정칙 곡선 (Regular Curve)
매개변수화된 곡선 에 대해, 모든 에서 도함수 이면 는 정칙 곡선이라 한다
- 도함수 는 에서의 접선 벡터(tangent vector)를 나타낸다.
- 만약 인 점이 존재하면 그 점은 특이점(singular point)이라 하며, 이 장에서는 이런 특이점이 없는 곡선만을 다룬다.
호의 길이 (Arc Length)
정칙 곡선 에 대해 기준점 에서 시작해 까지의 호의 길이 는 다음과 같이 정의된다.
- 는 속도 벡터의 크기.
- 는 에 대한 미분 가능한 함수이며 이다.
호의 길이로 매개변수화
만약 이면, 즉 속도 벡터의 크기가 항등적으로 1이면 는 곡선의 호의 길이와 같다. 이 경우 는 호의 길이에 의해 매개변수화된 곡선이라 한다.
- 이 경우, 곡선은 ‘등속도’로 진행되며, 곡선의 여러 기하적 성질을 단순하게 표현할 수 있다.
방향의 변화 (Change of Orientation)
호의 길이 에 대해 인 곡선 는 와 동일한 자취(trace)를 가지지만 진행 방향이 반대이다. 이를 방향의 변화라고 한다.