1-5. The Local Theory of Curves Parametrized by Arc Length

프레네 공식

곡선 $\alpha (s)$가 호의 길이 $s$로 매개변수화되어 있다고 가정하자. $t(s)={\alpha }^{\prime }(s)$ 일 때 각 점 $s$에 대해, 단위 접벡터 $t(s)$, 법선벡터 $n(s)$, 종법선벡터 $b(s)$로 구성된 직교 기저 $(t,n,b)$를 프레네 구조(Frenet–Serret frame)라고 한다. 이 벡터들은 다음의 프레네 공식을 만족한다¹

$$\begin{array}{rl}{t}^{\prime }(s)& =k(s)n(s)\\ n^{\prime }(s)& =-k(s)t(s)-\tau (s)b(s)\\ b^{\prime }(s)& =\tau (s)n(s)\end{array}$$

• $k(s)$: 곡률 (curvature), 곡선이 얼마나 휘어졌는지

• $\tau (s)$: 비틀림 (torsion), 곡선이 얼마나 평면에서 벗어나는지

• $t(s)$: 단위 접벡터

• $n(s)$: 곡률 방향의 법선벡터 (곡선이 휘는 방향)

• $b(s)$: $t\wedge n$으로 정의되는 종법선벡터

• $(t,n)$ 평면은 접촉법면 (osculating plane)

• $(n,b)$ 평면은 법평면 (normal plane)

• $(t,b)$ 평면은 전직평면 (rectifying plane)이라 한다.

곡률, 비틀림률 계산

• 곡률²

$$\kappa (t)=\frac{|{\alpha }^{\prime }(t)\wedge {\alpha }^{\prime \prime }(t)|}{|{\alpha }^{\prime }(t){|}^3}$$

• 비틀림률³

$$\tau (ts)=\frac{({\alpha }^{\prime }(t)\wedge {\alpha }^{\prime \prime }(t))\cdot {\alpha }^{\prime \prime \prime }(t)}{|{\alpha }^{\prime }(t)\wedge {\alpha }^{\prime \prime }(t){|}^2}$$

• 평면 곡선 $\alpha (s)=(x(t),y(t))\in {\mathbb{R}}^2$의 경우, 곡률은

$$\kappa (t)=\frac{x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)}{(x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2{)}^{3/2}}$$

• $\alpha (s)$가 구면 위의 곡선이고, $R$을 곡률 반경, $T$을 비틀림 반경이라고 하면

$$R^2+(R^{\prime }{)}^2{T}^2=\text{const.}$$

국소 곡선 이론의 기본 정리(Fundamental Theorem of Local Theory)

미분가능한 함수 $k(s)>0$, $\tau (s)$가 주어지면, 유일한 정칙 곡선 $\alpha :I\to {\mathbb{R}}^3$이 존재하며 이러한 곡선은 강체 운동에 의해서만 달라질 뿐, 본질적으로 동일하다. 즉, 동일한 $k(s),\tau (s)$를 가지는 두 곡선은 회전 및 평행이동만으로 서로 대응된다.

Footnotes

1. $\frac{d}{ds}\left[\begin{array}{c}t\\ n\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& \kappa & 0\\ -\kappa & 0& \tau \\ 0& -\tau & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}t\\ n\\ b\end{array}\right]$, $A^T=-A$ 이므로 $A$는 skew-symmetric matrix (반대칭 행렬)이다. $v\cdot Av=0$ 이므로 $Av$항상 $v$에 수직이다. 반대칭 행렬은 프레임이 길이를 보존한 채 회전(크기는 유지하고 방향만 바꾸는 유일한 방법)만 한다는 걸 수학적으로 보장해 주는 구조이다. ↩

2. 속도와 가속도의 외적의 크기를 속도 보정으로 나눈다. ↩

3. 속도와 가속도의 외적의 방향이 얼마나 회전하는가 측정한다. ↩