2-2. Regular Surfaces; Inverse Images of Regular Value

집합 $S \subseteq R^{3}$ 가 정칙 곡면이라는 것은, 각 점 $p \in S$ 에 대해 다음 조건을 만족하는 매개화(mapping) $x : U \subseteq R^{2} \to R^{3}$ 가 존재함을 의미한다.

즉, 매개함수 $x (u, v)$ 를 쓰면,

x (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v))

이고, 모든 점에서 다음 벡터가 선형독립이어야 한다.

x_{u} = \frac{\partial x}{\partial u}, x_{v} = \frac{\partial x}{\partial v}, with x_{u} \times x_{v} \neq = 0

이 조건을 정칙성 조건(regularity condition) 이라 한다.

매끄러운 함수 $F : R^{3} \to R$ 와 실수 $a \in R$ 에 대하여, 점 $p \in F^{- 1} (a)$ 에서 기울기 벡터 $\nabla F (p) \neq = 0$ 일 때, $a$ 를 함수 $F$ 의 정칙값(regular value) 이라 한다.

\nabla F (p) = (\frac{\partial F}{\partial x} (p), \frac{\partial F}{\partial y} (p), \frac{\partial F}{\partial z} (p)) \neq = 0

를 만족하는 $a$ 가 정칙값이다.

정칙값 $a$ 에 대해, 다음 역상(inverse image) 집합이 정칙 곡면이 된다.

S = F^{- 1} (a) = {(x, y, z) \in R^{3} : F (x, y, z) = a}

이는 기하적으로 함수 $F$ 가 상수 값을 갖는 레벨 곡면(level surface)을 의미한다. 이때 각 점에서의 접평면 $T_{p} S$ 는 다음과 같이 표현된다.

\nabla F (p) \cdot (X - p) = 0, X = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in R^{3}

즉, 기울기 벡터 $\nabla F (p)$ 가 곡면의 법선 벡터(normal vector)가 된다.

단위원구는 함수 $F : R^{3} \to R$ 를

F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

로 놓았을 때, $F^{- 1} (1)$ 로 표현할 수 있다. 이때 모든 점에서

\nabla F (x, y, z) = (2 x, 2 y, 2 z) \neq = 0

이므로, $a = 1$ 은 정칙값이 되고, 그 역상인 구면 $S^{2}$ 는 정칙 곡면이다.

함수 $x : U \subseteq R^{2} \to R^{3}$ 를 통해 주어진 곡면이 정칙 곡면인지 판별하기 위해서는, 다음 행렬식의 조건을 확인하면 된다.

매개함수의 야코비 행렬(Jacobian Matrix)이

d x_{q} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial z}{\partial v}

로 주어질 때, 이 행렬의 두 열벡터가 독립적이라는 조건은 적어도 하나의 $2 \times 2$ 소행렬식(minor determinant)이 $0$ 이 아니라는 것과 동치이다.

(\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )}, \frac{\partial ( x , z )}{\partial ( u , v )}, \frac{\partial ( y , z )}{\partial ( u , v )}) \neq = 0

따라서

rank (d x_{q}) = 2

이면, 이 곡면은 정칙 곡면이다.

Ray