1차시. 세는 순간 이미 속고 있다
작은 경우를 전부 적어 보면서 합의 법칙·곱의 법칙·팩토리얼·순열·조합을 발견한다.
읽을거리: 왜 작은 경우부터 직접 써 봐야 할까?
4자리 비밀번호는 각 자리에 0부터 9까지 쓸 수 있으므로 보통
개다. 그러나 조건이 붙으면 단순히 네 번 곱해서는 안 된다.
- 같은 숫자를 다시 쓸 수 없다.
- 첫 자리에는 0이 올 수 없다.
- 짝수로 끝나야 한다.
- 특정 숫자를 반드시 포함해야 한다.
사람도 조건을 하나 놓치면 그럴듯하지만 틀린 계산을 할 수 있다. 따라서 복잡한 문제를 풀기 전에 아주 작은 예에서 가능한 경우를 직접 모두 적어 보는 습관이 필요하다.
왜 배우는가?
확률은 ‘원하는 경우의 수 ÷ 전체 경우의 수’로 계산한다. 경우의 수를 잘못 세면 그 뒤의 확률도 모두 틀린다. 오늘은 공식을 먼저 외우지 않고, 가능한 경우를 빠짐없이 적은 뒤 규칙을 찾는다.
오늘의 목표
- 합의 법칙과 곱의 법칙을 모든 경우의 목록으로 설명한다.
- 팩토리얼이 왜 필요한지 줄 세우는 과정으로 설명한다.
- 순서를 무시할 때 왜 나누어야 하는지 설명한다.
시작 질문
민준, 서연, 하늘 중 두 명을 뽑는다고 하자.
- 민준이 반장이고 서연이 부반장인 경우와, 서연이 반장이고 민준이 부반장인 경우는 같은 결과일까?
- 대표로 민준과 서연을 뽑는 경우와, 대표로 서연과 민준을 뽑는 경우는 같은 결과일까?
- 두 질문의 답이 다르다면 무엇이 결과를 바꾸었을까?
1. 합의 법칙과 곱의 법칙
합의 법칙: 겹치지 않는 선택 중 하나
쉬는 시간에 놀이 하나를 고른다. 운동장에서는 공차기와 줄넘기를 할 수 있고, 교실에서는 보드게임·그림 그리기·종이접기를 할 수 있다.
한 괄호가 한 가지 경우다. 괄호 안에는 (장소, 놀이) 순서로 적는다.
운동장 놀이 2가지와 교실 놀이 3가지는 서로 겹치지 않는다.
이처럼 서로 겹치지 않는 여러 선택 중 하나를 고르는 경우의 수는 더한다.
곱의 법칙: 첫 선택 뒤에 다음 선택
이름표를 만들기 위해 바탕색 3가지와 스티커 모양 2가지 중 하나씩 고른다. (바탕색, 스티커) 순서로 모두 적으면 다음과 같다.
바탕색 하나마다 스티커를 2가지씩 고를 수 있으므로
이다. 이처럼 첫 선택 각각에 다음 선택이 이어지면 경우의 수를 곱한다.
직접 나열하기
2. 팩토리얼: 모두 줄 세우기
민준, 서연, 하늘을 한 줄로 세우면
첫 자리에 누가 오는지에 따라 나누어 모든 경우를 적어 보자. 괄호 안에는 (첫째, 둘째, 셋째) 순서로 적는다.
모두 6가지다. 자리를 정할 때마다 선택할 수 있는 사람의 수가 줄어든다.
- 첫 자리: 3명 중 한 명
- 둘째 자리: 남은 2명 중 한 명
- 셋째 자리: 마지막 1명
따라서
이다.
긴 곱을 짧게 쓰는 기호
서로 다른 사람이나 물건을 모두 한 줄로 세울 때는 큰 수부터 1까지 차례로 곱한다.
| 사람 수 | 계산 | 방법의 수 |
|---|---|---|
| 1명 | 1 | 1 |
| 2명 | 2×1 | 2 |
| 3명 | 3×2×1 | 6 |
| 4명 | 4×3×2×1 | 24 |
| 5명 | 5×4×3×2×1 | 120 |
이런 곱을 짧게 쓰기 위해 느낌표를 사용한다.
3!은 “3 팩토리얼”, 4!은 “4 팩토리얼”이라고 읽는다.
팩토리얼을 쓰는 때
서로 다른 대상을 모두 순서 있게 나열할 때 사용한다. 일부만 뽑거나 순서를 무시하는 문제에는 그대로 사용할 수 없다.
직접 확인하기
3. 순열: 뽑은 뒤 역할을 정하기
반장과 부반장을 뽑는 모든 경우
민준, 서연, 하늘, 지우 중 반장 1명과 부반장 1명을 뽑는다. 괄호 안에는 (반장, 부반장) 순서로 적는다.
모두 12가지다.
민준이 반장이고 서연이 부반장인 경우와, 서연이 반장이고 민준이 부반장인 경우는 역할이 다르므로 서로 다른 결과다.
순열이라는 말
이처럼 몇 명을 뽑은 뒤 순서나 역할을 정하는 것을 순열이라고 한다.
- 첫 역할은 4명 중 한 명이 맡으므로 4가지
- 둘째 역할은 남은 3명 중 한 명이 맡으므로 3가지
그래서 로 계산한다. 기호를 외우기보다 첫 자리부터 선택할 수 있는 사람 수를 차례로 곱한다고 생각하자.
적용하기
4. 조합: 순서를 무시하면 왜 나눌까?
같은 두 사람을 몇 번씩 세었을까?
이번에는 민준, 서연, 하늘, 지우 중 역할 구분 없이 대표 2명만 뽑는다. 앞에서 센 경우를 두 사람의 순서만 반대인 것끼리 묶어 보자.
역할을 정할 때는 같은 두 사람을 정확히 2번씩 세었다. 대표를 뽑을 때는 두 사람의 순서를 바꾸어도 같은 조이므로 중복된 두 경우를 하나로 만들어야 한다.
따라서 2명을 순서 없이 뽑을 때 2로 나누는 이유는 같은 두 사람을 순서만 바꾸어 2번씩 세었기 때문이다.
3명을 뽑으면 왜 6으로 나눌까?
민준, 서연, 하늘로 이루어진 같은 조에 억지로 순서를 붙이면 다음처럼 6번 나타난다.
6은 , 즉 이다. 따라서 3명을 순서 없이 뽑을 때는 순서를 붙여 센 수를 6으로 나눈다.
조합이라는 말
이처럼 순서를 생각하지 않고 몇 명을 뽑는 것을 조합이라고 한다.
- 2명을 뽑으면 같은 조를 번씩 센다.
- 3명을 뽑으면 같은 조를 번씩 센다.
먼저 순서를 붙여 센 다음, 같은 조를 몇 번씩 중복해 셌는지 나누면 된다.
직접 확인하기
5. 순열과 조합 구분하기
두 사람의 자리를 바꾸어 보자
| 상황 | 두 사람의 자리를 바꾸면? | 방법 |
|---|---|---|
| 반장과 부반장 | 역할이 바뀌므로 다른 결과 | 순열 |
| 금메달과 은메달 | 등수가 바뀌므로 다른 결과 | 순열 |
| 학급 대표 2명 | 같은 두 사람이므로 같은 결과 | 조합 |
| 간식 당번 2명 | 같은 두 사람이므로 같은 결과 | 조합 |
뒤쪽 도전문제로 넘어가기
합의 법칙, 곱의 법칙, 팩토리얼, 순열, 조합의 기본 개념을 모두 배웠다. 이제 뒤쪽 도전문제에서 각 개념의 하·중·상 문제에 도전한다.
- 하: 개념을 알면 바로 풀 수 있는 문제
- 중: 조건을 한 번 더 생각해야 하는 문제
- 상: 여러 경우로 나누거나 두 개념을 연결해야 하는 문제
오늘의 한 문장
공식을 쓰기 전에 작은 경우를 모두 적고, 두 사람의 자리를 바꾸었을 때 결과가 달라지는지 확인한다.
1차시 도전문제
이름: ____________________ 모둠: __________ 날짜: __________
1.
방과후 활동 하나를 고른다. 운동 활동은 공차기·줄넘기·배드민턴 3가지이고, 만들기 활동은 종이접기·그림 그리기 2가지이다. 고를 수 있는 활동은 모두 몇 가지인가?
2.
이름표 바탕색 3가지와 스티커 모양 2가지 중 하나씩 고른다. 이름표는 모두 몇 가지인가?
3.
민준, 서연, 하늘 세 명이 한 줄로 서는 방법은 모두 몇 가지인가?
4.
민준, 서연, 하늘, 지우 중 반장 1명과 부반장 1명을 뽑는 방법은 모두 몇 가지인가?
5.
민준, 서연, 하늘, 지우 중 역할 구분 없이 대표 2명을 뽑는 모든 조를 적고, 몇 조인지 구하라.
6.
학교 행사에서 체험 하나만 고른다. 운동 체험 4가지, 만들기 체험 3가지, 독서 체험 2가지가 있다. 고를 수 있는 체험은 모두 몇 가지인가?
7.
발표 자료의 배경색 3가지, 글씨체 3가지, 제목 장식 2가지 중 하나씩 고른다. 발표 자료의 꾸밈 방법은 모두 몇 가지인가?
8.
민준, 서연, 하늘, 지우 네 명이 한 줄로 선다. 민준이 반드시 첫 자리에 선다면 방법은 모두 몇 가지인가?
9.
민준, 서연, 하늘, 지우, 도윤 중 반장과 부반장을 뽑는다. 민준이 두 역할 중 하나를 반드시 맡는다면 방법은 모두 몇 가지인가?
10.
학생 6명 중 대표 3명을 뽑는다. 민준이 반드시 포함된다면 방법은 모두 몇 가지인가?
11.
학교 행사에서 발표 활동 또는 만들기 활동 중 하나를 고른다. 발표 활동은 주제 3가지와 발표 방식 2가지 중 하나씩 고르고, 만들기 활동은 작품 4가지와 재료색 2가지 중 하나씩 고른다. 참여 방법은 모두 몇 가지인가?
12.
이름표 바탕색은 빨강·노랑·파랑이고, 스티커 모양은 별·하트·나뭇잎이다. 하나씩 고르되 빨강 바탕에는 별 스티커를 붙일 수 없다. 이름표는 모두 몇 가지인가?
13.
학생 5명이 한 줄로 선다. 민준과 서연이 반드시 이웃해서 서는 방법은 모두 몇 가지인가?
14.
민준, 서연을 포함한 학생 6명 중 반장과 부반장을 뽑는다. 민준과 서연 중 정확히 한 명만 역할을 맡는다면 방법은 모두 몇 가지인가?
15.
민준, 서연을 포함한 학생 7명 중 대표 3명을 뽑는다. 민준과 서연 중 정확히 한 명만 대표에 포함된다면 방법은 모두 몇 가지인가?
5차시 AI 대결용 변형문제 만들기
원래 문제 번호: ____________________
AI가 헷갈릴 문제를 만드는 방법
다음 방법 중 한두 가지를 골라 조건을 바꾼다.
- 역할이 다른 자리와 역할이 같은 자리를 한 문제에 함께 넣는다.
- 특정 학생을 반드시 포함하거나 반드시 제외한다.
- 두 학생 중 정확히 한 명만 포함되게 한다.
- 두 사람이 이웃해야 하거나 서로 떨어져야 하게 한다.
- 순서를 바꾸었을 때 같은 경우와 다른 경우를 섞는다.
- 전체를 한 번에 세기보다 두세 경우로 나누어야 풀리게 한다.
조건은 애매하지 않아야 하며, 정답이 하나로 결정되어야 한다. 만든 문제는 지금 풀어 두고, 실제 AI 시험은 5차시에 한다.