1-2. Parametrized Curves

곡선

매개변수화된 곡선(parametrized curve)이란, 열린 구간 $I=(a,b)\subset \mathbb{R}$에서 ${\mathbb{R}}^3$으로 가는 미분 가능한 함수 $\alpha :I\to {\mathbb{R}}^3$를 의미한다.

이 함수는 각 실수 $t\in I$에 대해 공간상의 점 $\alpha (t)=(x(t),y(t),z(t))$를 대응시키며, $x(t),y(t),z(t)$는 모두 미분 가능 함수이다.

• $t$는 곡선의 매개변수(parameter) 라고 한다.
• $\alpha (I)\subset {\mathbb{R}}^3$는 자취(trace) 라고 하며, 이는 곡선이 공간에서 지나가는 점들의 집합이다.

• 함수 $\alpha$의 도함수 ${\alpha }^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$는 주어진 시각 $t$에서의 속도 벡터(velocity vector) 혹은 접선 벡터(tangent vector) 라고 한다.

내적과 노름

$$|u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2},u\cdot v=|u||v|\cos \theta$$

1. $u\cdot v=0⟺u\perp v$
2. $u\cdot v=v\cdot u$
3. $\lambda (u\cdot v)=(\lambda u)\cdot v=u\cdot (\lambda v)$
4. $u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$

$$u\cdot v=u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3$$

벡터 함수 $u(t),v(t)$에 대해

$$\frac{d}{dt}(u(t)\cdot v(t))=u^{\prime }(t)\cdot v(t)+u(t)\cdot v^{\prime }(t)$$

예제

1. 나선(Helix)

$$\alpha (t)=(a\cos t,a\sin t,bt),t\in \mathbb{R}$$

원기둥 $x^2+y^2=a^2$ 위를 일정한 속도로 상승하는 나선곡선. pitch는 $2\pi b$이다.

2. 곡률이 있는 곡선 ($0$차 도함수가 $0$)

$$\alpha (t)=(t^3,t^2)$$

$t=0$에서 속도 벡터 ${\alpha }^{\prime }(0)=(0,0)$, 즉 접선이 정의되지 않는다.

3. 자취는 같지만 함수가 1:1 아님

$$\alpha (t)=(t^3-4t,t^2-4)$$

$t=\pm 2$에서 모두 $(0,0)$을 지나므로, 매개함수 $\alpha$는 전사지만 단사 아님.

4. 절댓값 함수 비미분 예시

$$\alpha (t)=(t,|t|)$$

$t=0$에서 $|t|$은 미분 불가능이므로, $\alpha$는 매끄러운 곡선 아님.