정적분의 응용

정적분으로 정의된 함수의 미분

다음과 같이 적분 구간에 변수를 포함하는 정적분의 미분은 어떻게 계산할까?

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt$$

함수 $f(t)$의 한 부정적분을 $F(t)$라고 가정한다. 즉, $F^{\prime }(t)=f(t)$이다. 미적분학의 기본정리에 따라 정적분은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$${\int }_a^{x}f(t)dt=[F(t){]}_a^x=F(x)-F(a)$$

이제 이 식의 양변을 $x$에 대하여 미분한다.

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=\frac{d}{dx}(F(x)-F(a))$$

• $F(x)$를 $x$에 대해 미분하면 $F^{\prime }(x)$이다. 위에서 $F^{\prime }(x)=f(x)$로 정의했다.
• $a$는 상수이므로 $F(a)$도 상수이다. 상수를 미분하면 $0$이 된다.

따라서 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=F^{\prime }(x)-0=f(x)$$

예제

1. $\frac{d}{dx}{\int }_x^{x+a}f(t)dt$를 정리하면?¹
2. $\frac{d}{dx}{\int }_{-1}^x(3t^2+5t)dt$를 정리하면?²
3. $\frac{d}{dx}{\int }_x^{x+1}(4t^3-2t)dt$를 정리하면?³
4. 임의의 실수 에 대하여 ${\int }_2^{x}f(t)dt=x^3+2x^2-ax$ 이다. $f(1)$의 값은? (단, $a$는 상수)⁴
5. 임의의 실수 $x$에 대하여 다항함수 $f(x)$가 ${\int }_a^{x}f(t)dt=x^2+3x-4$를 만족시킬때, $f(a)$의 값은? (단, $a>0$)⁵
6. 함수 $f(x)={\int }_0^x(3t^2-12)dt$의 극댓값과 극솟값의 차는?⁶

자기자신의 정적분이 포함된 함수

다음과 같이 정적분을 포함한 함수가 주어졌을 때, 함수 $f(x)$를 구하는 방법은 무엇일까?

$$f(x)=g(x)+{\int }_a^{b}f(t)dt$$

정적분을 포함한 함수는 적분 구간이 상수인 정적분 ${\int }_a^{b}f(t)dt$의 결과 역시 하나의 상수라는 점을 이용하는 것이다.

$${\int }_a^{b}f(t)dt=k$$

라 두면, $f(x)=g(x)+k$가 된다. $k={\int }_a^{b}f(t)dt$ 이므로, $f(t)=g(t)+k$를 자기 자신에게 다시 대입 한다. 그러면

$$k={\int }_a^b(g(t)+k)dt$$

이므로 정적분이므로 계산을 통해 $k$에 대한 간단한 일차방정식으로 변환된다. 이제 정리하여 $k$의 값을 구한 뒤, 이 값을 다시 $f(x)=g(x)+k$에 대입하면 최종적으로 함수 $f(x)$가 완성된다.

예제

1. 다항함수 $f(x)$가 $f(x)=3x+2{\int }_0^{2}f(t)dt$을 만족시킬때, $f(x)$는?⁷
2. 다항함수 $f(x)$가 $f(x)=x^2+3x+{\int }_{-1}^{1}tf(t)dt$을 만족시킬때, $f(1)$의 값은?⁸
3. 다항함수 $f(x)$가 $f(x)=6x+{\int }_0^1(x-1)f(t)dt$를 만족시킬 때, $f(x)$는?⁹

정적분으로 정의된 함수의 극한

다음 극한 식의 값을 구해보자.

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)dt$$

미적분의 기본정리 에 따르면, 함수 $f(t)$의 한 부정적분을 $F(t)$라고 할 때 (즉, $F^{\prime }(t)=f(t)$), 정적분은 다음과 같이 계산된다.

$${\int }_a^{x}f(t)dt=[F(t){]}_a^x=F(x)-F(a)$$

이제 원래의 극한 식에서 정적분 부분을 위에서 구한 $F(x)-F(a)$로 바꿔서 다시 쓰면

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{F(x)-F(a)}{x-a}$$

함수 $F(x)$의 $x=a$에서의 미분계수 정의 와 정확히 일치한다. 따라서 이 극한값은 $F^{\prime }(a)$가 된다. 처음에 $F(t)$를 $f(t)$의 부정적분이라고 했으므로, $F^{\prime }(a)=f(a)$이다.

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(a)$$

응용

정적분으로 정의된 함수의 극한 문제는 대부분 $\frac{0}{0}$ 꼴의 부정형(Indeterminate form)이므로, 로피탈의 정리(L’Hôpital’s Rule) 를 적용하여 매우 간단하게 결과를 도출할 수 있다.

먼저 주어진 극한 식을 다음과 같이 분수 형태로 생각한다.

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{{\int }_a^{x}f(t)dt}{x-a}$$

$x\to a$ 일 때 분모가 $0$으로, 분자 역시 ${\int }_a^{a}f(t)dt=0$ 으로 수렴하여 $\frac{0}{0}$ 꼴임을 확인한다. 분자와 분모를 각각 변수($x$)에 대하여 미분하면,

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$

분자는 정적분으로 정의된 함수의 미분법을 이용하여 $f(x)$가 되고,

$$\frac{d}{dx}(x-a)=1$$

분모도 간단하게 정리되므로 손쉽게 극한값을 구할 수 있다.

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{1}=f(a)$$

이 방법은 미분계수의 정의를 이용한 풀이보다 직관적이며, 특히 적분 구간이 복잡한 합성함수 형태일 때 계산 과정을 획기적으로 줄여준다.

예제

1. ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}{\int }_a^{x+a}(f(t))dt$를 정리하면?¹⁰
2. ${\lim }_{x\to 1}\frac{1}{x-1}{\int }_1^x(3t^2-5t+2)dt$의 값은?¹¹
3. ${\lim }_{h\to 0}\frac{1}{h}{\int }_2^{2+h}(t+1)(2t-3)dt$의 값은?¹²
4. ${\lim }_{x\to -1}\frac{1}{x+1}{\int }_1^{x^2}(t^3-2t)dt$의 값은?¹³
5. ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}{\int }_{3-x}^{3+x}t(t^2-5)dt$의 값은?¹⁴
6. ${\lim }_{x\to 1}\frac{1}{x-1}{\int }_1^{x^3}(t-2)(t^2+1)dt$의 값은?¹⁵
7. ${\lim }_{x\to -1}\frac{1}{x^2-1}{\int }_{-1}^x(4t^3+2t)dt$의 값은?¹⁶

피적분 함수에 변수가 있는 경우

다음 식과 같이 적분 구간과 피적분 함수 모두에 변수 $x$가 포함되어 있는 경우가 있다.

$${\int }_a^x(x-t)f(t)dt$$

이러한 형태의 식을 다룰 때 가장 중요한 원칙은 적분 변수와 그 외의 변수를 명확히 구분하는 것이다. 위 식의 $dt$는 이 적분이 변수 $t$에 대하여 수행됨을 의미한다. 따라서 적분 기호 안에서는 $t$를 제외한 모든 문자, 즉 $x$는 상수 처럼 취급할 수 있다.

이 원칙에 따라 피적분 함수 $(x-t)f(t)$를 $t$에 대하여 전개하면 $xf(t)-tf(t)$가 된다. 이제 정적분의 성질을 이용하여 식을 분리한다.

$${\int }_a^x(xf(t)-tf(t))dt={\int }_a^{x}xf(t)dt-{\int }_a^{x}tf(t)dt$$

첫 번째 항 ${\int }_a^{x}xf(t)dt$에서 $x$는 적분 변수 $t$와 무관한 상수 취급이 가능하므로 적분 기호 밖으로 꺼낼 수 있다.

$$x{\int }_a^{x}f(t)dt-{\int }_a^{x}tf(t)dt$$

이렇게 변형된 식은 양변을 $x$에 대하여 미분하는 문제로 이어지는 경우가 많다. $x$에 대해 미분할 경우, 첫 번째 항은 $x$에 대한 두 함수의 곱이므로 곱의 미분법 을 적용한다.

$$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dx}\left(x{\int }_a^{x}f(t)dt-{\int }_a^{x}tf(t)dt\right)\\ =& (x{)}^{\prime }\cdot {\int }_a^{x}f(t)dt+x\cdot \frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt-\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}tf(t)dt\\ =& 1\cdot {\int }_a^{x}f(t)dt+x\cdot f(x)-xf(x)\\ =& {\int }_a^{x}f(t)dt\end{array}$$

따라서

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^x(x-t)f(t)dt={\int }_a^{x}f(t)dt$$

이다. 이는 분수 미분법(Fractional Derivatives)으로 일반화 시킬 수 있다.

응용

함수가 다음과 같은 꼴로 되어있다면,

$$g(x)={\int }_a^x(x-t)f(t)dt$$

가장 기본적인 단계는 적분 구간의 위끝과 아래끝을 같게 만드는 $x=a$를 대입하는 것이다.

$$g(a)={\int }_a^a(a-t)f(t)dt$$

적분 구간의 길이가 $0$이므로, 정적분의 값은 항상 $0$이다.

$$g(a)=0$$

다음으로 함수 $g(x)$를 $x$에 대하여 미분하고,

$$g^{\prime }(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

이렇게 얻어진 $g^{\prime }(x)$에 다시 $x=a$를 대입하면 마찬가지로 적분 구간의 길이가 $0$이므로, 그 값은 $0$이다.

$$g^{\prime }(a)=0$$

$g^{\prime }(x)$를 한 번 더 $x$에 대하여 미분하면, 미적분의 기본정리에 의해 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$g^{\prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}\left({\int }_a^{x}f(t)dt\right)=f(x)$$

$g(x)={\int }_a^x(x-t)f(t)dt$의 성질

• $g(a)=0$
• $g^{\prime }(a)=0$
• $g^{\prime }(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$
• $g^{\prime \prime }(x)=f(x)$

예제

1. 임의의 실수 $x$에 대하여 다항함수 $f(x)$가 ${\int }_2^x(x-t)f(t)dt=x^4-3x^3+a{x}^2+4$를 만족시킬 때, $f(x)$는?(단, $a$는 상수이다.)¹⁷
2. 임의의 실수 $x$에 대하여 다항함수 $f(x)$가 ${\int }_1^x(x-t)f(t)dt=x^3+a{x}^2-9x+b$를 만족시킬 때, 상수 $a,b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.¹⁸
3. 임의의 실수 $x$에 대하여 다항함수 $f(x)$가 ${\int }_2^x(x^2-t)f(t)dt=12x^3-30x^2+ax$를 만족시킬 때, 상수 $a+f(2)$의 값은?¹⁹
4. 임의의 실수 $x$에 대하여 다항함수 $f(x)$가 ${\int }_0^x(x-t{)}^{2}f(t)dt=2x^4$를 만족시킬 때, $f(x)$는?²⁰
5. 임의의 실수 $x$에 대하여 다항함수 $f(x)$가 ${\int }_1^{x^2}(x-t)f(t)dt=-2x^6+3x^5-3x+2$을 만족시킬 때, $f(2)$의 값은?²¹

Footnotes

1. ${\int }_x^{x+a}f(t)dt=[F(t){]}_x^{x+a}=F(x+a)-F(x)$이므로, $\frac{d}{dx}{\int }_x^{x+a}f(t)dt$ $=\frac{d}{dx}(F(x+a)-F(x))=F^{\prime }(x+a)-F^{\prime }(x)=f(x+a)-f(x)$이다. ↩

2. 미적분학의 기본정리에 의해, $\frac{d}{dx}{\int }_{-1}^x(3t^2+5t)dt=3x^2+5x$이다. ↩

3. $f(t)=4t^3-2t$라 하면, 주어진 식은 $\frac{d}{dx}{\int }_x^{x+1}f(t)dt=f(x+1)-f(x)$와 같다. 따라서, $(4(x+1{)}^3-2(x+1))-(4x^3-2x)$ $=4(x^3+3x^2+3x+1)-2x-2-4x^3+2x$ $=4x^3+12x^2+12x+4-2-4x^3$ $=12x^2+12x+2$이다. ↩

4. 주어진 등식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면, $f(x)=3x^2+4x-a$이다. 주어진 등식에 $x=2$를 대입하면, ${\int }_2^{2}f(t)dt=0$이므로, $2^3+2(2^2)-2a=0$이다. $8+8-2a=0⟹2a=16⟹a=8$이다. 따라서 $f(x)=3x^2+4x-8$이고, $f(1)=3(1{)}^2+4(1)-8=-1$이다. ↩

5. 주어진 등식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면, $f(x)=2x+3$이다. 주어진 등식에 $x=a$를 대입하면, ${\int }_a^{a}f(t)dt=0$이므로, $a^2+3a-4=0$이고, $(a+4)(a-1)=0$ 이다. 따라서 $a=-4$ 또는 $a=1$이다. 문제의 조건에서 $a>0$이므로, $a=1$이다. 따라서 $f(a)=f(1)=2(1)+3=5$이다. ↩

6. 함수 $f(x)$의 도함수는 $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$이다. $f^{\prime }(x)=0$이 되는 $x$값은 $-2,2$이다. $f^{\prime }(x)$의 부호를 조사하면, $x=-2$에서 극댓값, $x=2$에서 극솟값을 가짐을 알 수 있다. $f(-2)={\int }_0^{-2}(3t^2-12)dt=[t^3-12t{]}_0^{-2}=(-2{)}^3-12(-2)=-8+24=16$ 이고, $f(2)={\int }_0^2(3t^2-12)dt=[t^3-12t{]}_0^2=(2{)}^3-12(2)=8-24=-16$이다. 따라서 극댓값과 극솟값의 차이는 $16-(-16)=32$이다. ↩

7. ${\int }_0^{2}f(t)dt=k$ (상수)로 놓으면, $f(x)=3x+2k$가 된다. 이 식을 다시 $k$를 정의한 식에 대입하면, $k={\int }_0^2(3t+2k)dt$ 이다. 이 정적분을 계산하면 $k=[\frac{3}{2}{t}^2+2kt{]}_0^2=(\frac{3}{2}(4)+2k(2))-0=6+4k$ 가 된다. 따라서 $k=6+4k$ 라는 $k$에 대한 방정식을 풀면 $-3k=6$ 이므로 $k=-2$이다. 이 값을 원래의 $f(x)$ 식에 대입하면, 최종적으로 $f(x)=3x-4$를 얻는다. ↩

8. ${\int }_{-1}^{1}tf(t)dt=k$ (상수)로 놓으면, $f(x)=x^2+3x+k$이다. 이 식을 $k$의 정의에 대입하면, $k={\int }_{-1}^{1}t(t^2+3t+k)dt={\int }_{-1}^1(t^3+3t^2+kt)dt$ 이다. 여기서 적분 구간이 $[-1,1]$ 이므로 기함수인 $t^3$ 와 $kt$ 의 정적분 값은 $0$이 된다. 따라서 우함수인 $3t^2$ 항만 계산하면 된다. $k={\int }_{-1}^{1}3t^{2}dt=[t^3{]}_{-1}^1=1-(-1)=2$ 이다. 따라서 $f(x)=x^2+3x+2$ 이고, 구하고자 하는 값은 $f(1)=1+3+2=6$이다. ↩

9. $(x-1)$을 밖으로 빼면 $f(x)=6x+(x-1){\int }_0^{1}f(t)dt$이다. 정적분 ${\int }_0^{1}f(t)dt$는 상수이므로 이를 $k$라고 두면, $f(x)=6x+(x-1)k=(6+k)x-k$로 표현할 수 있다. 이 식을 다시 $k={\int }_0^{1}f(t)dt$에 대입하면 $k={\int }_0^1((6+k)t-k)dt$가 되고, 우변을 적분하여 계산하면 $k={\left[\frac{6+k}{2}{t}^2-kt\right]}_0^1=\frac{6+k}{2}-k=3-\frac{k}{2}$ 이다. 따라서 $k=3-\frac{k}{2}$ 이므로 $\frac{3}{2}k=3$ 에서 $k=2$이다. 이 값을 $f(x)=(6+k)x-k$에 대입하면 $f(x)=8x-2$이다. ↩

10. 함수 $f(t)$의 한 부정적분을 $F(t)$라 할 때 미적분의 기본정리에 의해 정적분은 $F(x+a)-F(a)$로 계산된다. 이 결과를 원래 식에 대입하면 ${\lim }_{x\to 0}\frac{F(a+x)-F(a)}{x}$가 되는데, 이는 $t=a$에서의 미분계수 정의와 정확히 일치하므로 극한값은 $F^{\prime }(a)$가 된다. 최종적으로 $F^{\prime }(t)=f(t)$라는 관계에 따라 주어진 식의 값은 $f(a)$이다. ↩

11. 피적분함수 $f(t)=3t^2-5t+2$ 이고 $a=1$ 이므로, 극한값은 $f(1)$ 이다. $f(1)=3(1{)}^2-5(1)+2=3-5+2=0$ 이다. ↩

12. 피적분함수 $f(t)=(t+1)(2t-3)$ 이고 $a=2$ 이므로, 극한값은 $f(2)$ 이다. $f(2)=(2+1)(2(2)-3)=3\cdot (4-3)=3$ 이다. ↩

13. $f(t)=t^3-2t$ 라 하고, 그 부정적분을 $F(t)$라 하면, 식은 ${\lim }_{x\to -1}\frac{F(x^2)-F(1)}{x+1}$ 이다. ${\lim }_{x\to -1}\frac{F(x^2)-F(1)}{x^2-1}\cdot (x-1)$ 여기서 $x\to -1$ 일 때 $x^2\to 1$ 이므로, ${\lim }_{x\to -1}\frac{F(x^2)-F(1)}{x^2-1}$ 부분은 $F^{\prime }(1)$ 즉, $f(1)$과 같다. 또한 ${\lim }_{x\to -1}(x-1)=-2$ 이다. 따라서 전체 극한값은 $f(1)\cdot (-2)$ 이다. $f(1)=1^3-2(1)=-1$ 이므로, 답은 $(-1)\cdot (-2)=2$ 이다. ↩

14. $f(t)=t(t^2-5)$ 라 하고, 그 부정적분을 $F(t)$라 하면, 식은 ${\lim }_{x\to 0}\frac{F(3+x)-F(3-x)}{x}$ 이다. 이 식을 미분계수의 정의 형태로 만들기 위해 분자에 $F(3)$을 빼고 더하여 식을 분리한다. ${\lim }_{x\to 0}\frac{F(3+x)-F(3)-F(3-x)+F(3)}{x}$ $={\lim }_{x\to 0}\left(\frac{F(3+x)-F(3)}{x}-\frac{F(3-x)-F(3)}{x}\right)$ 첫 번째 항 ${\lim }_{x\to 0}\frac{F(3+x)-F(3)}{x}$ 은 $F^{\prime }(3)$ 즉, $f(3)$ 이다. 두 번째 항 ${\lim }_{x\to 0}\frac{F(3-x)-F(3)}{x}$ 은 분모를 $h=-x$ 로 치환하면 ${\lim }_{h\to 0}\frac{F(3+h)-F(3)}{-h}=-F^{\prime }(3)$ 즉, $-f(3)$ 이다. 따라서 전체 극한값은 $f(3)-(-f(3))=2f(3)$ 이다. $f(3)=3(3^2-5)=12$ 이므로, 최종 답은 $2\cdot 12=24$ 이다. ↩

15. 미분계수 정의 형태로 만들기 위해 분모와 분자에 $(x^2+x+1)$을 곱하여 분모를 $x^3-1$로 만든다. ${\lim }_{x\to 1}\frac{F(x^3)-F(1)}{x^3-1}\cdot (x^2+x+1)$ 여기서 $x\to 1$ 일 때 $x^3\to 1$ 이므로, ${\lim }_{x\to 1}\frac{F(x^3)-F(1)}{x^3-1}$ 부분은 $F^{\prime }(1)$ 즉, $f(1)$과 같다. 또한 ${\lim }_{x\to 1}(x^2+x+1)=3$ 이다. 따라서 전체 극한값은 $f(1)\cdot 3$ 이다. $f(1)=(1-2)(1^2+1)=-2$ 이므로, 최종 답은 $(-2)\cdot 3=-6$ 이다. ↩

16. 분모 $x^2-1$을 $(x-1)(x+1)$로 인수분해하여 식을 분리한다. ${\lim }_{x\to -1}\left(\frac{1}{x+1}{\int }_{-1}^x(4t^3+2t)dt\right)\cdot \frac{1}{x-1}$ 이제 $f(t)=4t^3+2t$ 라 하면, 괄호 안의 극한값은 미분계수의 정의에 의해 $f(-1)$ 이다. $f(-1)=4(-1{)}^3+2(-1)=-6$ 이다. 따라서 전체 식의 극한값은 $f(-1)\cdot {\lim }_{x\to -1}\frac{1}{x-1}=(-6)\cdot \frac{1}{-2}=3$ 이다. ↩

17. 주어진 등식의 우변을 $g(x)$라 하면 $g(x)={\int }_2^x(x-t)f(t)dt$의 성질에 따라 $g(2)=0$, $g^{\prime }(2)=0$, $g^{\prime \prime }(x)=f(x)$가 성립해야 한다. 먼저 $g(2)=0$을 이용하여 상수 $a$를 구한다. $g(2)=2^4-3(2^3)+a(2^2)+4=16-24+4a+4=0$이므로 $4a-4=0$이 되어 $a=1$이다. $f(x)=g^{\prime \prime }(x)$이므로 $g(x)$를 두 번 미분한다. $g^{\prime }(x)=4x^3-9x^2+2ax$이고, $g^{\prime \prime }(x)=12x^2-18x+2a$이다. $a=1$이므로, 최종적으로 $f(x)=12x^2-18x+2$이다. ↩

18. 주어진 등식의 우변을 $g(x)$라 하면 $g(1)=0$이고 $g^{\prime }(1)=0$이다. 먼저 $g(1)=1+a-9+b=0$이므로 $a+b=8$이라는 관계식을 얻는다. 다음으로 $g^{\prime }(x)=3x2+2ax-9$에 $x=1$을 대입하면 $g^{\prime }(1)=3+2a-9=0$이므로 $2a-6=0$이 되어 $a=3$이다. 이 값을 관계식에 대입하면 $3+b=8$이므로 $b=5$이다. 따라서 $a+b=3+5=8$이다. ↩

19. 주어진 등식의 우변을 $g(x)$라 하면, 적분 구간의 성질에 따라 $g(2)=0$이 성립한다. 또한, 양변을 미분하여 정리하면 $g^{\prime }(x)=2x{\int }_2^{x}f(t)dt+(x^2-x)f(x)$ 이므로, 이 식에 $x=2$를 대입하면 $g^{\prime }(2)=(2^2-2)f(2)=2f(2)$라는 핵심 관계식을 얻는다. 먼저 $g(2)=0$ 조건으로부터 $g(2)=12(2{)}^3-30(2{)}^2+a(2)=96-120+2a=0$ 이므로, $2a-24=0$이 되어 $a=12$이다. 다음으로 $g(x)=12x^3-30x^2+12x$ 이므로, $g^{\prime }(x)=36x^2-60x+12$ 이다. 여기에 $x=2$를 대입하면 $g^{\prime }(2)=36(2{)}^2-60(2)+12=144-120+12=36$ 이다. $g^{\prime }(2)=2f(2)$에 이 값을 대입하면 $36=2f(2)$ 이므로, $f(2)=18$이다. 따라서 구하고자 하는 $a+f(2)$의 값은 $12+18=30$ 이다. ↩

20. 좌변을 $g(x)$라 하면 $g(x)={\int }_0^x(x^2-2xt+t^2)f(t)dt=x^2{\int }_0^{x}f(t)dt-2x{\int }_0^{x}tf(t)dt+{\int }_0^x{t}^{2}f(t)dt$이다. 양변을 세 번 미분하여 $f(x)$를 구한다. $g^{\prime }(x)=2x{\int }_0^{x}f(t)dt+x^{2}f(x)-(2{\int }_0^{x}tf(t)dt+2xf(x))+x^{2}f(x)=2x{\int }_0^{x}f(t)dt-2{\int }_0^{x}tf(t)dt$이다. $g^{\prime }(x)=8x^3$과 비교하면 $x{\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}tf(t)dt=4x^3$이다. 이 식을 다시 미분하면 $1\cdot {\int }_0^{x}f(t)dt+xf(x)-xf(x)=12x^2$이므로 ${\int }_0^{x}f(t)dt=12x^2$이다. 마지막으로 이 식을 미분하면 $f(x)=24x$이다. ↩

21. 주어진 등식 ${\int }_1^{x^2}(x-t)f(t)dt=-2x^6+3x^5-3x+2$를 풀기 위해, 먼저 좌변을 $x{\int }_1^{x^2}f(t)dt-{\int }_1^{x^2}tf(t)dt$로 전개한 뒤 양변을 $x$에 대하여 미분한다. 이때 곱의 미분법과 연쇄 법칙을 적용하면 $({\int }_1^{x^2}f(t)dt+2x^{2}f(x^2))-2x^{3}f(x^2)$라는 결과를 얻고, 우변을 미분한 $-12x^5+15x^4-3$과 같다고 놓을 수 있다. 이 식을 정리하면 ${\int }_1^{x^2}f(t)dt+2x^2(1-x)f(x^2)=-12x^5+15x^4-3$가 되는데, $f(x^2)$ 항이 소거되지 않으므로 $f(x)$가 다항함수라는 조건을 이용해 차수를 먼저 추론해야 한다. 좌변의 최고차항은 $-2x^{3}f(x^2)$항에서 나오므로 그 차수는 $3+2n$ ($n$은 $f(x)$의 차수)이고, 우변의 최고차항은 $5$차이므로 $3+2n=5$에서 $n=1$, 즉 $f(x)$가 $1$차 함수임을 알 수 있다. 따라서 $f(x)=ax+b$로 설정하고 미분된 식에 대입하여 정리하면, 좌변은 $-2a{x}^5+\frac{5a}{2}{x}^4-2b{x}^3+3b{x}^2-(\frac{a}{2}+b)$가 된다. 이 식이 우변 $-12x^5+15x^4-3$과 같아야 하므로 양변의 계수를 비교하면 $x^5$의 계수에서 $-2a=-12$이므로 $a=6$이고, $x^3$의 계수에서 $-2b=0$이므로 $b=0$임을 확정할 수 있다. 결과적으로 $f(x)=6x$이며, 문제에서 요구하는 $f(2)$의 값은 $6\times 2=12$이다. ↩