2차시. 같아 보이는 경우를 구별하라
다시 써도 되는가, 돌리면 같은가, 같은 것이 섞였는가, 순서를 무시하는가를 확인하여 알맞게 센다.
읽을거리: 전부 곱하면 정말 끝일까?
1차시에는 서로 다른 사람이나 물건을 한 번씩 사용했다. 하지만 실제 문제에는 다음 조건이 자주 붙는다.
- 같은 색을 여러 번 써도 된다.
- 둥글게 앉아서 모두 함께 돌린 모습은 같은 것으로 본다.
- 모양이 똑같아서 서로 바꾸어도 알아볼 수 없는 물건이 있다.
- 순서는 상관없이 같은 종류를 여러 개 골라도 된다.
이 네 상황은 겉보기에는 모두 ‘여러 개를 고르거나 놓는 문제’다. 그러나 무엇을 같은 결과로 보는지가 달라서 세는 방법도 달라진다.
왜 배우는가?
조건을 잘못 읽으면 계산은 깔끔해도 답은 틀린다. 오늘은 공식을 외우기 전에 작은 경우를 모두 적어 보고, 어떤 결과가 중복되는지 확인한다.
오늘의 목표
- 같은 선택을 다시 할 수 있는 배열을 센다.
- 둥글게 놓았을 때 회전한 모습을 같은 결과로 처리한다.
- 같은 것이 섞인 배열에서 중복하여 센 횟수를 찾아 나눈다.
- 순서 없이 같은 종류를 여러 번 고르는 경우를 센다.
시작 질문
빨강과 파랑 두 색으로 칸 두 개를 칠한다고 하자.
- 두 칸을 모두 빨강으로 칠해도 된다면 가능한 결과는 무엇일까?
- 빨강 카드 두 장이 서로 완전히 똑같다면 두 카드를 맞바꾸어 놓은 것은 새로운 결과일까?
- 네 사람이 둥글게 앉은 채 모두 한 자리씩 오른쪽으로 옮기면 새로운 앉는 방법일까?
1. 같은 선택을 다시 해도 되는 배열
두 칸짜리 색띠 만들기
빨강·노랑·파랑 중 하나를 골라 첫째 칸과 둘째 칸을 칠한다. 같은 색을 여러 번 써도 된다. 괄호 안에는 (첫째 칸, 둘째 칸) 순서로 적는다.
첫째 칸은 3가지, 둘째 칸도 다시 3가지 중에서 고른다.
같은 선택을 다시 사용할 수 있고, 놓인 순서를 구분하는 배열을 중복순열이라고 한다.
칸이 하나 늘어나면
세 칸을 같은 방법으로 칠하면 첫째·둘째·셋째 칸마다 3가지 선택이 있다.
일반적으로 가지 중에서 같은 것을 다시 사용해도 되도록 번 차례로 고르면
가지다.
직접 확인하기
2. 원순열: 돌려서 같아지면 한 가지
세 사람이 둥글게 앉기
민준, 서연, 하늘이 둥근 돗자리에 앉는다. 아래 세 배열은 모두 시계 방향으로 민준→서연→하늘 순서다.
세 사람을 함께 돌리기만 한 모습이므로 둥근 자리에서는 같은 결과다. 다음 세 배열도 서로 같다.
따라서 세 사람이 둥글게 앉는 서로 다른 방법은 2가지뿐이다.
한 사람을 한 자리에 고정하기
둥근 자리에는 첫 자리가 따로 없다. 그래서 민준을 위쪽 자리에 고정하고, 나머지 사람만 민준의 시계 방향으로 놓는다.
나머지 2명만 줄 세우면 되므로
가지다. 일반적으로 서로 다른 명이 원 모양으로 앉을 때 한 명을 고정하면 나머지 명만 배열하면 된다.
주의: 둥근 자리 전체를 돌린 모습만 같은 것으로 본다. 거울에 비친 모습까지 같다고 보지는 않는다.
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3. 같은 것이 있는 순열
빨강 카드 두 장과 파랑 카드 한 장
먼저 빨강 카드 두 장을 빨강1, 빨강2처럼 구별한다고 하자.
구별하면 가지다. 그러나 실제 카드의 빨강 면이 완전히 같다면 빨강1과 빨강2를 바꾸어도 눈에 보이는 결과는 달라지지 않는다.
눈에 보이는 한 배열마다 빨강 카드끼리 자리를 바꾼 2가지가 숨어 있다. 따라서
가지다.
같은 색이 두 종류라면
카드 5장 중 빨강 3장과 파랑 2장이 각각 같은 모양이라면, 먼저 모두 다른 카드라고 생각하여 로 센다.
- 빨강 3장을 서로 바꾼 가지는 같은 결과다.
- 파랑 2장을 서로 바꾼 가지는 같은 결과다.
따라서
가지다.
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4. 중복조합: 같은 종류를 여러 번 골라도 되는 조합
간식 2개를 고르기
떡·사탕·귤 세 종류 중에서 간식 2개를 고른다. 같은 종류를 두 번 골라도 되고, 고른 순서는 생각하지 않는다.
모두 6가지다. (떡, 사탕)과 (사탕, 떡)은 고른 간식이 같으므로 한 가지만 적었다.
개수로 바꾸어 적기
같은 선택을 **(떡의 수, 사탕의 수, 귤의 수)**로 적으면 다음과 같다.
세 수의 합은 항상 2다. 이렇게 같은 종류를 여러 번 골라도 되고 순서를 무시하는 선택을 중복조합이라고 한다.
별과 칸막이로 세기
간식 2개를 별 두 개로, 세 종류를 나누는 경계를 칸막이 두 개로 나타낼 수 있다.
별 2개와 칸막이 2개, 모두 4자리 중 별이 놓일 2자리를 고르면 된다.
일반적으로 종류 중에서 같은 종류를 다시 골라도 되도록 개를 고르면 별 개와 칸막이 개를 배열한다. 모두 자리에서 별 자리 또는 칸막이 자리를 고르면 된다.
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5. 네 가지 상황 구별하기
조건을 읽는 네 질문
- 같은 대상을 다시 선택해도 되는가?
- 결과에서 자리나 순서를 구분하는가?
- 둥근 모양을 함께 돌린 결과를 같은 것으로 보는가?
- 서로 바꾸어도 알아볼 수 없는 같은 것이 있는가?
상황을 말로 판단하기
- 세 칸 비밀번호에 같은 숫자를 다시 쓸 수 있다: 같은 선택을 다시 하는 배열
- 네 사람이 둥근 돗자리에 앉는다: 원 모양의 배열
- 빨강 카드 3장과 파랑 카드 2장을 한 줄로 놓는다: 같은 것이 있는 배열
- 세 종류 간식 중 4개를 순서 없이 고르고 같은 종류도 허용한다: 같은 종류를 다시 고르는 조합
오늘의 정리 문제
오늘의 한 문장
계산을 시작하기 전에 다시 써도 되는지, 돌리면 같은지, 같은 것이 있는지, 순서를 무시하는지 확인한다.
2차시 도전문제
이름: ____________________ 모둠: __________ 날짜: __________
1.
1, 2, 3을 사용하여 두 자리 암호를 만든다. 같은 숫자를 여러 번 써도 된다. 암호는 모두 몇 개인가?
2.
서로 다른 네 사람이 둥근 돗자리에 앉는 방법은 모두 몇 가지인가?
3.
빨강 카드 2장과 파랑 카드 1장을 한 줄로 놓을 때, 눈에 보이는 배열은 모두 몇 가지인가?
4.
떡·사탕·귤 세 종류 중 간식 2개를 고른다. 같은 종류를 두 번 골라도 된다. 고르는 방법은 모두 몇 가지인가?
5.
빨강·노랑·파랑·초록 네 색으로 세 칸짜리 무늬를 만든다. 같은 색을 여러 번 써도 된다. 무늬는 모두 몇 가지인가?
6.
민준과 서연을 포함한 서로 다른 다섯 사람이 둥근 돗자리에 앉는다. 민준과 서연이 반드시 이웃하는 방법은 모두 몇 가지인가?
7.
빨강 카드 3장과 파랑 카드 2장을 한 줄로 놓을 때, 눈에 보이는 배열은 모두 몇 가지인가?
8.
떡·사탕·귤 세 종류 중 간식 4개를 고른다. 같은 종류를 여러 번 골라도 된다. 고르는 방법은 모두 몇 가지인가?
9.
0, 1, 2, 3, 4를 사용하여 네 자리 암호를 만든다. 같은 숫자를 여러 번 써도 될 때, 0을 적어도 한 번 포함하는 암호는 모두 몇 개인가?
10.
민준과 서연을 포함한 서로 다른 여섯 사람이 둥근 돗자리에 앉는다. 민준과 서연이 서로 이웃하지 않는 방법은 모두 몇 가지인가?
11.
A, A, B, B, C 다섯 글자를 한 줄로 나열한다. 두 A가 서로 이웃하지 않는 배열은 모두 몇 가지인가?
12.
사과·배·귤·감 네 종류 중 과일 5개를 고른다. 같은 종류를 여러 번 골라도 될 때, 사과를 적어도 2개 고르는 방법은 모두 몇 가지인가?
5차시 AI 대결용 변형문제 만들기
원래 문제 번호: ____________________
AI가 헷갈릴 문제를 만드는 방법
다음 방법 중 한두 가지를 골라 조건을 바꾼다.
- ‘같은 것을 다시 써도 된다’와 ‘같은 것이 이미 여러 개 있다’를 한 문제에 섞는다.
- 원 모양에서 회전만 같은지, 거울에 비친 모습도 같은지 분명하게 적는다.
- 같은 글자나 색이 이웃해야 하거나 이웃할 수 없게 한다.
- 특정 종류를 적어도 몇 개 또는 정확히 몇 개 고르게 한다.
- 전체에서 조건을 어기는 경우를 빼야 풀리게 한다.
조건은 애매하지 않아야 하며, 정답이 하나로 결정되어야 한다. 만든 문제는 지금 풀어 두고, 실제 AI 시험은 5차시에 한다.