2-6. Orientation of Surfaces

가향 곡면(Orientable Surface)

매개화 $\mathbf{x}(u,v)$는 각 점에서의 접평면에 순서 기저(ordered basis) $\{{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v\}$를 부여함으로써 향을 결정한다. 만약 다른 매개화 $\bar{\mathbf{x}}(\bar{u},\bar{v})$를 사용하면, 두 기저 $\{{\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v\}$와 $\{{\bar{\mathbf{x}}}_{\bar{u}},{\bar{\mathbf{x}}}_{\bar{v}}\}$는 매개변수 변환의 야코비 행렬식(Jacobian determinant) $\frac{\partial (u,v)}{\partial (\bar{u},\bar{v})}$가 양수일 때만 같은 향을 결정한다.¹

정칙 곡면 $S$의 좌표근방 모임이 곡면 $S$를 덮고 어떤 점 $p\in S$가 이 집합의 두 좌표근방에 속한다면, 그 점에서의 좌표변환의 야코비 행렬식이 항상 양수인 경우, $S$는 가향(orientable)이라고 한다. 이러한 좌표근방들의 집합을 선택하는 것을 $S$에 향을 부여한다(orientation)고 한다.

단위 법선벡터장과 곡면의 향 (Unit Normal Vector Fields and Orientation of Surfaces)

곡면 위의 한 점 $p$에는 그 점에 접하는 평면, 즉 접평면($T_p(S)$)이 존재한다. 이 접평면에 수직인 벡터를 법선벡터(normal vector)라 한다. 각 점에는 서로 반대 방향을 가리키는 두 개의 단위(길이가 $1$인) 법선벡터가 존재한다.

단위 법선벡터장(field of unit normal vectors)이란, 곡면의 모든 점에 대해 이러한 단위 법선벡터를 하나씩, 일관되고 부드럽게(differentiable) 선택하여 붙여놓은 것을 의미한다. 여기서 ‘부드럽게’라는 조건은, 한 점에서 이웃한 점으로 이동할 때 법선벡터의 방향이 갑자기 뒤집히지 않고 연속적으로 변해야 함을 뜻한다.

법선벡터장과 가향성(Orientability)의 관계

정칙 곡면 $S$가 가향(orientable)인 것과, 그 곡면 위에 미분가능한 단위 법선벡터장($N$)이 존재하는 것은 서로 동치(equivalent)이다.

가향 곡면 (Orientable Surface)

예를 들어, 구(sphere)는 가향 곡면이다. 구의 모든 점에서 ‘바깥쪽’을 향하는 법선벡터를 일관되게 선택할 수 있으며, 이 벡터들의 장은 구 전체에 걸쳐 부드럽게 정의된다.

비가향 곡면 (Non-orientable Surface)

반면 뫼비우스의 띠에서는 이것이 불가능하다. 한 점에서 ‘위’를 향하는 법선벡터를 정하고 띠를 따라 한 바퀴 돌면, 출발점으로 돌아왔을 때 법선벡터는 ‘아래’를 향하게 된다. 이처럼 방향의 일관성을 유지할 수 없으므로, 뫼비우스의 띠 위에는 전체를 덮는 부드러운 단위 법선벡터장이 존재하지 않는다. 따라서 뫼비우스의 띠는 비가향 곡면이다.

단위 법선벡터장의 구체적인 구성

단위 법선벡터장은 두 가지 주요 방법으로 구성될 수 있으며, 이러한 구성의 가능성 자체가 가향성을 보여준다.

1. 매개화($\mathbf{x}(u,v)$) 이용: 각 좌표 조각에서 법선벡터장 $N$은 접선벡터들의 외적으로 정의된다.

$$N=\frac{{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v}{|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|}$$

가향 곡면은 여러 조각들의 이러한 $N$이 겹치는 부분에서 서로 같은 방향을 가리키도록 만들 수 있는 곡면이다.

2. 음함수($f(x,y,z)=c$) 이용: 만약 곡면이 정칙값 $c$의 역상 $S=f^{-1}(c)$으로 표현된다면, 그래디언트 벡터($\nabla f$)는 항상 곡면에 수직이다. 따라서 다음과 같이 곡면 전체에 걸친 법선벡터장을 즉시 정의할 수 있다.

$$N=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$$

이러한 법선벡터장이 존재하기 때문에, 정칙값의 역상으로 표현되는 모든 곡면은 가향이다.

Footnotes

1. 어떤 곡면에 향을 부여할 수 있다(orientable)는 것은 그 곡면의 “안쪽”과 “바깥쪽”을 전체적으로 모순 없이 구분할 수 있다는 뜻이다. ↩