3,5,7 삼각형

흔히 $1:1:\sqrt{2}$나 $1:2:\sqrt{3}$의 비율을 갖는 삼각형의 각의 크기는 누구나 다 알고 있습니다. 그런데 혹시 $3:5:7$의 비율을 갖는 삼각형의 각도 알고 있나요?

코사인법칙을 이용하면 길이가 $7$인 선의 대각은 $120^{\circ }$입니다.

$$\begin{array}{rl}& 7^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos \theta \\ \Rightarrow & 15=-30\cos \theta \\ \Rightarrow & \cos \theta =-\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & \theta =120^{\circ }\end{array}$$

이를 이용하면 길이가 $3$인 정삼각형과 $5$인 정삼각형을 덧붙여 $3:7:8$의 비율을 가지는 삼각형에서 $7$과 마주보는 각은 $60^{\circ }$이고, $5:7:8$의 비율을 가지는 삼각형에서 $7$과 마주보는 각도 $60^{\circ }$인 것을 어렵지 않게 알 수 있습니다.