양의 약수의 성질

양의 정수 $N$ 을 소인수분해하여

N = p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \dots p_{n}^{e_{n}}

의 꼴로 쓸 수 있다고 하자. 여기서 $p_{i}$ 는 서로 다른 소수이고, $e_{i} \geq 0$ 이다. 이때 다음이 성립한다

양의 약수의 개수

먼저, $N = p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \dots p_{n}^{e_{n}}$ 의 양의 약수는 각 소인수 $p_{i}$ 에 대해 $0 \leq k_{i} \leq e_{i}$ 인 지수들을 선택하여

p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \dots p_{n}^{k_{n}}

의 꼴로 만들 수 있다. 가능한 지수의 경우의 수는 각각 $e_{i} + 1$ 개이므로, 곱의 법칙에 의해 전체 약수의 개수는

(e_{1} + 1) (e_{2} + 1) \dots (e_{n} + 1)

이다.

예를 들어 $24 = 2^{3} \cdot 3^{1}$ 의 경우, 약수의 개수는 $(3 + 1) (1 + 1) = 4 \cdot 2 = 8$ 이다.

3^{0} 3^{1} 2^{0} 13 2^{1} 26 2^{2} 412 2^{2} 824

\frac{p _{1}^{e_{1} + 1} - 1}{p _{1} - 1} \cdot \frac{p _{2}^{e_{2} + 1} - 1}{p _{2} - 1} \dots \frac{p _{n}^{e_{n} + 1} - 1}{p _{n} - 1}

양의 약수의 합 $σ (N)$ 은 모든 약수를 더한 값이다. 위에서 본 약수의 표현을 이용하여, 약수들을 지수 조합으로 분류하면 다음과 같다.

σ (N) = 0 \leq k_{1} \leq e_{1} \sum 0 \leq k_{2} \leq e_{2} \sum \dots 0 \leq k_{n} \leq e_{n} \sum p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \dots p_{n}^{k_{n}}

이것은 곱의 분배법칙을 사용하면 다음과 같은 곱의 형태로 바뀐다.

σ (N) = (k_{1} = 0 \sum e_{1} p_{1}^{k_{1}}) (k_{2} = 0 \sum e_{2} p_{2}^{k_{2}}) \dots (k_{n} = 0 \sum e_{n} p_{n}^{k_{n}})

각 항은 등비수열의 합이므로 다음과 같다.

k_{i} = 0 \sum e_{i} p_{i}^{k_{i}} = \frac{p _{i}^{e_{i} + 1} - 1}{p _{i} - 1}

따라서 모든 약수의 합은

σ (N) = i = 1 \prod n (\frac{p _{i}^{e_{i} + 1} - 1}{p _{i} - 1})

이다.

예를 들어 $24 = 2^{3} \cdot 3^{1}$ 의 경우, 약수의 합은 $(\frac{2 ^{4} - 1}{2 - 1}) (\frac{3 ^{2} - 1}{3 - 1}) = 15 \cdot 4 = 60$ 이다.

$2020 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 101$ 이므로, 양의 약수의 개수는 $12$ 개이고, 양의 약수의 총합은 $\frac{2 ^{3} - 1}{2 - 1} \cdot \frac{5 ^{2} - 1}{5 - 1} \cdot \frac{10 1 ^{2} - 1}{101 - 1} = 4284$ 이다. ↩
$2021 = 43 \cdot 47$ 이므로, 양의 약수의 개수는 $4$ 개이고, 양의 약수의 총합은 $\frac{4 3 ^{2} - 1}{43 - 1} \cdot \frac{4 7 ^{2} - 1}{47 - 1} = 2112$ 이다. ↩
$2022 = 2 \cdot 3 \cdot 337$ 이므로, 양의 약수의 개수는 $8$ 개이고, 양의 약수의 총합은 $\frac{2 ^{2} - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3 ^{2} - 1}{3 - 1} \cdot \frac{33 7 ^{2} - 1}{337 - 1} = 4056$ 이다. ↩
$2023 = 7 \cdot 1 7^{2}$ 이므로, 양의 약수의 개수는 $6$ 개이고, 양의 약수의 총합은 $\frac{7 ^{2} - 1}{7 - 1} \cdot \frac{1 7 ^{3} - 1}{17 - 1} = 3480$ 이다. ↩
$2024 = 2^{3} \cdot 11 \cdot 23$ 이므로, 양의 약수의 개수는 $16$ 개이고, 양의 약수의 총합은 $\frac{2 ^{4} - 1}{2 - 1} \cdot \frac{1 1 ^{2} - 1}{11 - 1} \cdot \frac{2 3 ^{2} - 1}{23 - 1} = 4320$ 이다. ↩
$2025 = 5^{2} \cdot 3^{4}$ 이므로, 양의 약수의 개수는 $15$ 개이고, 양의 약수의 총합은 $\frac{5 ^{3} - 1}{5 - 1} \cdot \frac{3 ^{5} - 1}{3 - 1} = 3751$ 이다. ↩