1-7. Global Properties of Plane Curves

기본 개념

• 닫힌 곡선(Closed curve) 매끄러운 매개화 곡선 $\alpha :[a,b]\to {\mathbb{R}}^2$으로서, 모든 도함수가 끝점에서 일치하는 곡선.

$$\alpha (a)=\alpha (b),{\alpha }^{\prime }(a)={\alpha }^{\prime }(b),{\alpha }^{\prime \prime }(a)={\alpha }^{\prime \prime }(b),\cdots$$

• 단순 폐곡선(Simple closed curve) 닫힌 곡선 중 자기 교차점이 없는 곡선.

• 볼록 곡선(Convex curve) 임의의 점에서 접선을 그었을 때 곡선 전체가 그 접선의 한쪽에 놓이는 곡선.

회전지표 (Rotation Index)

단순 닫힌 곡선을 호의 길이 $s$로 매개화하여 접선 벡터를

$$t(s)=(x^{\prime }(s),y^{\prime }(s)),|t(s)|=1$$

라 하면, 접선벡터 $t(s)$가 곡선을 한 바퀴 따라 움직이면서 전체적으로 회전한 각도 $\theta (s)$는 다음과 같이 곡률 $k(s)$를 통해 표현된다.

$${\int }_0^{l}k(s)ds=\theta (l)-\theta (0)=2\pi I,I\in \mathbb{Z}$$

단순 닫힌 평면곡선 $C$의 회전 지표(rotation index)는 정확히 $\pm 1$이다. 즉, 단순 닫힌 곡선은 접선 벡터가 정확히 한 바퀴 회전한다는 의미이다.

등주 부등식 (Isoperimetric Inequality)

등주 부등식은 역사적으로 고대 그리스에서부터 다루어진 기하학적 문제로, 주어진 길이로 가장 큰 면적을 둘러싸는 도형이 원임을 증명하는 결과이다. 단순 폐곡선 $C$의 길이를 $l$, 둘러싸는 면적을 $A$라고 하면, 등주 부등식은 다음과 같다.

$$l^2-4\pi A\ge 0$$

등주 부등식은 단순 폐곡선의 길이와 면적 사이의 관계를 나타내며, 등호는 원일 때만 성립한다.

네 꼭짓점 정리 (Four-Vertex Theorem)

단순 닫힌 볼록 곡선은 적어도 네 개의 꼭짓점(곡률의 극값을 갖는 점)을 가진다. 곡선을 호의 길이 $s$로 매개화하여 곡률을 $k(s)$로 나타낼 때, 꼭짓점의 정의는 다음과 같다.

$$k^{\prime }(s)=0$$

임의의 실수 $A,B,C$에 대하여 닫힌 곡선 $\alpha (s)=(x(s),y(s))$에 대해 다음 등식이 성립한다.

$${\int }_0^l(Ax(s)+By(s)+C)k^{\prime }(s)ds=0$$

이 등식을 활용하여, 곡률 $k(s)$가 만약 극값(최대, 최소)을 가지는 점이 2개 이하라면 모순이 발생함을 증명할 수 있다. 따라서 곡선은 최소 4개의 꼭짓점을 가져야 한다는 결론을 얻는다.

코시-크로프턴 공식 (Cauchy-Crofton Formula)

곡선의 길이를 직접 측정하지 않고, 정칙 평면 곡선 $C$의 길이 $l$을 교차하는 직선의 수로 측정하는 공식이다. 평면 내 직선을 두 매개변수 $p,\theta$로 나타내면, 직선 방정식은 다음과 같다.

$$x\cos \theta +y\sin \theta =p$$

곡선과 직선이 교차하는 점의 수를 $n(p,\theta )$라 할 때, 코시-크로프턴 공식은 다음과 같은 이중 적분으로 주어진다.

$$\iint n(p,\theta )dpd\theta =2l$$

다음은 평면에서의 그린 정리(Green’s Theorem) 에 대한 정의와 수학적 표현, 의의를 설명한 것이다.

평면에서의 그린 정리 (Green’s Theorem in the Plane)

평면에서의 그린 정리는 2차원 영역 위에서의 이중적분(double integral)과, 그 경계 곡선에서의 선적분(line integral)을 연결시켜주는 정리이다. 이는 미분 형식과 벡터장 해석에서 나타나는 스토크스 정리(Stokes’ theorem)의 특수한 경우로 볼 수도 있다.

수학적 표현

영역 $R\subset {\mathbb{R}}^2$ 이 다음 조건을 만족한다고 하자.

• $R$은 닫힌 곡선 $C$로 둘러싸인 영역이다.
• 곡선 $C$는 양의 방향으로(반시계 방향) 매개변수화되어 있다.

이때 두 개의 연속적으로 미분가능한 함수 $P(x,y),Q(x,y)$에 대해 다음이 성립한다.

$${\oint }_{C}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\iint }_R\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

• 좌변: 폐곡선 $C$ 위에서의 선적분
• 우변: 영역 $R$에서의 이중적분

벡터장 형태의 표현

벡터장 $\mathbf{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$로 나타내면, 그린 정리는 다음과 같이 간단한 형태로도 표현 가능하다.

$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_R\left(\nabla \times \mathbf{F}\right)\cdot \mathbf{k}dxdy$$

이때, $\mathbf{k}$는 z축 방향의 단위벡터이며,

$$\nabla \times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf{k}$$

그린 정리를 이용한 넓이 계산

곡선 $C$로 둘러싸인 평면의 영역 $R$의 면적 $A$를 구하고 싶다고 할 때, 그린 정리를 이용하면 영역 내부에서의 이중적분을 경계 곡선 위에서의 간단한 선적분 으로 쉽게 바꿔 계산할 수 있다.

평면 곡선 $C$가 다음과 같이 반시계 방향으로 매개변수화 되어있다고 하자.

$$C:\alpha (t)=(x(t),y(t)),t\in [a,b]$$

이때, 그린 정리를 이용한 영역 $R$의 넓이 공식은 다음과 같다.¹

$$\text{Area}(R)=\frac{1}{2}{\oint }_{C}xdy-ydx$$

여기서 선적분은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$$\text{Area}(R)=\frac{1}{2}{\int }_a^b\left(x(t)y^{\prime }(t)-y(t)x^{\prime }(t)\right)dt$$

예시: 원의 면적 계산

예를 들어 반지름 $r$인 원의 면적을 이 방법으로 쉽게 구할 수 있다.

$$C:x(t)=r\cos t,y(t)=r\sin t,t\in [0,2\pi ]$$

그린 정리로 계산한 면적은

$$\begin{array}{rl}\text{Area}(R)& =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\left[(r\cos t)(r\cos t)-(r\sin t)(-r\sin t)\right]dt\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }(r^2{\cos }^{2}t+r^2{\sin }^{2}t)dt\\ & =\frac{r^2}{2}{\int }_0^{2\pi }1dt\\ & =\pi r^2\end{array}$$

Footnotes

1. 면적을 구하기 위해 그린 정리의 벡터장 $\mathbf{F}(x,y)=(P,Q)$를 특별히 $P=-\frac{y}{2}$, $Q=\frac{x}{2}$로 설정한다. 이때 그린 정리의 우변인 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$를 계산하면 $\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{y}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$이 되어 피적분함수가 정확히 $1$로 설정된다. 따라서 그린 정리의 우변이 ${\iint }_{R}1dxdy=\text{Area}(R)$로 영역의 넓이를 나타내고, 좌변의 선적분과 같게 되어 결국 면적이 $\text{Area}(R)=\frac{1}{2}{\oint }_C(xdy-ydx)$로 간단히 표현된다. ↩