알아두면 좋은 기하 성질

평행사변형 법칙(Parallelogram low)

평행사변형의 두 대각선의 길이를 각각 제곱해서 더한 값은 둘레의 각 변의 길이를 각각 제곱해서 더한값과 같다.¹²

$$|x+y{|}^2+|x-y{|}^2=2|x{|}^2+2|y{|}^2$$

피타고라스 정리는 이 정리의 특수한 경우이다.

Footnotes

1. 내적공간에서는 등호가 성립하지만, 일반적인 노름 공간에서는 $|x+y{|}^2+|x-y{|}^2\le 2|x{|}^2+2|y{|}^2$가 성립한다. ↩

2. 조던(Jordan)- 폰 노이만(von Neumann)정리에 따르면, 평행사변형 법칙을 만족하는 노름이 존재하면, 반드시 내적(inner product)이 존재하고, 이 노름은 그 내적에서 유도될 수 있다. $⟨x,y⟩=\frac{1}{4}\left(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2\right)$ ↩