보일 수 있어 $0$이 정칙값임을 증명한다.

콤팩트 집합의 성질 (Properties of Compact Sets)

콤팩트 집합(compact set)은 닫혀 있고(closed) 유계인(bounded) 집합이다. 콤팩트 집합은 다음의 주요 성질들을 만족한다.

1. 볼차노-바이어슈트라스 성질 (Bolzano-Weierstrass Property): 콤팩트 집합 $K$ 안의 모든 무한 부분집합은 $K$ 안에 적어도 하나의 집적점(limit point)을 갖는다.

2. 하이네-보렐 성질 (Heine-Borel Property): 콤팩트 집합 $K$의 모든 열린 덮개(open cover)는 유한 부분 덮개(finite subcover)를 갖는다.

3. 르베그 수 성질 (Lebesgue Number Property): 콤팩트 집합 $K$의 열린 덮개 $\{U_{\alpha }\}$에 대하여, 어떤 두 점 $p,q\in K$의 거리가 $d(p,q)<\delta$이면 그 두 점이 어떤 동일한 $U_{\alpha }$에 속하게 되는 양수 $\delta >0$가 존재한다.

정칙, 콤팩트, 가향 곡면 $S\subset {\mathbb{R}}^3$은 (균일한 두께를 갖는) 전역적인 관상 근방을 갖는다.

주요 정리 (Main Theorem)

정칙, 콤팩트, 가향 곡면 $S\subset {\mathbb{R}}^3$에 대하여, $S$를 포함하는 열린 집합 $V\subset {\mathbb{R}}^3$ 위에 정의된 미분가능한 함수 $g:V\to \mathbb{R}$가 존재하여, $0$은 $g$의 정칙값이고 $S=g^{-1}(0)$를 만족한다.²

Footnotes

1. 관상 근방(Tubular Neighborhood)이란 정칙 곡면 $S$에 일정한 ‘두께’를 부여한 영역으로 비유할 수 있다. 이 ‘두꺼워진’ 공간 $V\supset S$의 핵심적인 특징은, $V$ 안의 모든 점 $P$를 지나는 $S$의 법선이 유일하게 존재한다는 점이다. 즉, 관상 근방 안의 모든 점은 원래 곡면 $S$ 위의 어떤 한 점과 유일하게 짝지어진다. 이 근방은 $S$ 위의 각 점 $p$에서 법선 방향으로 뻗어 나가는 작은 열린 선분 $I_p$들의 합집합으로 구성되는데, 관상 근방이 존재한다는 것은 이 선분들의 길이($2ϵ$)를 충분히 작게 조절하면, 서로 다른 두 점 $p$와 $q$에서 시작된 선분 $I_p$와 $I_q$가 절대로 서로 만나거나 겹치지 않음($p\ne q$일 때 $I_p\cap I_q=\varnothing$)을 의미한다. 곡면이 매끄럽기(정칙 곡면이기) 때문에 국소적으로 보면 곡면의 곡률 때문에 법선들의 방향이 조금씩 달라지므로, 법선분들의 길이를 아주 짧게 만들면 서로 부딪히지 않는다. 특히 곡면이 콤팩트(compact)할 경우, 곡면 전체에 적용되는 균일한 두께 $ϵ$을 찾을 수 있다. ↩

2. 관상 근방이 있다는 사실은, 곡면 주변의 모든 점에서 곡면까지의 거리를 유일한 방법으로 잴 수 있는 ‘측정 가능한 영역’을 보장해줍니다. 이 영역 위에서 ‘부호가 있는 거리’라는 간단한 아이디어로 함수 $g$를 정의하면, 이 함수는 자연스럽게 $S$를 자신의 영점 집합($g^{-1}(0)$)으로 가지며, 동시에 $0$을 정칙값으로 만드는 모든 조건을 만족하게 된다. ↩