04_정보가_확률을_바꾼다

4차시. 정보가 확률을 바꾼다

새로운 정보를 알게 되면 비교할 전체가 달라진다. 검사 결과와 반복 시행도 확률로 따져 보자.

읽을거리: 같은 결과도 정보에 따라 달라진다

1부터 6까지 적힌 카드 중 한 장을 뽑았을 때 5가 나올 확률은 $\frac{1}{6}$이다. 그런데 “짝수 카드가 나왔다”는 정보를 받으면 가능한 카드는 2, 4, 6 세 장으로 줄어든다. 이때 4보다 큰 카드가 나올 확률은 6 한 장이므로 $\frac{1}{3}$이다.

카드가 바뀐 것이 아니다. 알고 있는 정보가 바뀌어 비교할 전체 경우가 달라진 것이다.

의료 선별검사 결과를 해석할 때도 똑같다. “검사가 양성이다”만 보지 말고, 검사받은 집단에서 실제 환자가 원래 얼마나 있었는지까지 함께 봐야 한다.

읽을거리: 표시된 구슬을 믿어도 될까?

상자에 빨간 구슬 5개와 파란 구슬 995개가 들어 있다고 하자. 빨간 구슬은 실제 환자, 파란 구슬은 실제 환자가 아닌 사람이라고 생각하면 된다. 어떤 기계가 빨간 구슬의 90%에는 표시를 잘하지만, 파란 구슬의 10%에도 실수로 표시한다고 하자.

빨간 구슬에는 약 4.5개, 파란 구슬에는 약 99.5개가 표시된다. 표시된 구슬은 모두 약 104개인데, 그중 빨간 구슬은 약 4.5개뿐이다. 표시가 되었다는 사실만 보고 빨간 구슬이라고 단정하면 안 되는 이유가 여기에 있다.

**처음부터 빨간 구슬이 얼마나 있었는지(기저율)**를 함께 보아야 표시 결과를 제대로 해석할 수 있다. 다음 페이지의 유방암 검진 표는 이 구슬 이야기를 실제 수로 다시 계산한 것이다.

왜 배우는가?
사람도 AI도 “양성”, “알림”, “성공”이라는 말만 보면 판단을 서두르기 쉽다. 전체 집단과 조건에 맞는 집단을 나누어 보면 그럴듯한 오답을 잡을 수 있다.

오늘의 목표

1. 조건이 주어졌을 때 새로운 전체를 정해 조건부확률을 구한다.
2. 표의 행과 열을 읽어 조건부확률을 계산한다.
3. 유병률·민감도·특이도·양성예측도를 구별한다.
4. 독립시행에서 여러 번 성공하거나 적어도 한 번 성공할 확률을 구한다.

시작 질문

검사 결과가 양성이라고 들었다.

• 양성이면 실제로 아플 확률은 언제나 90% 이상일까?
• 검사 성능이 똑같아도 환자가 드문 집단과 흔한 집단에서 결과 해석이 달라질까?
• 동전을 열 번 던져 앞면이 계속 나와도 다음 던지기의 확률이 바뀔까?

1. 조건부확률 기본: 새로운 전체 정하기

‘5보다 큰 수라는 것을 알 때’

1부터 10까지 적힌 카드 중 한 장을 뽑는다. 아무 정보가 없을 때 짝수가 나올 확률은

$$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$

이다. 그런데 “뽑힌 수가 5보다 크다”는 것을 알게 되면 가능한 카드는

$$\{6,7,8,9,10\}$$

다섯 장뿐이다. 이 중 짝수는 6, 8, 10 세 장이므로

$$\frac{3}{5}$$

이다.

조건부확률은 조건에 맞지 않는 결과를 먼저 지우고, 남은 결과를 새로운 전체로 보는 확률이다.

세 단계로 풀기

1. “~라는 것을 알 때” 뒤에 있는 조건을 찾는다.
2. 조건에 맞는 결과만 남긴다.
3. 남은 결과 중 원하는 결과의 비율을 구한다.

기호 $P(A\mid B)$는 “$B$라는 조건에서 $A$일 확률”이라고 읽는다.

직접 확인하기

1.1부터 12까지 적힌 카드 중 한 장을 뽑았다. 3의 배수라는 것을 알 때, 그 수가 짝수일 확률을 구하라.

2. 표로 조건부확률 풀기

행과 열을 새로운 전체로 읽기

어느 학교 학생 60명에게 “운동을 좋아하는가?”와 “아침을 먹고 오는가?”를 물었다.

실제 응답	아침을 먹음	아침을 먹지 않음	합계
운동을 좋아함	18	12	30
운동을 좋아하지 않음	6	24	30
합계	24	36	60

“아침을 먹고 온 학생”이라는 조건이 붙으면 전체는 60명이 아니라 아침을 먹은 24명이다. 그중 운동을 좋아하는 학생은 18명이므로

$$P(\text{운동 좋아함}\mid \text{아침을 먹음})=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$$

반대로 “운동을 좋아하는 학생” 중 아침을 먹은 비율을 묻는다면 분모는 운동을 좋아하는 30명이고 답은 $\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$이다. 조건이 바뀌면 분모도 바뀐다.

표 읽는 순서

1. 조건이 가리키는 행 또는 열의 합계를 찾는다.
2. 조건과 원하는 결과가 동시에 만나는 칸을 찾는다.
3. 동시에 만나는 칸 ÷ 조건의 합계로 계산한다.

직접 확인하기

2.위 표에서 운동을 좋아하지 않는 학생이라는 것을 알 때, 아침을 먹고 온 학생일 확률을 구하라.

3. 기저율과 검사 결과

먼저 용어를 구별하자

• 유병률(기저율): 검사받는 전체에서 실제로 병이 있는 비율
• 민감도: 실제 환자 중 검사에서 양성이 나오는 비율
• 특이도: 실제로 건강한 사람 중 검사에서 음성이 나오는 비율
• 양성예측도: 검사에서 양성이 나온 사람 중 실제 환자일 비율

민감도와 특이도가 높아도 유병률이 매우 낮으면 양성예측도가 낮아질 수 있다. 양성예측도는 “검사가 양성일 때 실제로 환자일 확률”이라서 조건부확률이다.

유방암 검진 예시: 기저율이 낮으면

NCI는 유방암 검진을 받은 여성 1,000명 중 실제 유방암이 있는 사람은 약 5명이라고 설명한다. 검진의 민감도와 특이도를 각각 약 90%라고 놓고, 계산하기 편하도록 1,000명의 사례를 10,000명으로 열 배 확대해 보자. 실제 환자 50명, 건강한 사람 9,950명인 수업용 단순화 사례다.

실제 상태	검진 양성	검진 음성	합계
실제 유방암	45	5	50
실제 유방암 아님	995 (위양성)	8,955	9,950
합계	1,040	8,960	10,000

표에서 분모를 확인해 보자.

• 민감도: 실제 환자 50명 중 양성 45명 → $45/50=90\%$
• 특이도: 실제 환자가 아닌 9,950명 중 음성 8,955명 → $8955/9950=90\%$
• 양성예측도: 검진 양성 1,040명 중 실제 환자 45명 → $45/1040\approx 4.3\%$

따라서 양성예측도는

$$\frac{45}{1040}\approx 4.3\%$$

이다. 이것은 검사를 받지 말라는 뜻이 아니라, 양성이라는 한 정보만으로 실제 상태를 단정하면 안 된다는 뜻이다.

직접 확인하기

3.유방암 유병률이 0.5%인 10,000명 집단에서 민감도 90%, 특이도 90%인 유방암 검진을 했다. 검진 양성인 사람의 수와 양성예측도를 구하라.

4. 독립시행의 확률

한 번의 결과가 다음 확률을 바꾸지 않을 때

공정한 동전을 세 번 던질 때 앞·뒤의 모든 순서쌍(순서가 있는 결과)을 적으면

$$(앞,앞,앞),(앞,앞,뒤),(앞,뒤,앞),(앞,뒤,뒤),$$ $$(뒤,앞,앞),(뒤,앞,뒤),(뒤,뒤,앞),(뒤,뒤,뒤)$$

8가지다. 앞면이 정확히 두 번인 결과는

$$(앞,앞,뒤),(앞,뒤,앞),(뒤,앞,앞)$$

3가지이므로 확률은 $\frac{3}{8}$이다.

첫 번째 결과를 확인한 뒤 동전을 다시 던지는 것은 다음 시행의 확률을 바꾸지 않는다. 이런 시행을 독립시행이라고 한다. 독립시행에서 여러 조건이 연달아 일어나면 확률을 곱한다.

$$P(\text{네 번 모두 성공})=p\times p\times p\times p=p^4$$

적어도 한 번은 반대로 세기

성공 확률이 $p$인 독립시행을 3번 할 때 적어도 한 번 성공할 확률은

$$1-P(\text{세 번 모두 실패})=1-(1-p{)}^3$$

이다. “적어도 한 번”은 “한 번도 성공하지 않음”의 반대 사건을 먼저 세면 편하다.

직접 확인하기

4.공정한 주사위를 세 번 던질 때 6이 한 번도 나오지 않을 확률과 6이 적어도 한 번 나올 확률을 각각 구하라.

4차시 도전문제

이름: ____________________　모둠: __________　날짜: __________

1.

1부터 12까지 적힌 카드 중 한 장을 뽑았다. 3의 배수라는 것을 알 때, 그 수가 짝수일 확률을 구하라.

2.

1부터 20까지 적힌 카드 중 한 장을 뽑았다. 4의 배수라는 것을 알 때, 그 수가 3의 배수일 확률을 구하라.

3.

빨강 공 3개와 파랑 공 2개가 든 주머니에서 공 두 개를 차례로 뽑아 다시 넣지 않는다. 첫 번째 공이 빨강이라는 것을 알 때, 두 번째 공도 빨강일 확률을 구하라.

4.

어느 반 40명 중 안경을 쓴 학생은 12명이고, 그중 왼손잡이는 3명이다. 안경을 쓴 학생이라는 것을 알 때 왼손잡이일 확률을 구하라.

5.

어느 반 40명 중 왼손잡이 학생은 8명이고, 그중 안경을 쓴 학생은 3명이다. 왼손잡이라는 것을 알 때 안경을 쓴 학생일 확률을 구하라. 4번과 분모가 왜 다른지도 설명하라.

6.

열매 50개 중 상한 열매는 5개다. 검사기가 상한 열매 중 4개, 정상 열매 중 6개에 표시했다. 표시된 열매가 실제로 상했을 확률을 구하라.

7.

유방암 검진에서 실제 유방암 환자 50명 중 45명이 양성이고, 실제 유방암이 아닌 9,950명 중 995명이 양성(위양성)이었다. 민감도, 특이도, 양성예측도를 각각 구하라.

8.

유방암 유병률이 0.5%인 10,000명 집단에서 민감도 90%, 특이도 90%인 검사를 했다. 양성예측도를 구하라.

9.

어떤 검사의 민감도가 95%라는 말과 양성예측도가 95%라는 말은 같은 뜻인가? 각각 어떤 분모를 쓰는지 설명하라.

10.

질병 유병률이 2%인 1,000명 집단에서 민감도 95%, 특이도 90%인 검사 결과가 양성인 사람의 수와 실제 환자 수를 구하라.

11.

공정한 동전을 네 번 던질 때 앞면이 정확히 두 번 나올 확률을 순서가 있는 결과를 적어 구하라.

12.

공정한 주사위를 세 번 던질 때 6이 적어도 한 번 나올 확률을 구하라.

13.

농구 자유투 성공 확률이 70%인 선수가 독립적으로 두 번 던진다. 두 번 모두 성공할 확률과 적어도 한 번 성공할 확률을 각각 구하라.

14.

빨강 공 2개와 파랑 공 3개가 든 주머니에서 공을 하나 뽑아 색을 확인한 뒤 다시 넣는다. 이 실험을 두 번 할 때 두 번 모두 빨강일 확률과 정확히 한 번 빨강일 확률을 각각 구하라.

15.

어떤 감염병의 유병률은 1%, 검사 민감도는 90%, 특이도는 99%이다. 서로 독립인 검사를 두 번 받아 모두 양성이 나왔을 때 실제 감염일 확률을 구하라.

5차시 AI 대결용 변형문제 만들기

원래 문제 번호: ____________________

AI가 헷갈릴 문제를 만드는 방법

1. 조건이 가리키는 새로운 전체를 분명하게 만든다.
2. 표에서 조건의 합계와 동시에 해당하는 칸을 구별한다.
3. 유병률·민감도·특이도·양성예측도의 분모를 섞지 않는다.
4. 독립시행인지, 뽑은 것을 다시 넣지 않는 시행인지 밝힌다.
5. “적어도 한 번”은 반대 사건으로 확인하게 만든다.

조건은 애매하지 않아야 하며, 정답과 풀이를 먼저 완성한다. 실제 AI 시험은 5차시에 한다.

내가 바꾼 조건

내가 만든 문제

정답과 풀이

AI가 헷갈릴 것이라고 예상한 이유