3차시. 직감보다 확률
전체 경우와 원하는 경우를 세어 확률을 구하고, 실제 실험 결과와 비교한다.
읽을거리: “반반 같아 보인다”는 증거가 아니다
주사위를 던져 6이 나올지 안 나올지를 묻는다면 결과를 ‘6’과 ‘6이 아님’ 두 가지로 나눌 수 있다. 그렇다고 두 결과의 확률이 각각 절반인 것은 아니다.
- 6이 나오는 눈: 1개
- 6이 아닌 눈: 1, 2, 3, 4, 5의 5개
가능한 결과의 이름만 두 종류라고 해서 가능성이 같은 것은 아니다. 확률을 정확히 구하려면 일어날 수 있는 가장 작은 결과들을 빠짐없이 나열하고, 각 결과가 같은 정도로 가능한지 확인해야 한다.
왜 배우는가?
사람도 AI도 그럴듯한 이야기만 보고 확률을 추측하면 틀릴 수 있다. 확률의 분모와 분자가 어떤 경우를 세는지 설명할 수 있어야 계산을 검증할 수 있다.
오늘의 목표
- 표본공간과 사건을 작은 경우의 목록으로 나타낸다.
- 수학적 확률과 실험에서 얻은 상대도수를 비교한다.
- ‘적어도 하나’를 반대 사건을 이용하여 계산한다.
- 두 사건을 더하거나 곱할 때 겹침과 앞선 결과의 영향을 확인한다.
- 독립시행에서 앞선 결과가 다음 확률을 바꾸는지 판단한다.
시작 질문
동전을 두 번 던졌더니 앞면이 두 번 연속 나왔다.
- 다음에는 뒷면이 나올 차례일까?
- 두 번 던진 결과를 모두 적으면 어떤 결과들이 있을까?
- 실제 동전 던지기 결과와 계산한 확률은 언제나 정확히 같을까?
1. 전체 결과와 원하는 결과
표본공간과 사건
동전을 두 번 던진다. 앞면을 앞, 뒷면을 뒤라고 쓰고 (첫째 결과, 둘째 결과) 순서로 적으면
이다. 이렇게 일어날 수 있는 모든 결과의 모임을 표본공간이라고 한다.
‘앞면이 정확히 한 번 나온다’는 원하는 결과의 모임은
이다. 표본공간의 일부로서 우리가 관심을 두는 결과의 모임을 사건이라고 한다.
수학적 확률
동전의 앞면과 뒷면이 같은 정도로 나오고 각 던지기가 공정하다고 가정하면, 위 네 결과는 같은 정도로 가능하다. 따라서
이다. 같은 정도로 가능한 전체 결과가 유한할 때
로 계산한다. 확률은 0 이상 1 이하이다.
직접 확인하기
2. 실험으로 얻는 확률
상대도수
압정처럼 결과가 같은 정도로 나온다고 말하기 어려운 물체는 직접 여러 번 던져 본다. 어떤 사건이 일어난 횟수를 전체 시행 횟수로 나눈 값을 상대도수라고 한다.
예를 들어 압정을 50번 던져 뾰족한 부분이 위를 향한 경우가 18번이었다면 상대도수는
이다. 이 결과만으로 다음 한 번의 결과를 확정할 수는 없지만, 압정의 확률을 약 0.36으로 추정할 수 있다.
시행 횟수가 많아지면
공정한 동전을 10번 던져도 앞면이 꼭 5번 나오지는 않는다. 그러나 같은 실험을 매우 많이 반복하면 앞면의 상대도수는 이론적 확률 근처에서 움직이는 경향이 있다.
이것은 ‘짧은 실험에서도 반드시 비율이 맞아야 한다’는 뜻이 아니다. 긴 실험에서 상대도수가 안정되는 경향을 말한다.
모둠 실험
https://ray-math.github.io/probability-lab/ 동전을 모둠별로 20번 던지고 5회마다 누적 결과를 기록한다.
| 시행 횟수 | 앞면 누적 횟수 | 앞면의 상대도수 |
|---|---|---|
| 5 | ||
| 10 | ||
| 15 | ||
| 20 |
3. 반대 사건으로 쉽게 세기
사건과 반대 사건
주사위를 한 번 던질 때 ‘6이 나온다’의 반대는 ‘6이 나오지 않는다’이다. 둘 중 하나는 반드시 일어나고 동시에 일어날 수는 없다.
따라서 어떤 사건이 일어나지 않는 반대 사건의 확률은
이다.
‘적어도 하나’는 반대로 세기
동전을 두 번 던질 때 앞면이 적어도 한 번 나오는 결과를 직접 세어도 된다.
또는 반대 사건인 ‘앞면이 한 번도 나오지 않음’, 즉 (뒤, 뒤)를 빼도 된다.
‘적어도 하나’, ‘한 번 이상’이 보이면 하나도 일어나지 않는 경우를 먼저 생각해 보자.
적용하기
4. 확률을 더할 때와 곱할 때
두 사건 중 하나가 일어날 확률
1부터 6까지 적힌 공 하나를 뽑는다. ‘짝수가 나오는 사건’은
이고, ‘3의 배수가 나오는 사건’은
이다. 두 사건의 확률을 그대로 더하면 6을 두 번 센다.
두 사건이 겹치지 않으면 겹치는 부분이 0이므로 바로 더할 수 있다. 겹친다면 한 번 빼야 한다.
두 단계가 이어질 확률
빨강 공 2개와 파랑 공 1개가 든 주머니에서 공 하나를 뽑아 색을 확인한 뒤 다시 넣고, 한 번 더 뽑는다.
첫 번째 공을 다시 넣었으므로 두 번째 주머니의 상태는 처음과 같다. 앞선 결과가 다음 확률을 바꾸지 않는 두 사건을 독립이라고 한다.
다시 넣지 않으면
첫 번째 빨강 공을 다시 넣지 않으면 주머니에는 빨강 1개와 파랑 1개가 남는다.
첫 결과가 다음 확률을 바꾸는 두 사건을 종속이라고 한다.
적용하기
오늘의 한 문장
확률은 느낌이 아니라 전체 결과, 원하는 결과, 겹치는 결과, 앞선 결과가 바꾸는 조건으로 확인한다.
3차시 도전문제
이름: ____________________ 모둠: __________ 날짜: __________
1.
공정한 주사위 한 개를 던질 때 짝수 눈이 나올 확률을 구하라.
2.
압정을 30번 던졌더니 뾰족한 부분이 위를 향한 경우가 18번이었다. 이 실험에서 얻은 상대도수를 구하라.
3.
빨강 공 2개와 초록 공 3개가 든 주머니에서 공 하나를 뽑는다. 초록 공이 나오지 않을 확률을 구하라.
4.
공정한 주사위 한 개를 던질 때 1 또는 6이 나올 확률을 구하라.
5.
공정한 동전을 두 번 던질 때 두 번 모두 앞면이 나올 확률을 구하라.
6.
서로 구별되는 두 주사위를 던질 때 나온 눈의 합이 7일 확률을 구하라.
7.
주머니에서 공을 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣는 실험을 60번 했더니 빨강 공이 24번 나왔다. 다음 시행에서 빨강 공이 나올 확률을 상대도수로 추정하라.
8.
공정한 동전을 두 번 던질 때 앞면이 적어도 한 번 나올 확률을 구하라.
9.
1부터 10까지 적힌 카드 중 한 장을 뽑는다. 카드의 수가 2의 배수 또는 3의 배수일 확률을 구하라.
10.
빨강 공 2개와 파랑 공 3개가 든 주머니에서 공 하나를 뽑아 다시 넣고 한 번 더 뽑는다. 두 번 모두 빨강일 확률을 구하라.
11.
1, 2, 3, 4, 5가 하나씩 적힌 카드 다섯 장을 모두 한 줄로 임의로 놓는다. 양 끝 카드의 두 수를 곱한 값이 짝수일 확률을 구하라.
12.
세 구역 A, B, C 중 한 곳에 콩주머니를 던지는 실험을 60번 했다. A는 12번, B는 18번, C는 30번 나왔다. 같은 조건으로 150번 던질 때 C에 들어갈 횟수를 상대도수로 예측하라.
13.
공정한 동전을 세 번 던질 때 앞면이 적어도 두 번 나올 확률을 구하라.
14.
1부터 20까지 적힌 카드 중 한 장을 뽑는다. 카드의 수가 2의 배수 또는 5의 배수일 확률을 구하라.
15.
빨강 공 2개와 파랑 공 3개가 든 주머니에서 공 두 개를 차례로 뽑아 다시 넣지 않는다. 두 공의 색이 다를 확률을 구하라.
5차시 AI 대결용 변형문제 만들기
원래 문제 번호: ____________________
AI가 헷갈릴 문제를 만드는 방법
- ‘적어도 하나’를 넣어 반대 사건으로 풀리게 한다.
- 두 사건이 겹치는데 확률을 그대로 더하면 틀리게 만든다.
- 공을 다시 넣는 경우와 넣지 않는 경우를 바꾼다.
- 실험에서 얻은 상대도수와 이론적 확률을 구별하게 한다.
- 결과의 순서를 구분하는지 분명하게 적는다.
조건은 애매하지 않아야 하며, 정답이 하나로 결정되어야 한다. 만든 문제는 지금 풀어 두고, 실제 AI 시험은 5차시에 한다.