2-4. The Tangent Plane;The Differential of a Map

접선벡터(Tangent Vector)

정칙 곡면 $S$ 위의 점 $p$에 대하여, 미분가능한 곡선 $\alpha :(-ϵ,ϵ)\to S$가 $\alpha (0)=p$를 만족할 때, 벡터 ${\alpha }^{\prime }(0)$를 점 $p$에서 곡면 $S$에 대한 접선벡터(tangent vector)라고 한다.

정칙 곡면 $S$의 매개화 $\mathbf{x}:U\subset {\mathbb{R}}^2\to S$와 점 $q\in U$에 대하여, 점 $\mathbf{x}(q)$에서의 접선벡터들의 집합은 $2$차원 벡터 부분공간 $d{\mathbf{x}}_q({\mathbb{R}}^2)\subset {\mathbb{R}}^3$와 일치한다.

접평면 (Tangent Plane)

위의 정리에 의해 벡터 공간 $d{\mathbf{x}}_q({\mathbb{R}}^2)$는 매개화 $\mathbf{x}$의 선택에 의존하지 않는다. 이 평면은 점 $p=\mathbf{x}(q)$에서 곡면 $S$의 접평면(tangent plane)이라 하고 $T_p(S)$로 표기한다.

• 매개화 $\mathbf{x}$는 $T_p(S)$의 기저 $\{\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u}(q),\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}(q)\}$를 결정하며, 이를 $\mathbf{x}$에 연관된 기저(associated basis)라 한다. 간단히 ${\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v$로 표기하기도 한다.
• 접선벡터 $w\in T_p(S)$의 이 기저에 대한 좌표는 다음과 같다. $w$는 곡선 $\alpha (t)=\mathbf{x}(u(t),v(t))$의 속도벡터, 즉 $w={\alpha }^{\prime }(0)$으로 표현된다. 여기서 $\mathbf{x}(u(0),v(0))=p$이다.

$$w={\alpha }^{\prime }(0)=\frac{d}{dt}(\mathbf{x}\circ (u(t),v(t))){|}_{t=0}={\mathbf{x}}_u(q)u^{\prime }(0)+{\mathbf{x}}_v(q)v^{\prime }(0)$$

따라서 $w$의 좌표는 $(u^{\prime }(0),v^{\prime }(0))$이다.

접평면의 방정식 (Equation of the Tangent Plane)

1. $S$가 정칙값 $c$의 역상 $f^{-1}(c)$으로 주어질 때, 점 $p_0=(x_0,y_0,z_0)\in S$에서의 접평면의 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{\partial f}{\partial x}(p_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(p_0)(y-y_0)+\frac{\partial f}{\partial z}(p_0)(z-z_0)=0$$

2. $S$가 미분가능한 함수 $z=f(x,y)$의 그래프로 주어질 때, 점 $p_0=(x_0,y_0)$에서의 접평면의 방정식은 다음과 같다.

$$z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(p_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(p_0)(y-y_0)$$

사상의 미분 (The Differential of a Map)

두 정칙 곡면 $S_1,S_2$와 미분가능한 사상 $\varphi :V\subset S_1\to S_2$ ($V$는 $S_1$의 열린 집합)가 주어졌다고 하자. 점 $p\in V$에 대하여, 모든 접선벡터 $w\in T_p(S_1)$는 $w={\alpha }^{\prime }(0)$인 미분가능한 곡선 $\alpha :(-ϵ,ϵ)\to V$ ($\alpha (0)=p$)를 갖는다. 이때 곡선 $\beta =\varphi \circ \alpha$는 $\beta (0)=\varphi (p)$를 만족하며, 따라서 ${\beta }^{\prime }(0)$는 $T_{\varphi (p)}(S_2)$의 벡터이다.

$d{\varphi }_p:T_p(S_1)\to T_{\varphi (p)}(S_2)$로 정의되는 사상 $d{\varphi }_p(w)={\beta }^{\prime }(0)$는 선형이며, 이를 점 $p$에서 $\varphi$의 미분(differential)이라 한다.

위의 논의에서 주어진 $w$에 대하여, 벡터 ${\beta }^{\prime }(0)$는 곡선 $\alpha$의 선택에 의존하지 않으며, 사상 $d{\varphi }_p$는 선형이다.

법선벡터와 곡면 간의 각 (Normal Vector and Angle Between Surfaces)

점 $p\in S$에서 접평면 $T_p(S)$에 수직인 ${\mathbb{R}}^3$의 단위벡터를 단위 법선벡터(unit normal vector)라 한다. 이러한 벡터는 각 점마다 두 개가 존재한다. 점 $p$를 지나고 단위 법선벡터를 포함하는 직선을 법선(normal line)이라 한다.

두 정칙 곡면 $S_1,S_2$가 점 $p$에서 만날 때, 두 곡면 사이의 각은 $p$에서의 두 접평면 $T_p(S_1)$과 $T_p(S_2)$ 사이의 각으로 정의된다. 이는 점 $p$에서의 두 법선벡터 사이의 각과 같다.

• 매개화 $\mathbf{x}:U\to S$가 주어지면, 각 점 $q\in \mathbf{x}(U)$에서 단위 법선벡터장 $N$을 다음 식으로 명확히 선택할 수 있다.

$$N(q)=\frac{{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v}{|{\mathbf{x}}_u\wedge {\mathbf{x}}_v|}(q)$$