2-3. Change of Parameters; Differentiable Functions on Surface

곡면은 국소적인 성질로 이해된다. 즉, 곡면 $S$ 위의 한 점 $p$의 성질은 해당 점을 포함하는 매개함수 $\mathbf{x}(u,v)$에 의해 좌표계로 설명할 수 있다. 이러한 국소 좌표계는 여러 개 존재할 수 있으므로, 서로 다른 매개화 간의 변환이 미분가능해야만 그 위에서 정의되는 함수들의 미분 가능성 또한 좌표계에 의존하지 않게 정의된다.

매개변수의 변환(Change of Parameters)

정칙 곡면 $S$ 위의 한 점 $p\in S$가 두 개의 매개화 $\mathbf{x}:U\subset {\mathbb{R}}^2\to S$, $\mathbf{y}:V\subset {\mathbb{R}}^2\to S$ 에 의해 기술된다고 하자. 즉, $p\in \mathbf{x}(U)\cap \mathbf{y}(V)=W$ 라면, 다음과 같은 좌표변환 함수

$$h={\mathbf{x}}^{-1}\circ \mathbf{y}:{\mathbf{y}}^{-1}(W)\to {\mathbf{x}}^{-1}(W)$$

는 미분동형사상(diffeomorphism)이다.

• $h$는 미분가능하며
• 역함수 $h^{-1}$도 미분가능하다.

따라서 좌표변환이 가능함을 수학적으로 보장한다. 또한 야코비 행렬식다음과 같다.

$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (\xi ,\eta )}\cdot \frac{\partial (\xi ,\eta )}{\partial (u,v)}=1$$

곡면 위의 함수의 미분가능성

함수 $f:V\subset S\to \mathbb{R}$가 $p\in V$에서 미분가능하다는 것은, 어떤 매개화 $\mathbf{x}:U\subset {\mathbb{R}}^2\to S$가 $p\in \mathbf{x}(U)\subset V$를 만족할 때, 함수의 성분 함수

$$f\circ \mathbf{x}:U\to \mathbb{R}$$

가 $x^{-1}(p)$에서 미분가능하다는 것을 뜻한다.

$$f\text{ is differentiable at }p⟺f\circ \mathbf{x}\text{ is differentiable at }{\mathbf{x}}^{-1}(p)$$

• 이 정의는 좌표계 $\mathbf{x}$의 선택에 의존하지 않음.
• 왜냐하면 $f\circ \mathbf{y}=f\circ \mathbf{x}\circ h$이고, $h$가 미분가능하므로 합성도 미분가능하다.

1. 고도 함수 (Height function) 단위 벡터 $v\in {\mathbb{R}}^3$에 대해

$$h(p)=p\cdot v(p\in S)$$

는 고도 함수이며 $S$ 위에서 미분가능하다.

2. 거리 제곱 함수 고정된 점 $p_0\in {\mathbb{R}}^3$에 대해

$$f(p)=|p-p_0{|}^2$$

는 $S$ 위에서 미분가능하다. (거리 $|p-p_0|$는 $p=p_0$에서 미분 불가능이므로 제곱을 사용)

미분가능성

두 정칙 곡면 $S_1,S_2$가 주어졌을 때, 열린 집합 $V_1\subset S_1$에 대해 $\varphi :V_1\to S_2$가 연속 함수라고 하자. 이때 $\varphi$가 $p\in V_1$에서 미분가능하다는 것은, 매개화 $x_1:U_1\to S_1$, $x_2:U_2\to S_2$가 존재하여 다음 합성함수

$$x_2^{-1}\circ \varphi \circ x_1:U_1\to U_2$$

가 ${\mathbf{x}}_1^{-1}(p)$에서 미분가능한 경우이다.

회전곡면 (Surface of Revolution)

회전곡면은 평면상의 정칙곡선 $C\subset {\mathbb{R}}^2$를 고정된 축을 중심으로 회전시켜 생성되는 곡면이다. 곡선 $C$가 다음과 같이 주어졌을 때,

$$x=f(v),z=g(v),a<v<b,f(v)>0$$

회전각 $u$를 도입하여 회전곡면의 매개화는 다음과 같이 표현된다.

$$\mathbf{x}(u,v)=(f(v)\cos u,f(v)\sin u,g(v)),0<u<2\pi ,a<v<b$$

• 생성곡선 (Generating Curve): $xz$-평면 위의 곡선 $C=(f(v),g(v))$, 곡면 전체를 회전시켜 생성한다.
• 회전축 (Axis of Revolution): 곡선이 회전하는 축으로 여기서는 $z$-축이다.
• 자오선 (Meridian): 생성곡선이 회전하면서 위치를 바꾼 곡선. 각 고정된 $u$에 대해 $v\mapsto \mathbf{x}(u,v)$로 정의되는 곡선. 곡면의 한 점에서 축 방향으로 이어지는 경로.
• 평행선 (Parallel): 고정된 $v$에서 $u$만 변하게 하여 얻는 원형 궤도. 곡면을 따라 생성된 원, 즉 $v=\text{const}$인 곡선.

특이점 (Singular Point)

회전곡면 $\mathbf{x}(u,v)$에서 특이점이란, 야코비 행렬의 두 열벡터가 선형종속이 되는 점이다. 이는 곧 다음 조건에서 발생한다.

$$\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}=0$$

회전곡면에서 이런 특이점은 보통 $f(v)=0$인 지점에서 발생하며, 이는 생성곡선이 축에 닿을 때 나타난다.예를 들어 구면의 극점이나 원뿔의 꼭짓점이 이에 해당한다.

접곡면 (Tangent Surface)

정칙 곡선 $\alpha :I\to {\mathbb{R}}^3$에 대해, 곡선의 각 점 $\alpha (t)$에서 그 점을 지나는 접선 방향으로 직선을 따라 확장하면, 이 직선들의 자취는 하나의 곡면을 형성한다. 이 곡면을 접곡면(tangent surface)라 하며, 다음과 같이 매개화된다.

$$\mathbf{x}(t,v)=\alpha (t)+v{\alpha }^{\prime }(t),t\in I,v\in \mathbb{R}$$

• $t$는 곡선 $\alpha (t)$의 매개변수
• $v$는 곡선의 각 점에서의 접선 방향 직선 위의 거리 파라미터

곡률이 $0$이 아니라고 가정하면

$$\begin{array}{c}\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}={\alpha }^{\prime }(t)+v{\alpha }^{\prime \prime }(t),\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}={\alpha }^{\prime }(t)\\ \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\wedge \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}=v{\alpha }^{\prime \prime }(t)\wedge {\alpha }^{\prime }(t)\ne 0(t,v\in U)\end{array}$$