1-6. The Local Canonical Form

국소 표준형(Local Canonical Form)

정칙 곡선 $\alpha (s)$에 대해, 어떤 점 $s_0$의 근방에서 곡선의 기하적 구조를 단순하게 기술하기 위해 Frenet basis을 기준으로 좌표계를 도입한다.

곡선을 $s_0=0$으로 두고 Taylor 전개를 수행하면,

$$\alpha (s)=\alpha (0)+s{\alpha }^{\prime }(0)+\frac{s^2}{2}{\alpha }^{\prime \prime }(0)+\frac{s^3}{6}{\alpha }^{\prime \prime \prime }(0)+R$$

이며, 여기서 잔차 $R$은 ${\lim }_{s\to 0}R/s^3=0$이다.

${\alpha }^{\prime }(0)=t$, ${\alpha }^{\prime \prime }(0)=kn$, ${\alpha }^{\prime \prime \prime }(0)=k^{\prime }n-k^{2}t-k\tau b$를 대입하여 정리하면,

$$\alpha (s)-\alpha (0)=\left(s-\frac{k^2}{6}{s}^3\right)t+\left(\frac{k}{2}{s}^2+\frac{k^{\prime }}{6}{s}^3\right)n-\frac{k\tau }{6}{s}^{3}b+R$$

이렇게 Frenet basis $(t,n,b)$에 대해 $x(s),y(s),z(s)$ 좌표를 가지는 국소 표준형 표현(local canonical form)은 다음과 같다:

$$\begin{array}{rl}x(s)& =s-\frac{k^2}{6}{s}^3+R_x\\ y(s)& =\frac{k}{2}{s}^2+\frac{k^{\prime }}{6}{s}^3+R_y\\ z(s)& =-\frac{k\tau }{6}{s}^3+R_z\end{array}$$

즉, $x$축은 접선(tangent) 방향, $y$축은 주법선(normal) 방향, $z$축은 종법선(binomal) 방향으로 하는 좌표계에서 곡선을 근사한다.

기하적 응용

비틀림의 부호에 따른 의미

$z(s)=-\frac{k\tau }{6}{s}^3+\cdots$ 에서 알 수 있듯, torsion $\tau$의 부호는 곡선이 접촉 평면을 어떤 방향으로 관통하는지를 나타낸다.

• $\tau >0$: 곡선은 접촉면을 종법선(binomal)의 반대 방향으로 관통한다.
• $\tau <0$: 곡선은 접촉면을 종법선(binomal) 방향으로 관통한다.

접촉 평면(osculating plane)

접척 평면은 $\alpha (s)$에서의 접선과 주법선 방향이 이루는 평면이다. 접촉 평면은 다음 조건을 만족하는 평면의 극한으로 정의할 수 있다:

• 한 점 $\alpha (s)$에서의 접선
• $\alpha (s+h)$ 점을 포함하는 평면

$y(s)=\frac{k}{2}{s}^2+\frac{k^{\prime }}{6}{s}^3+\cdots$ 이므로, 곡률 $k>0$인 경우 $s$가 충분히 작을 때 $y(s)\ge 0$이고 $y(s)=0$일 때는 $s=0$ 뿐이다.

• 곡선의 자취 $\alpha (J)$는 주법선 방향이 가리키는 쪽의 반공간 안에 국소적으로 위치한다.