투자와 수학 1

$1$억을 $10$%의 수익률로 $30$년간 투자하면 어떻게 될까요?

$$(1.1{)}^{30}\approx 17.45$$

계산에 따르면, $30$년 후에는 초기 투자액이 거의 $17.45$배 증가하여 $17.45$억 원이 됩니다. 이는 복리의 효과를 보여주는 탁월한 예시이며, 장기간 동안 지속적으로 좋은 수익률을 유지하는 것이 얼마나 중요한지 강조합니다. 이는 굳이 계산기 없이도 돈이 $2$배가 되는 시기를 계산하는 $72$의 법칙에 따라 근삿값을 쉽게 구할 수 있습니다.

$$\Rightarrow \frac{30}{7.2}\approx 4\Rightarrow 2^4\approx 16$$

72의 법칙 증명 과정

1. 복리 공식: 복리의 기본 공식은 $A=P(1+r{)}^t$입니다. 여기서 $A$는 미래의 가치, $P$는 초기 투자액, $r$은 연수익률, $t$는 투자 기간(년)을 나타낸다.
2. 투자가 두 배로 성장하는 조건: 투자액이 두 배로 성장한다는 것은 $A=2P$임을 의미합니다. 따라서 공식은 $2P=P(1+r{)}^t$로 변형된다.
3. 공식 정리: $P$를 양변에서 나누면, $2=(1+r{)}^t$가 된다.
4. 로그를 사용한 시간 $t$ 계산: 이제 $t$에 대해 풀기 위해 양변에 자연로그 $\ln$을 취한다. $\ln (2)=t\cdot \ln (1+r)$가 된다.
5. 근사치 사용: 자연로그의 성질을 사용하여 $\ln (1+r)$을 $r$에 대한 근사치로 바꾼다. $r$가 작을 때, $\ln (1+r)\approx r$이다.
6. $t$에 대한 근사식: 따라서, $t\approx \frac{\ln (2)}{r}$입니다. $\ln (2)$는 대략 $0.693$입니다.
7. 72의 법칙 도출: $r$을 백분율로 표현하면, $t\approx \frac{0.693\times 100}{r}$이고, 계산을 간편하게 하기 위해 $0.693$대신 $0.72$로 근사하여 사용합니다. 따라서, $t\approx \frac{72}{r}$이 됩니다.

그렇다면 $30$년 중 딱 $3$년만 수익률 $10$%를 달성하지 못하고, 본전을 유지하면 어떻게 될까요?

$$(1.1{)}^{27}\approx 13.11$$

이 시나리오에서는 $30$년 후의 최종 금액이 $13.11$억 원으로, 첫 번째 시나리오에 비해 약 $4$억 원의 차이가 발생합니다. 물론 이 금액도 상당히 큰 금액이긴하지만 장기적인 투자에서 단 몇 년의 성과가 전체 결과에 상당한 영향을 미칠 수 있음을 보여줍니다. 만약 $30$년 중 단 $3$번 수익률이 $-10$%가 된다면 어떻게 될까요?

$$(1.1{)}^{27}\times (0.9{)}^3\approx 9.56$$

30년 동안 투자 기간 중 27년은 연 10%의 수익을, 나머지 3년은 연 10%의 손실을 기록한다고 가정하면 30년 후의 최종 금액은 약 $9.56$억 원이 됩니다.

투자와 관련된 이러한 수학적 계산은 투자의 장기적인 가치와 변동성에 대한 중요한 교훈을 제공합니다.